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必修三2.4 线性回归方程(2)


复习回顾:
1.已知回归方程 y ? 0.5x ? 0.81,则x ? 25时,y的估计值
11.69 . 为 ______
^

2.用最小二乘法求回归系数
? n ?? n ? n? x i y i ? ? ? ? xi ? ?? ? ? yi ? ? i ?1 ? i ? 1 ?? i ? 1 ? 2 n n ?

? 2 n? x i ? ? ? ? xi ? ? i ?1 ? i ?1 ?
n

y ? bx b ? _________________, a ? ________ .

3.三点(3,10),(7,20),(11,24)的线性回归方程是( D )

? ? 5.75 ? 1.75 x A. y

? ? 1.75 ? 5.75 x B. y
? ? 1.75 ? 5.75 x C. y

? ? 5.75 ? 1.75 x D. y

4.我们考虑两个表示变量x与y之间的关系的模型,

?

为误差项,模型如下:

模型1:y=6+4x; 模型2:y=6+4x+e.
(1)如果x=3,e=1,分别求两个模型中y的值;

(2)分别说明以上两个模型是确定性模型还是随机模型.

解 (1)模型1:y=6+4x=6+4×3=18; 模型2:y=6+4x+e=6+4×3+1=19. (2)模型1中相同的x值一定得到相同的y值.所以是确定性模型; 模型2中相同的x值,因 ? 不同,且 ? 为误差项是随机的, 所以模型2是随机性模型.

例1.一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件 所花费的时间.为此进行了10次试验,测得数据如下:
零件个数x(个)

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

加工时间y(分)

62

68

75

81

89

95

102

108

115

122

请判断加工时间y与零件个数x是否具有线性相关关系,如果具有线性 相关、关系,求线性回归方程.

解:在直角坐标系中画出数据的散点图,直观判断散点在一条直线附近, 故具有线性相关关系.由测得的数据表可知:

x ? 55, y ? 91.7, ? xi 2 ? 38500, ? yi 2 ?87777, ? xi yi ?55950
i ?1 i ?1 i ?1

10

10

10

?b ?

? x y ? 10 x y
i ?1 10 i i

10

?x
i ?1

2

i

? 10 x

2

55950 ? 10 ? 55 ? 91.7 ? ? 0.668 2 38500 ? 10 ? 55

a ? y ? bx ? 91.7 ? 0.668 ? 55 ? 54.96
因此,所求线性回归方程为

y ? bx ? a ? 0.668x ? 54.96

例2.已知10只狗的血球体积及红血球数的测量值如下:

x
y

45

42

46

48

42

35

58

40

39

50

6.53

6.30

9.52

7.50

6.99

5.90

9.49

6.20

6.59

8.72

x

(血球体积

, ml

)

,y

(红血球数,百万)

(1)画出上表的散点图; (2)求出回归直线方程且画出图形.

解:

y
10

5

30

35

40

45

50

55

x

( 2)

x?

1 (45 ? 42 ? 46 ? 48 ? 42 ? 35 ? 58 ? 40 ? 39 ? 50) ? 44.50 10

1 y ? (6.53 ? 6.30 ? 9.52 ? 7.50 ? 6.99 ? 5.90 ? 9.49 ? 6.20 ? 6.55 ? 8.72) 10

=7.37
10

设回归直线方程为

y ? bx ? a ,则

b?

? x y ? 10 x y
i ?1 10 i i

?x
i ?1

2

i

? 10 x

2

? 0.175

a ? y ? bx =-0.418

所以所求回归直线的方程为

y ? 0.175 x ? 0.148

图形:

y
10

5

30

35

40

45

50

55

x


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