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四川省大竹县文星中学2015-2016学年高二数学12月月考试卷(含解析)


四川省大竹县文星中学 2015-2016 学年高二 12 月月考 数学试题

一、单选题 1.若下列不等式成立的是 A. 【答案】C 【解析】本题主要考查不等式的性质的应用.因为,所以两边同时除以 a 得,故 C 正确. B. C. D.

2.某同学在一次综合性测试中语文、数学、英语、科学、社会 5 门学科的名次在其所在班 级里都在前三名

(记第一名为 1,第二名为 2,第三名为 3,依此类推且没有并列名次情况),则 称该同学为超级学霸,现根据不同班级的甲、乙、丙、丁四位同学对一次综合性测试名次数 据的描述,一定可以推断是超级学霸的是 A.甲同学:平均数为 2,中位数为 2 C.丙同学:平均数为 2,标准差为 2 【答案】D 【解析】 本题主要考查由样本数据特征估计整体数据特征.令这五科分别为 1,1,2,2,4,则平 均数为 2,中位数为 2,又 4>3,但不能推出超级学霸,故 A 错;又 1,2,2,3,4,中位数是 2, 唯一的众数是 2,但 4>3,故 B 错;当这五个数都小于等于 3 时,平均数为 2,标准差为 2 是 不可能的,所以 C 错,故选 D. 3.已知直线与圆有公共点,则 A. C. 【答案】D 【解析】 本题主要考查直线与圆的位置关系.由题意可知直线与圆相交或相切,故圆心 O(0,0) 到直线的距离小于或等于圆的半径 1,即有≤1,变形得,等式两边同时除以得, B. D. B.乙同学:中位数为 2,唯一的众数为 2 D.丁同学:平均数为 2,唯一的众数为 2

1

【备注】直线与圆的位置关系决定了直线与圆的公共点个数,其等价关系是直线与圆相交, 则直线与圆有两个公共点;直线与圆相切,则直线与圆有一个公共点;直线与圆相离,则直线 与圆没有公共点;另外,在处理直线与圆的位置关系时,常用几何法,即比较圆心到直线的距 离和半径的大小,而不用联立方程.

4.在同一坐标系中,方程与的曲线大致是

【答案】D 【解析】本题主要考查椭圆与抛物线的标准方程以及简单的几何性质.将方程变形为+=1, ∵,∴<,∴椭圆焦点在 y 轴上,将方程变形为=-x, ∵,∴-<0, ∴抛物线焦点在 x 轴负半 轴上,图象开口向左. 【备注】研究圆锥曲线的性质应将圆锥曲线的方程化为标准方程.

5.在△ABC 中,若,则△ABC 的形状是 A.锐角三角形 【答案】C 【解析】本题考查正余弦定理.因为,由正弦定理可得,即;由余弦定理可得,即为钝角; 所以 Δ 为钝角三角形.选 C. 【备注】正弦定理:,余弦定理:. B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定

6.在等差数列中,其前 n 项和是 Sn,若,则在中最大的是 A. 【答案】B B. C. D.

2

【解析】本题考查等差数列的通项与求和.,即;,即,所以,即是递减的等差数列;的前 8 项中最小的正数为,的前 8 项中最大的正数为,所以在中最大的是.选 B. 【备注】等差数列中,

7.下列说法正确的是 A.命题“? x∈R,ex>0”的否定是“? x∈R,ex>0” B.命题“已知 x、y∈R,若 x+y≠3,则 x≠2 或 y≠1”是真命题 C.“x2+2x≥ax 在 x∈[1,2]上恒成立”?“(x2+2x)min≥(ax)max 在 x∈[1,2]上恒成立” D.命题“若 a=-1,则函数 f(x)=ax +2x-1 只有一个零点”的逆命题为真命题 【答案】B 【解析】本题考查命题及其关系,全称量词与特称量词,充要条件. 命题“? x∈R,e >0”的否定是“? x∈R,e 0”,即 A 错误; 命题“已知 x、 y∈R,若 x+y≠3,则 x≠2 或 y≠1”的逆否命题“已知 x、 y∈R,若 x=2 且 y=1, 则 x+y=3”是真命题,所以该命题是真命题,B 正确.选 B. 【备注】逐个验证,一一排除.
x x
2

8.已知命题,使;命题当时,的最小值为 4.下列命题是真命题的是 A. 【答案】A 【解析】 本题考查复合命题真假的判定, 真值表的理解, 考查综合运用知识分析问题的能力. 当时,成立,故成立,,当且仅当时取等号,而不能等于,故不成立,成立,故选 A. 9.在数列中,已知对任意,则等于 A. 【答案】B 【解析】本题考查数列通项公式的求法与前项和的求法.
3

B.

C.

D.

B.

C.

D.

由① 得:.② ①—②得:. 又当时,也适合上式,∴,∴, ∴. 10.已知函数,则下列说法正确的为 A.函数的最小正周期为 2π B.的最大值为 C.的图象关于直线 x=﹣对称 D.将的图象向右平移,再向下平移个单位长度后会得到一个奇函数的图象 【答案】D 【解析】本题主要考查三角函数的性质、二倍角公式、和差角公式的应用.,显然周期为 π , 最大值是,对称轴是 x=,则 A、B、C 错误,D 正确. 11. 设圆(x+1) +y =25 的圆心为 C,A(1,0)是圆内一定点,Q 为圆周上任一点,线段 AQ 的垂 直平分线与 CQ 的连线交于点,则的轨迹方程为 A. 【答案】D 【解析】本题主要考查圆的性质、椭圆的定义与简单性质的应用,考查了分析问题与解决问 题的能力.由题意可知|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=5>2=|AC|,所以的轨迹是以 A、 C 为焦点的椭圆, 则 a=,c=1,b=,则的轨迹方程为 12. 已知实数 a,b,c 满足,且,若实数是函数的一个零点,那么下列不等式中,不可能成立的是 A. 【答案】D 【解析】本题主要考查函数的性质与零点、对数函数与指数函数的单调性,考查了分析问题 与解决问题的能力.根据对数函数与指数函数的单调性可知函数是减函数,因为,且,实数是 函数的一个零点,则有两三种情况:一, 均为负数;二,是负数,则一定成立, 所以 不成立, 故答案是 D.
4
2 2

B.

C.

D.

B.

C.

D.

二、填空题 13. 某班级有 50 名学生,现要采取系统抽样的方法在这 50 名学生中抽出 10 名学生,将这 50 名学生随机编号 1~50 号并分组,第一组 1~5 号,第二组 6~10 号,,第十组 46~50 号,若在 第三组中抽得号码为 12 的学生,则在第八组中抽得号码为________的学生. 【答案】37 【解析】本题主要考查系统抽样方法.由题意可得 an=12+5(n-3),当 n=8 时,则可得在第八 组中抽得号码为 a8=37 14.已知直线 l:x﹣y+3=0 被圆 C:(x﹣a)2+(y﹣2)2=4 截得的弦长为 2,则 a 的值 为 . 【答案】1 或-3 【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式的应用.圆心(a,2),半 径 r=2,由圆心到直线的距离 d=,由题意可得 r2=d2+2,解得 a=1 或-3 15.直线经过的定点坐标为 【答案】 【解析】本题主要考查直线过定点问题.将整理得 (x+y-2)+2x-y-1=0,由得 x=1,y=1,即直 线过定点. 【备注】求解直线过定点问题应将直线方程按含变量字母整理,使得 x,y 的值与变量无关. 16.如果三棱锥 A-BCD 的底面 BCD 是正三角形,顶点 A 在底面 BCD 上的射影是△BCD 的中 心,则这样的三棱锥称为正三棱锥.给出下列结论: ①正三棱锥 A-BCD 中必有 AB⊥CD,BC⊥AD,AC⊥BD; ②正三棱锥 A-BCD 所有相对棱中点连线必交于一点; ③当正三棱锥 A-BCD 所有棱长都相等时,该棱锥内切球和外接球半径之比为 1:2; ④若正三棱锥 A-BCD 的侧棱长均为 2,侧面三角形的顶角为 40°,过点 B 的平面分别交侧棱 AC,AD 于 M,N,则△BMN 周长的最小值等于. 以上结论正确的是 【答案】①②④ 【解析】本题主要考查线面垂直的判定定理与性质定理、侧面展开图以及空间想象能力,考 查了分析问题与解决问题的能力.设 A 在平面 BCD 上的射影是 O, 则根据题意可知 OB⊥CD,BC ⊥OD,OC⊥BD,由线面垂直的判定定理与性质定理可得 AB⊥CD,BC⊥AD,AC⊥BD,即①正确;如
5

.

.(写出所有正确命题的序号).

图,设 E,F,G,H 分别是 AB,BC,CD,DA 的中点,则易得四边形 EFGH 是平行四边形,所以 EG 与 FH 互相平分,同理,其它的中点连线也互相平分,则②正确;正三棱锥中,侧棱长与底面 边长不一定相等,因此③错误;作出侧面展开图,当 B,M,N 在同一条直线时,△BMN 周长的 最小,最小值等于,则④正确.

三、解答题 17.等差数列中,=2,=2. (I)求的通项公式; (II)设求数列的前项和 【答案】(Ⅰ)设等差数列的公差为 d,则 解得,. 所以的通项公式为. (Ⅱ), 所以. 【解析】 本题主要考查等差数列的通项公式以及利用裂项相消法求和.(1)设等差数列的公差 为 d,利用等差数列的通项公式,结合条件=2,=2 求得的值,然后可得通项公式;(2)由(1) 可得,利用裂项相消法求和即可. 18.已知圆 C 的方程为,点是坐标原点,直线与圆 C 交于两点. (1)求的取值范围; (2)设是线段上的点,且,请将表示为的函数,并求其定义域. 【答案】(1)将 y=kx 代入 x2+(y-4)2=4 中,得(1+k2)x2-8kx+12=0.(*)

6

由 Δ =(-8k)2-4(1+k2)×12>0,得 k2>3. 所以,k 的取值范围是(-∞,)∪(,+∞). (2)因为 M,N 在直线 l 上,可设点 M,N 的坐标分别为(x1,kx1),(x2,kx2), 则|OM| =(1+k )x1 ,|ON| =(1+k )x2 , 又|OQ| =m +n =(1+k )m . 由,得, 即. 由(*)式可知,x1+x2=,x1x2=, 所以. 因为点 Q 在直线 y=kx 上, 所以,代入中并化简,得 5n -3m =36. 由及 k2>3,可知 0<m2<3,即 m∈(,0)∪(0,). 根据题意,点 Q 在圆 C 内,则 n>0, 所以. 于是,n 与 m 的函数关系为(m∈(,0)∪(0,)). 【解析】本题主要考查圆的性质、直线与圆的位置关系、轨迹方程的求法、函数模型与定义 域,考查了分析问题与解决问题的能力.(1) 将 y=kx 代入 x2+(y-4)2=4 中,得(1+k2)x2 -8kx+12=0,由判别式 Δ >0,求解可得结果;(2)因为 M,N 在直线 l 上,可设点 M,N 的坐 标分别为(x1,kx1),(x2,kx2),则|OM|2=(1+k2)x12,|ON|2=(1+k2)x22,又|OQ|2=m2+n2=(1+ k2)m2, 由,得,再由根与系数的关系可得,然后根据题意求解即可. 19.设的内角 A,B,C.所对的边分别为 a,b,c,已知 1,b=2,. (Ⅰ)求的周长; (Ⅱ)若求的值. 【答案】(Ⅰ)∵ ∴
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

∴△ABC 周长为 a+b+c=1+2+2=5 (Ⅱ)∵ ∴

7

【解析】 本题主要考查余弦定理、 三角函数的同角三角函数关系式以及和差角公式的应用.(1) 利用余弦定理可求得边 c,即可求得三角形的周长;(2)根据题意可求得,再利用两角和的正 弦公式求解即可. 20.如图是正方形,是正方形的中心,底面是的中点.求证:

P E D O A
(1)//平面; (2)平面平面; (3)若,求四棱锥 P-ABCD 的体积. 【答案】(1)连接 AC,OE,ACBD=O, 在△PAC 中,∵E 为 PC 中点,O 为 AC 中点.∴PA//EO, 又∵EO 平面 EBD ,PA 平面 EBD,∴PA //面 BDE. (2)∵PO 底面 ABCD,∴POBD. 又∵BDAC,∴BD 平面 PAC. 又 BD 平面 BDE,∴平面 PAC 平面 BDE. (3)∵ABCD 是正方形的中心,∴ ∵PO 底面 ABCD . 【解析】本题主要考查线面平行的判定定理、线面与面面垂直的判定定理与性质定理应用、 锥体的体积公式以及空间想象能力,考查了分析问题与解决问题的能力.(1) 连接
8

C B

AC,OE,ACBD=O, 在△PAC 中,利用中位线定理即可得证 PA//EO,再利用线面平行的判定定理 即可得证结论;(2)由题意可得 POBD ,BDAC,即得 BD 平面 PAC,再利用面面垂直的判定定理
即可得证结论;(3)利用棱锥的体积公式求解即可. 21.实数满足圆的标准方程. (Ⅰ)求的最小值; (Ⅱ)求定点到圆上点的距离的最大值. 【答案】(1)令 k=,即 y=k(x-4),结合图形可知当直线 y=k(x-4)与圆相切时 k 最小,即最小, 由=2 得 k=或 k=0(舍去),故 k=得最小值为 (2)由得点在圆外故到圆上点的距离的最大值为+2=2+2. 【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系以及点与圆的位置关系,体现了数形结合思想. 第(1)题应将转化为圆上点(x,y)与点(4,0)的斜率;第(2)题先判断点与圆的位置关系,在求 出点与圆圆上点的距离的最大值 【备注】1.若圆的标准方程为:,点 P(则有: 则点 P(在圆外; 则点 P(在圆上; 则点 P(在圆内. 2.若圆心为 C,圆半径为 r,点 P 到圆上点的距离为 d,则有: 若点 P 在圆外,则=|CP|-r,=|CP|+r; 若点 P 在圆上,则=0,=2r; 若点 P 在圆内,则= r-|CP|,= r+|CP|

22.已知等差数列满足;数列的前 n 项和为,且满足. (Ⅰ)分别求数列的通项公式; (Ⅱ)若对任意的恒成立,求实数 k 的取值范围. 【答案】(1)由. ∴ .

9

由,得,即. 又(n) ∴{是等比数列,其中首相为,公比为 3, 所以 (2) 所以原不等式可转化为(对 n 恒成立, ∴对 n 恒成立. 令. 当 n3 时,即; 当 n3 时,.

∴当 n=3 时有最大值,最大值为 所以 【解析】本题考查等差数列,数列的通项与求和. (1)由∴. 由,得(n) ∴{是等比数列,其中首相为,公比为 3,所以 (2),原不等式可转化为(对 n 恒成立, ∴对 n 恒成立.令. 当 n=3 时有最大值,所以 【备注】等差数列中,; 等比数列中,

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