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南京市、盐城市2014届高三年级第一次模拟考试数学答案


南京市、盐城市 2014 届高三年级第一次模拟考试 数学参考答案
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 1. {1, 2} 9、必要不充分 二、解答题: 15.解: (1)由余弦定理及已知条件得, a 2 ? b2 ? ab ? 4 , 又因为 △ABC 的面积等于 3 ,所以 …………2 分 …………4 分 …………7 分 2. -3 3.



2 3

4. 55 11. ?

5.

26 5

6. y ? ? 3x 12. [ , e]

7. 6

8. 14.

3 3

10. x ? y ? 3 ? 0

2 3

1 e

13.

? 10?

59 72

1 ab sin C ? 3 ,得 ab ? 4 . 2

? a 2 ? b 2 ? ab ? 4, 联立方程组 ? 解得 a ? 2 , b ? 2 . ? ab ? 4,
(2)由题意得 sin( B ? A) ? sin( B ? A) ? 4sin A cos A ,即 sin B cos A ? 2sin A cos A , 当 cos A ? 0 时, A ?

4 3 2 3 ? ? ,B ? ,a ? ,b ? , 3 3 2 6

…………10 分

当 cos A ? 0 时,得 sin B ? 2sin A ,由正弦定理得 b ? 2a ,

? a 2 ? b 2 ? ab ? 4, 2 3 4 3 联立方程组 ? 解得 a ? ,b ? . 3 3 ?b ? 2a,
所以 △ABC 的面积 S ?

…………13 分

1 2 3 ab sin C ? . 2 3

…………14 分

16.证: (1)连 AC1 交 AC 1 于点 O ,? F 为 AC 中点, ? OF / / CC1且OF =

1 CC1 , 2

1 ? E 为 BB1 中点,? BE / /CC1且BE = CC1 , 2

? BE / /OF且BE =OF ,?四边形 BEOF 是平行四边形, ? BF / /OE ,又 BF ? 平面 A1EC , OE ? 平面 A1EC ,? BF / / 平面 A1EC .

…………4 分 …………7 分

(2)由(1)知 BF / /OE ,? AB ? CB , F 为 AC 中点,所以 BF ? AC ,所以 OE ? AC , …………9 分 又因为 AA1 ? 底面 ABC ,而 BF ? 底面 ABC ,所以 AA1 ? BC , 则由 BF / /OE ,得 OE ? AA1 ,而 AA1 , AC ? 平面 ACC1 A1 ,且 AA1 ? AC ? A , 所以 OE ? 面 ACC1 A1 , 又 OE ? 平面 A1 EC ,所以平面 A1 EC ? 平面 ACC1 A1 . …………12 分 …………14 分

高三数学答案 第 1 页 共 5 页

x ? 9, ? ? 100 ? 2 x ? 60, ? 17.解: (1)由题意得, ? …………4 分 1 2 ?100 2 ? 2 x ? 2 ? x ? 2 ?10, ? 5 ? ? x ? 9, ? 解得 ? x ? 20, 即 9 ? x ? 15 . …………7 分 ? ?20 ? x ? 15, ? (2)记“环岛”的整体造价为 y 元,则由题意得 1 4 12a 1 y ? a ? ? ? ( x 2 )2 ? ax ? ? x 2 ? ? (104 ? ? ? ( x 2 )2 ? ? x 2 ) 5 33 11 5 a 1 4 4 3 …………10 分 ? [? (? x ? x ? 12 x 2 ) ? 12 ?104 ] , 11 25 3 1 4 4 3 4 1 令 f ( x) ? ? x ? x ? 12 x 2 ,则 f ?( x) ? ? x3 ? 4 x 2 ? 24 x ? ?4 x( x 2 ? x ? 6) , 25 3 25 25 由 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 10 或 x ? 15 , …………12 分
列表如下:

x 9 (9,10) 10 (10,15) 15 f ?( x) - 0 + 0 f ( x) ↘ 极小值 ↗ 所以当 x ? 10 , y 取最小值. 答:当 x ? 10 m 时,可使“环岛”的整体造价最低. …………14 分 3 3 2 2 2 2 18.解: (1)由题意,得 2a ? (1 ? 1) ? ( ? 0) ? (1 ? 1) ? ( ? 0) ? 4 ,即 a ? 2 , …………2 分 2 2 2 2 x y 2 又 c ? 1 ,? b ? 3 ,?椭圆 C 的标准方程为 …………5 分 ? ? 1. 4 3 8 3 3 8 3 3 ) ,? P (? , ? ) ,又 F (1,0) , ? k AB ? 3 , (2)? B ( , 5 5 5 5 …………7 分 ?直线 AB : y ? 3( x ? 1) ,
? x2 y2 ?1 ? ? 联立方程组 ? 4 ,解得 A(0, ? 3) , 3 ? y ? 3( x ? 1) ?
…………9 分

3 0 . x ? 3 ,即 3x ? 4 y ?4 3 ? 4 (3)当 k AB 不存在时,易得 ym yn ? ?9 ,

?直线 PA : y ? ?

…………10 分

当 k AB 存在时,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 P(? x2 , ? y2 ) ,

?

x12 y12 x2 y2 ( x ? x )( x ? x ) ( y ? y )( y ? y ) ? ? 1 , 2 ? 2 ? 1 ,两式相减, 得 2 1 2 1 ? ? 2 1 2 1 , 4 3 4 3 4 3 ( y ? y )( y ? y ) y 3 3 …………12 分 ? 2 1 2 1 ? ? ? k PA ? k AB ,令 k AB ? k ? 2 ,则 k PA ? ? , ( x2 ? x1 )( x2 ? x1 ) 4 x2 ? 1 4k 3 3 ? 直线 PA 方程: y ? y2 ? ? ( x ? x2 ) ,? yM ? ? ( x2 ? 4) ? y2 , 4k 4k
高三数学答案 第 2 页 共 5 页

? yM ? ?

3( x2 ? 4)( x2 ? 1) y 4y ? y2 , ? 直线 PB 方程: y ? 2 ? x ,? yN ? 2 , 4 y2 x2 x2
( x2 ? 4)( x2 ? 1) 4 y2 2 x2 y2 2 2 ? ,又? 2 ? 2 ? 1 ,? 4 y2 ? 12 ? 3x2 , x2 x2 4 3 ( x2 ? 4)( x2 ? 1) ? 4 ? 3 x2 2 ? ?9 ,所以 yM yN 为定值 ?9 . x2
x

…………14 分

? yM yN ? ?3 ? ? yM yN ? ?3 ?

……………16 分

19.解: (1)? f ?( x) ? e ,? f ?(0) ? 1 ,又 f (0) ? 1 ,

? y ? f ( x) 在 x ? 0 处的切线方程为 y ? x ? 1,

………………2 分

又? g ?( x) ? 2ax ? b ,? g ?(0) ? b ,又 g (0) ? 1 ,? y ? g ( x) 在 x ? 0 处的切线方程为 y ? bx ? 1 , 所以当 a ? 0, a ? R 且 b ? 1时,曲线 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 在 x ? 0 处总有相同的切线 (2)由 a ? 1 , h( x) ? ………4 分

x 2 ? bx ? 1 ? x 2 ? (2 ? b) x ? b ? 1 ? h ( x ) ? , , ? ex ex
………………7 分

? h?( x) ?

? x 2 ? (2 ? b) x ? b ? 1 ( x ? 1)( x ? (1 ? b)) ?? , x e ex

由 h?( x) ? 0 ,得 x1 ? 1 , x2 ? 1 ? b ,

?当 b ? 0 时,函数 y ? h( x) 的减区间为 (??,1 ? b) , (1, ??) ;
当 b ? 0 时,函数 y ? h( x) 的减区间为 (??, ??) ; 当 b ? 0 时,函数 y ? h( x) 的减区间为 (??,1) , (1 ? b, ??) . (3)由 a ? 1 ,则 ? ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? e ? bx ? 1 ,? ? ?( x) ? e ? b ,
x x

……………10 分

①当 b ? 0 时, ? ?( x) ? 0 ,函数 ? ( x) 在 R 单调递增, 又 ? (0) ? 0 ,? x ? (??, 0) 时, ? ( x) ? 0 ,与函数 f ( x) ? g ( x) 矛盾, ②当 b ? 0 时,? ? ?( x) ? 0 , x ? ln b ;? ? ?( x) ? 0 , x ? ln b ………………12 分

?函数 ? ( x) 在 (??,ln b) 单调递减; (ln b, ??) 单调递增,
(Ⅰ)当 0 ? b ? 1 时,? ln b ? 0 ,又 ? (0) ? 0 ,? ? (ln b) ? 0 ,与函数 f ( x) ? g ( x) 矛盾, (Ⅱ)当 b ? 1时,同理 ? (ln b) ? 0 ,与函数 f ( x) ? g ( x) 矛盾, (Ⅲ)当 b ? 1时, ln b ? 0 ,?函数 ? ( x) 在 (??,0) 单调递减; (0, ??) 单调递增,

高三数学答案 第 3 页 共 5 页

? ? ( x) ? ? (0) ? 0 ,故 b ? 1满足题意.
综上所述, b 的取值的集合为 ?1? . 20.解: (1)设等差数列的公差为 d ,则 S6 ? 6a1 ? 所以 Sn ? ……………16 分

n(n ? 5) . 3 (2)因为数列 {a n } 是正项递增等差数列,所以数列 {a k n } 的公比 q ? 1 ,
若 k 2 ? 2 ,则由 a 2 ? 解得 n ?

1 2 ? 6 ? 5d ? 22 ,解得 d ? , 2 3

…………2 分 …………4 分

a2 4 8 4 32 32 2 ? ,此时 a k3 ? 2 ? ( ) 2 ? ,得 q ? ,由 ? (n ? 2) , a1 3 3 3 9 9 3
…………6 分

10 ? N * ,所以 k 2 ? 2 ,同理 k 2 ? 3 ; 3 n ?1 若 k 2 ? 4 ,则由 a 4 ? 4 ,得 q ? 2 ,此时 a k n ? 2 ? 2 ,
另一方面, akn ? 所以 k n ? 3 ? 2
n ?1

2 2 (kn ? 2) ,所以 (kn ? 2) ? 2n ,即 kn ? 3 ? 2n ?1 ? 2 , …………8 分 3 3 所以对任何正整数 n , a k n 是数列 {a n } 的第 3 ? 2 n?1 ? 2 项.所以最小的公比 q ? 2 .
? 2. 2k ? 4 (3)因为 akn ? n ? 2q n ?1 ,得 kn ? 3q n?1 ? 2 ,而 q ? 1 , 3
所以当 q ? 1 且 q ? N 时,所有的 kn ? 3q 当 q ? 2 且 q ? N 时, kn ? 3q 而 6Sn ? kn ?1 有解,所以
n ?1

…………10 分

n ?1

? 2 均为正整数,适合题意;

? 2 ? N 不全是正整数,不合题意.

2n(n ? 5) ? 2 ? 1 有解,经检验,当 q ? 2 , q ? 3 , q ? 4 时, n ? 1 都是 3q n
……………12 分

2n (n ? 5)? 2 ? 1 的解,适合题意; 3q n 2n(n ? 5) ? 2 2n(n ? 5) ? 2 下证当 q ? 5 时, , ? 1 无解, 设 bn ? n 3q 3q n
2[(1 ? q)n 2 ? (7 ? 5q)n ? 7 ? q] 则 bn ?1 ? bn ? , 3q n 5q ? 7 ? 0 ,所以 f (n) ? 2[(1 ? q)n2 ? (7 ? 5q)n ? 7 ? q] 在 n ? N * 上递减, 因为 2 ? 2q
又因为 f (1) ? 0 ,所以 f (n) ? 0 恒成立,所以 bn ?1 ? bn ? 0 ,所以 bn ? b1 恒成立, 又因为当 q ? 5 时, b1 ? 1 ,所以当 q ? 5 时, 6Sn ? kn ?1 无解. 综上所述, q 的取值为 2,3, 4.

………………15 分 ………………16 分

高三数学答案 第 4 页 共 5 页

附加题答案
21. A、解:? P 为 AB 中点,? OP ? AB ,? PB ? 又? PC ? PD ? PA ? PB ? PB 2 ?

r 2 ? OP 2 ?

3 , 2

………………5 分

3 9 2 ,由 PC ? ,得 PD ? . ………………10 分 4 8 3 B、解:设曲线 C 一点 ( x?, y?) 对应于曲线 C ? 上一点 ( x, y ) , ? 2 2 ? ? x? ? ? x ? ? ? ?? ? ? ? 2 2 2 2 2 2 ?? ? ? ? ? ? ,? ………………5 分 x? ? y? ? x , x? ? y? ? y , ? ? ? ? ? 2 2 2 2 ? 2 ? 2 ? ?? ? ? ? ? 2 2 ? ? y?? ? y ? x? y y?x x? y y?x , y? ? ,? x?y? ? ? ? 1 ,?曲线 C ? 的方程为 y 2 ? x 2 ? 2 . …10 分 ? x? ? 2 2 2 2
C、解:易求直线 l : 4 x ? 3 y ? 2 ? 0 ,圆 C : ( x ? a) ? y ? a ,
2 2 2

………………5 分 ………………10 分

依题意,有 D、证: ?

2 ? a ,解得 a ? ?2或 . 9 4 2 ? ( ?3) 2

4a ? 2

x2 x2 2 x2 ? x1 ? 3 ? x2 ? 1 ? x3 ? 2 x2 2 ? 2 x32 ? 2 x12 ? 2( x1 ? x2 ? x3 ) ? 2 , x1 x2 x3
………………10 分
2

?

x2 2 x32 x12 ? ? ? 1. x1 x2 x3
2 1 2

22.解: (1)由点 A(1, 2) 在抛物线 F ,得 p ? 2 ,?抛物线 F : y ? 4 x ,

………………3 分

y y , y1 ) , C ( 2 , y2 ) , 4 4 2 y1 y2 2 y12 y2 2 ?1 ? 1? 1 1 1 4 ? 4 ? y1 ? 2 ? y2 ? y1 ? 2 ? y2 ? 1 . ? 4 ? ? ? ? 4 k1 k2 k3 y1 ? 2 y2 ? y1 2 ? y2 4 4 4
设 B( (2)另设 D (

………………7 分

y32 1 1 1 1 y ? 2 y2 ? y1 y3 ? y2 2 ? y3 ? ? ? ? 0 . ………10 分 , y3 ) ,则 ? ? ? ? 1 k1 k2 k3 k4 4 4 4 4 4 a2 k ?1 ? ?1 ,则 (a2 k ?1 , a2 k ) ? (2, ?2) 或 (a2 k ?1 , a2 k ) ? (?2, 2) , 23.解: (1)因为对任意的 1 ? k ? m ,都有 a2 k
共有 2 种,所以 (a1 , a2 , a3 , ? ? ?, a2 m ) 共有 2m 种不同的选择,所以 A ? 2m . (2)当存在一个 k 时,那么这一组有 2c 种,其余的由(1)知有 2 当存在二个 k 时,因为条件对任意的 1 ? k ? l ? m ,都有 | 其余的由(1)知有 2 ……, 依次类推得: B ? 2cm 2
1 m ?1 2 m?2 m ? 2cm 2 ? ??? ? 2cm ? 2(3m ? 2m ) .
i ? 2 k ?1

………5 分 ,所有共有 2c 2
2
1 m m ?1

1 m

m?1



?

2l

ai |? 4 成立得这两组共有 2cm ,

m?2

,所有共有 2cm 2

2

m?2

; ………10 分

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