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微波技术与天线 第1章


第1章 均匀传输线理论

目录

第1章 均匀传输线理论 第2章 规则金属波导 第3章 微波集成传输线  第4章 微波网络基础 第5章 微波元器件 第6章 天线辐射与接收的基本理论 第7章 电波传播概论 第8章 线天线 第9章 面天线 第10章 微波应用系统

第1章 均匀传输线理论

第1章 均匀

传输线理论
1.1 均匀传输线方程及其解 1.2 传输线的阻抗与状态参量 1.3 无耗传输线的状态分析 1.4 传输线的传输功率、 效率与损耗 1.5 阻抗匹配 1.6 同轴线的特性阻抗  返回主目录

第1章 均匀传输线理论

第 1章 均匀传输线理论
微波传输线是用以传输微波信息和能量的各种形式的传输 系统的总称, 它的作用是引导电磁波沿一定方向传输, 因此又称 为导波系统, 其所导引的电磁波被称为导行波。 一般将截面尺 寸、形状、媒质分布、材料及边界条件均不变的导波系统称为 规则导波系统, 又称为均匀传输线。 把导行波传播的方向称为 纵向, 垂直于导波传播的方向称为横向。无纵向电磁场分量的 电磁波称为横电磁波,即TEM波。另外, 传输线本身的不连续 性可以构成各种形式的微波无源元器件, 这些元器件和均匀传 输线、 有源元器件及天线一起构成微波系统。  

第1章 均匀传输线理论

微波传输线大致可以分为三种类型。第一类是双导体传输 线, 它由两根或两根以上平行导体构成, 因其传输的电磁波是横 电磁波(TEM波)或准TEM波, 故又称为TEM波传输线, 主要包 括平行双线、同轴线、带状线和微带线等, 如图 1 - 1(a)所示。 第二类是均匀填充介质的金属波导管, 因电磁波在管内传播, 故 称为波导, 主要包括矩形波导、圆波导、脊形波导和椭圆波导等, 如图 1- 1(b)所示。第三类是介质传输线, 因电磁波沿传输线表面 传播, 故称为表面波波导, 主要包括介质波导、 镜像线和单根表 面波传输线等, 如图 1 - 1(c)所示。   

第1章 均匀传输线理论

图 1- 1 各种微波传输线

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对均匀传输线的分析方法通常有两种: 一种是场分析法, 即 从麦克斯韦尔方程出发, 求出满足边界条件的波动解, 得出传输 线上电场和磁场的表达式, 进而分析传输特性; 第二种是等效电 路法, 即从传输线方程出发, 求出满足边界条件的电压、 电流 波动方程的解, 得出沿线等效电压、电流的表达式, 进而分析传 输特性。前一种方法较为严格, 但数学上比较繁琐, 后一种方法 实质是在一定的条件下“化场为路”, 有足够的精度, 数学上较 为简便, 因此被广泛采用。   本章从“化场为路”的观点出发, 首先建立传输线方程, 导 出传输线方程的解, 引入传输线的重要参量——阻抗、反射系数 及驻波比; 然后分析无耗传输线的特性, 给出传输线的匹配、 效率及功率容量的概念; 最后介绍最常用的TEM传输线——同 轴线。

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1.1 均匀传输线方程及其解 
1. 均匀传输线方程  由均匀传输线组成的导波系统都可等效为如图 1- 2(a) 所示的均匀平行双导线系统。 其中传输线的始端接微波信号 源(简称信源), 终端接负载, 选取传输线的纵向坐标为z, 坐标 原点选在终端处, 波沿负z方向传播。 在均匀传输线上任意一 点z处, 取一微分线元Δz(Δzλ), 该线元可视为集总参数电 路, 其上有电阻RΔz、电感LΔz、电容CΔz和漏电导GΔz(其中R, L, C, G分别为单位长电阻、 单位长电感、 单位长电容和单位 长漏电导),得到的等效电路如图 1- 2(b)所示, 则整个传输线 可看作由无限多个上述等效电路的级联而成。有耗和无耗传输 线的等效电路分别如图 1- 2(c)、d)所示。  

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??z Zg Eg

i (z+? z,t )

R ??z

L? z

i (z,t )




C? z G? z u (z,t )

~
z l z+? z (a ) z 0

Z1

u (z+?z,t )


z (b )



(c )

(d )

图 1- 2 均匀传输线及其等效电路

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设在时刻t, 位置z处的电压和电流分别为u(z, t)和i(z, t), 而在 位置z+Δz处的电压和电流分别为u(z+Δz, t)和i(z+Δz, t)。 对很 小的Δz, 忽略高阶小量, 有
?u ( z, t ) ?z    u(z+Δz, t)-u(z, t)=u(z, t)zΔz  ?z ? i ( z, t ) ? z i(z+Δz, t)-i(z, t)=i(z, t)zΔz    ?z 对图 1- 2(b), 应用基尔霍夫定律可得 

u(z, t)+RΔzi(z, t)+LΔzi(z, t)t-u(z+Δz, t)=0  i(z, t)+GΔzu(z+Δz, t)+CΔzu(z+Δz, t)t-i(z+Δz, t)=0

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将式(1- 1- 1)代入式(1- 1- 2), 并忽略高阶小量, 可得

?i ( z, t )    u(z, t)z=Ri(z, t)+Li(z, t)t  ?L ?t   i(z, t)z=Gu(z, t)+Cu(z, t)t ? c ?i ( z, t ) ?t
这就是均匀传输线方程, 也称电报方程。   对于时谐电压和电流, 可用复振幅表示为    u(z, t)=Re[U(z)e jωt]  i(z, t)=Re[I(z)e jωt] 将上式代入(1- 1- 3)式, 即可得时谐传输线方程

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d 2U ( z ) ? ZYU ( z ) ? 0 2 dz d 2 I ( z) ? ZYI ( z ) ? 0 2 dz

式中, Z=R+jωL, Y=G+jωC, 分别称为传输线单位长串联阻抗 和单位长并联导纳。   2. 均匀传输线方程的解  将式(1- 1- 5)第1式两边微分并将第 2 式代入, 得 d 2U ( z ) ? ZYU ( z ) ? 0    2 dz 2 d I ( z) 同理可得 ? ZYI ( z ) ? 0 2 dz

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  令γ2=ZY=(R+jωL)(G+jωC), 则上两式可写为     

d 2U ( z ) 2 ? r U ( z) ? 0 2 dz

d 2 I ( z) 2 ? r I ( z) ? 0    2 dz 显然电压和电流均满足一维波动方程。 电压的通解为
U(z)=U+(z)+U-(z)=A1e +γz+A2e -γz 式中, A1, A2为待定系数, 由边界条件确定。   利用式(1- 1- 5), 可得电流的通解为 (1- 1- 7a)

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I(z)=I+(z)+I-(z)=   式中, Z0= 式为

A1e +γz-A2e -γz 

( R ? jwL) /(G ? jwc)

令γ=α+jβ, 则可得传输线上的电压和电流的瞬时值表达   u(z, t)=u+(z, t)+u-(z, t)  =A1e+αzcos(ωt+βz)+A2e-αz cos(ωt-βz)  u(z, t)=i+(z, t)+i-(z, t)  1 = [A1e+αzcos(ωt+βz)+A2e-αz cos(ωt-βz) ] z0

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由上式可见, 传输线上电压和电流以波的形式传播, 在任 一点的电压或电流均由沿 -z 方向传播的行波(称为入射波) 和沿+z方向传播的行波(称为反射波)叠加而成。   现在来确定待定系数, 由图 1- 2(a)可知, 传输线的边界 条件通常有以下三种:   ① 已知终端电压Ul和终端电流Il ;   ② 已知始端电压Ui和始端电流Ii ;  ③ 已知信源电动势Eg和内阻Zg以及负载阻抗Zl。  

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下面我们讨论第一种情况, 其它两种情况留给读者自行 推导。   将边界条件 z=0 处U(0)=Ul、I(0)=Il 代入式(1- 1-7), 得   Ul=A1+A2  1 I l= (A1-A2) Z0 由此解得    A1=12(Ul+IlZ0)  A2=12(Ul-IlZ0)

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将上式代入式(1- 1- 7), 则有    U(z)=Ul chγz+IlZ0 shγz 

U1 shγz I(z)=Il chγz+ Z0
写成矩阵形式为 U(z) I(z) =
1  shγz  Z0

(1- 1- 11)

Chγz

Z0shγz  chγz

Ul  Il 

可见, 只要已知终端负载电压Ul、 电流Il及传输线特性参数 γ、Z0, 则传输线上任意一点的电压和电流就可由式(1- 1- 12) 求得。

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3. 传输线的工作特性参数  1) 特性阻抗Z0  将传输线上导行波的电压与电流之比定义为传输线的特性 阻抗, 用Z0来表示, 其倒数称为特性导纳, 用Y0来表示。   由定义得   

U? (Z ) U? (Z ) ? ? Z0= I? (Z ) I? (Z )
Z0=
R ? jwL C ? jwC

 由式(1- 1- 6)及(1- 1- 7)得特性阻抗的一般表达式为   

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可见特性阻抗Z0通常是个复数, 且与工作频率有关。 它 由传输线自身分布参数决定而与负载及信源无关, 故称为特 性阻抗。   对于均匀无耗传输线, R=G=0, 传输线的特性阻抗为   
1 Z0=   C

此时, 特性阻抗Z0为实数, 且与频率无关。   当损耗很小, 即满足R<<ωL、 G<<ωC时,有

R ? jwL L 1 R 1 G Z0 ? ? (1 ? )(1 ? ) G ? jwC C 2 jwL 2 jwC

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L 1 R c L ? [1 ? j ( ? )] ? C C 2 wL wc
可见, 损耗很小时的特性阻抗近似为实数。   对于直径为d、间距为D的平行双导线传输线, 其特性阻 抗为   

2D Z0 ? ln d ?r

120

式中, εr为导线周围填充介质的相对介电常数。 常用的 平行双导线传输线的特性阻抗有250Ω, 400Ω和 600Ω三种。   对于内、外导体半径分别为a、b的无耗同轴线, 其特性阻 抗为

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b ln z0 ? ?i a
式中, εr为同轴线内、外导体间填充介质的相对介电常数。 常用的同轴线的特性阻抗有50 Ω 和75Ω两种。   2) 传播常数γ  传播常数γ是描述传输线上导行波沿导波系统传播过程中 衰减和相移的参数, 通常为复数,由前面分析可知   
1 R 1 G r ? jw LC (1 ? ) 2 (1 ? )2 jwL jwC

60

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式中 , α为衰减常数 , 单位为 dB/m( 有时也用 Np/m, 1  Np/m=8.86 dB/m ); β为相移常数, 单位为rad/m。   对于无耗传输线,R=G=0, 则α=0, 此时γ=jβ, β=ω LC。   对于损耗很小的传输线, 即满足R<<ωL、G<<ωC时, 有

R G r ? jw LC (1 ? ) (1 ? ) jwL jwc
1 ? ( RY0 ? GZ 0 ) ? jw LC 2

1 2

1 2

于是小损耗传输线的衰减常数α和相移常数β分别为

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α=12(RY0+GZ0)  β=ω
LC

3) 相速vp与波长λ  传输线上的相速定义为电压、电流入射波(或反射波)等 相位面沿传输方向的传播速度, 用vp来表示。 由式(1- 1- 8) 得等相位面的运动方程为 ωt±βz=const .(常数)   上式两边对t微分, 有   

? dz w vp=   ? dt

?

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传输线上的波长λ与自由空间的波长λ0有以下关系:   

?0 ? ? λ=    ? f ?r
vp

2?

对于均匀无耗传输线来说, 由于β与ω成线性关系, 故导 行波的相速与频率无关, 也称为无色散波。当传输线有损耗时, β不再与ω成线性关系, 使相速vp与频率ω有关,这就称为色 散特性。   在微波技术中, 常可把传输线看作是无损耗的, 因此, 下面 着重介绍均匀无耗传输线。   

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1.2 传输线阻抗与状态参量 
传输线上任意一点电压与电流之比称为传输线在该点的阻 抗, 它与导波系统的状态特性有关。 由于微波阻抗是不能直接 测量的, 只能借助于状态参量如反射系数或驻波比的测量而获 得,为此,引入以下三个重要的物理量: 输入阻抗、 反射系数 和驻波比。   1. 输入阻抗  由上一节可知, 对无耗均匀传输线, 线上各点电压U(z)、 电 流I(z)与终端电压Ul、终端电流Il的关系如下

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U(z)=Ulcos(βz)+jIlZ0sin(βz)  I(z)=Il cos(βz)+jUlZ0sin(βz) (1- 2- 1)

式中, Z0为无耗传输线的特性阻抗, β为相移常数。   定义传输线上任意一点 z 处的输入电压和输入电流之比为 该点的输入阻抗, 记作      由式(1- 2- 1)得 Zin(z), 即
U (Z ) Zin(z)=   I (Z )

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Z1 ? jZ 0 tan( ?z ) U1 cos( ?z ) ? jI1Z 0 sin( ?z ) Zin(z)= ? Z0 U1 Z 0 ? jZ1 tan( ?z ) U1 cos( ?z ) ? j sin( ?z ) Z0
式中, Zl为终端负载阻抗。   上式表明: 均匀无耗传输线上任意一点的输入阻抗与观察 点的位置、传输线的特性阻抗、终端负载阻抗及工作频率有关, 且一般为复数, 故不宜直接测量。另外, 无耗传输线上任意相距 λ/2处的阻抗相同, 一般称之为λ/2重复性。   [例1- 1]一根特性阻抗为50 Ω、 长度为0.1875m的无耗 均匀传输线 , 其工作频率为 200MHz, 终端接有负载 Zl=40+j30 (Ω), 试求其输入阻抗。  

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解: 由工作频率f=200MHz得相移常数β=2πf/c=4π/3。 将 Zl=40+j30 (Ω), Z0=50,z=l=0.1875 及β值代入式( 1 - 23), 有

Z1 ? jZ 0 tan ?l Z in ? Z 0 ? 100? Z 0 ? jZ1 tan ?l
可见, 若终端负载为复数, 传输线上任意点处输入阻抗一 般也为复数, 但若传输线的长度合适, 则其输入阻抗可变换为 实数, 这也称为传输线的阻抗变换特性。   2. 反射系数  定义传输线上任意一点z处的反射波电压(或电流)与入 射波电压(或电流)之比为电压(或电流)反射系数, 即

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  由式(1- 1- 7)知, Γu(z)=-Γi(z), 因此只需讨论其中之 一即可。通常将电压反射系数简称为反射系数, 并记作Γ(z)。   由式(1- 1- 7)及(1- 1- 10)并考虑到γ= j β, 有

U? (Z ) Γu= U ? ( Z ) I? (Z ) Γi= I? (Z )

(1- 2- 4)

A2e ? j?z z1 ? z0 ? j 2 ?z -j2βz    Γ(z)= ? e ? Γ e l A1e ? j?z z1 ? z0
点反射系数可用终端反射系数表示为

z1 ? z0 式中, Γl= Γl e jφl, 称为终端反射系数。于是任意 z1 ? z0

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Γ(z)=|Γl|e j(φl-2βz)

(1- 2- 6)

  由此可见, 对均匀无耗传输线来说, 任意点反射系数Γ(z)大 小均相等, 沿线只有相位按周期变化, 其周期为λ/2, 即反射系数 也具有λ/2重复性。   3. 输入阻抗与反射系数的关系  由式(1- 1- 7)及(1- 2- 4)得   U(z)=U+(z)+U-(z)=A1e jβz[1+Γ(z)]  A1 jβz I(z)=I+(z)+I-(z)= e [1-Γ(z)] (1- 2- 7) Z0

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于是有
U (Z )   Zin(z)= I ( Z ) 1 ? ?( Z ) =Z01 ? ?( Z )

(1- 2- 8)

Z in ( z ) ? Z 0    Γ(z)= Z in ( z ) ? Z 0

  式中, Z0为传输线特性阻抗。 式(1- 2- 8)还可以写成 (1- 2- 9)

  由此可见, 当传输线特性阻抗一定时, 输入阻抗与反射系数 有一一对应的关系, 因此, 输入阻抗Zin(z)可通过反射系数Γ(z) 的测量来确定。   当z=0时, Γ(0)=Γl, 则终端负载阻抗Zl与终端反射系数Γl 的关系为

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Γl=

Z1 ? Z 0 Z1 ? Z 0

(1- 2- 10)

  这与式(1- 2- 5)得到的结果完全一致。   显然, 当Zl=Z0时, Γl=0, 即负载终端无反射, 此时传输线上 反射系数处处为零, 一般称之为负载匹配。而当Zl≠Z0时, 负载 端就会产生一反射波, 向信源方向传播, 若信源阻抗与传输线特 性阻抗不相等时, 则它将再次被反射。 4. 驻波比  由前面分析可知, 终端不匹配的传输线上各点的电压和电 流由入射波和反射波叠加而成, 结果在线上形成驻波。

第1章 均匀传输线理论

对于无耗传输线, 沿线各点的电压和电流的振幅不同, 以 λ/2周期变化。为了描述传输线上驻波的大小, 我们引入一个 新的参量——电压驻波比。   定义传输线上波腹点电压振幅与波节点电压振幅之比为电 压驻波比, 用ρ表示: ρ=

U max U min

电压驻波比有时也称为电压驻波系数, 简称驻波系数, 其倒 数称为行波系数, 用K表示。于是有

k?

1

?

?

U min U max

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  由于传输线上电压是由入射波电压和反射波电压叠加而 成的, 因此电压最大值位于入射波和反射波相位相同处, 而最 小值位于入射波和反射波相位相反处, 即有   |U|max=|U+|+|U-||U|min=|U+|-|U-| (1- 2- 13)

  将式(1- 2- 13)代入式(1- 2- 11), 并利用式(1- 24),得
1 ? U ? / U ? 1 ? ?1 ? ?? 1 ? U ? / U ? 1 ? ?1

由此可知, 当|Γl|=0 即传输线上无反射时, 驻波比ρ=1; 而 当|Γl|=1即传输线上全反射时, 驻波比ρ →∞, 因此驻波比ρ 的取值范围为1≤ρ<∞。可见,驻波比和反射系数一样可用 来描述传输线的工作状态。  

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[ 例 1- 2 ] 一 根 75 Ω 均 匀 无 耗 传 输 线 , 终 端 接 有 负 载 Zl=Rl+jXl, 欲使线上电压驻波比为3, 则负载的实部Rl和虚部Xl 应满足什么关系?  解: 由驻波比ρ=3, 可得终端反射系数的模值应为   

? ?1 |Γl|=   ? 0.5 ? ?1

于是由式(1- 2- 10)得

Z1 ? Z 0 ?1 ? ? 0.5 Z1 ? Z 0

第1章 均匀传输线理论

将Zl=Rl+jXl, Z0=75代入上式, 整理得负载的实部Rl和虚部Xl 应满足的关系式为   (Rl-125)2+X2l=1002 即负载的实部Rl和虚部Xl应在圆心为(125, 0)、半径为100的 圆上, 上半圆对应负载为感抗, 而下半圆对应负载为容抗。  

第1章 均匀传输线理论

1.3 无耗传输线的状态分析 
对于无耗传输线, 负载阻抗不同则波的反射也不同; 反射波 不同则合成波不同; 合成波的不同意味着传输线有不同的工作 状态。 归纳起来, 无耗传输线有三种不同的工作状态: ① 行波状态; ② 纯驻波状态; ③ 行驻波状态。 下面分别讨 论之。   1. 行波状态  行波状态就是无反射的传输状态, 此时反射系数Γl=0, 而 负载阻抗等于传输线的特性阻抗, 即Zl=Z0, 也可称此时的负载为 匹配负载。

第1章 均匀传输线理论

处于行波状态的传输线上只存在一个由信源传向负载的单 向行波, 此时传输线上任意一点的反射系数Γ(z)=0, 将之代入式 (1- 2- 7)就可得行波状态下传输线上的电压和电流 U(z)=U+(z)=A1e jβz      设A1=|A1|ejφ0, 考虑到时间因子e jωt, 则传输线上电压、 电 流瞬时表达式为   u(z, t)= |A1|cos(ωt+βz+φ0)  i(z, t)= A1 cos(ωt+βz+φ0) Z0 (1- 3- 2)

A1 jβz I(z)=I+(z)= e   Z0

(1- 3- 1)

第1章 均匀传输线理论

此时传输线上任意一点z处的输入阻抗为    Zin(z)=Z0

  综上所述, 对无耗传输线的行波状态有以下结论:   ① 沿线电压和电流振幅不变, 驻波比ρ=1;   ② 电压和电流在任意点上都同相;   ③ 传输线上各点阻抗均等于传输线特性阻抗。   2. 纯驻波状态  纯驻波状态就是全反射状态 , 也即终端反射系数|Γl|=1。 在此状态下, 由式(1- 2- 10),负载阻抗必须满足

第1章 均匀传输线理论

Z1 ? Z 0 ? ?1 ? 1 Z1 ? Z 0

由于无耗传输线的特性阻抗Z0为实数, 因此要满足式(13- 3), 负载阻抗必须为短路(Zl=0)、开路(Zl→∞)或纯电 抗(Zl=jXl)三种情况之一。在上述三种情况下, 传输线上入射 波在终端将全部被反射, 沿线入射波和反射波叠加都形成纯驻 波分布, 唯一的差异在于驻波的分布位置不同。下面以终端短 路为例分析纯驻波状态。 终端负载短路时, 即负载阻抗Zl=0, 终端反射系数Γl=-1, 而 驻波系数ρ→∞, 此时,传输线上任意点z处的反射系数为Γ(z)=e j2βz, 将之代入式(1 - 2- 7)并经整理得

第1章 均匀传输线理论

U(z)=j2A1sinβz  I(z)= 2 A1 cosβz (1- 3- 4) Z0   设A1=|A1|e jφ0, 考虑到时间因子e 电流瞬时表达式为 u(z,t)=2|A1|cos(ωt+φ0+  

jωt,

则传输线上电压、

?

2 ]sinβz

i(z, t)= 2 A1 cos(ωt+φ0)cosβz Z0 此时传输线上任意一点z处的输入阻抗为    Zin(z)=jZ0tanβz (1- 3- 6)

第1章 均匀传输线理论

图 1- 3 给出了终端短路时沿线电压、电流瞬时变化的幅度 分布以及阻抗变化的情形。对无耗传输线终端短路情形有以下 结论:   ① 沿线各点电压和电流振幅按余弦变化, 电压和电流相位 差 90°, 功率为无功功率, 即无能量传输;   ② 在z=nλ/2(n=0, 1, 2, …)处电压为零, 电流的振幅值最大且 等于2|A1|/Z0, 称这些位置为电压波节点, 在z=(2n+1)λ/4 (n=0, 1, 2, …)处电压的振幅值最大且等于2|A1|, 而电流为零, 称这些位置 为电压波腹点;  

第1章 均匀传输线理论

?
z

3? / 4

?/2

?/4

I

U

z

?

3? / 4

?/2
(a )

?/4

O Zin

z

?

3? / 4

?/2

?/4

O

(b )

图 1- 3 终端短路线中的纯驻波状态

第1章 均匀传输线理论

③ 传输线上各点阻抗为纯电抗, 在电压波节点处Zin=0, 相 当于串联谐振, 在电压波腹点处|Zin|→∞, 相当于并联谐振, 在0 < z <λ/4 内 , Zin=jX 相当于一个纯电感 , 在λ/4 < z <λ/2 内 , Zin=-jX相当于一个纯电容,从终端起每隔λ/4阻抗性质就变换 一次, 这种特性称为λ/4阻抗变换性。   根据同样的分析, 终端开路时传输线上的电压和电流也呈 纯驻波分布, 因此也只能存储能量而不能传输能量。在z=nλ/2 (n=0,1,2, …)处为电压波腹点, 而在z=(2n+1)λ/4(n=0, 1, 2, …)处 为电压波节点。 实际上终端开口的传输线并不是开路传输线, 因为在开口处会有辐射, 所以理想的终端开路线是在终端开口 处接上λ/4短路线来实现的。图1- 4给出了终端开路时的驻波 分布特性。O′位置为终端开路处, OO′为λ/4短路线。  

第1章 均匀传输线理论
?
z U I 3??/ 4

??/ 2

??/ 4

z

O′

O Z in O

z

O′

图 1- 4 无耗终端开路线的驻波特性

第1章 均匀传输线理论

当均匀无耗传输线端接纯电抗负载Zl=±jX时, 因负载不能 消耗能量, 仍将产生全反射, 入射波和反射波振幅相等, 但此时 终端既不是波腹也不是波节, 沿线电压、电流仍按纯驻波分布。 由前面分析得小于λ/4的短路线相当于一纯电感, 因此当终端 负载为Zl=jXl的纯电感时, 可用长度小于λ/4的短路线lsl来代替。 由式(1- 3- 6)得
X1 ? ( lsl= arctan   ) Z0 2?

同理可得, 当终端负载为Zl=-jXC的纯电容时, 可用长度小 于λ/4的开路线loc来代替(或用长度为大于λ/4小于λ/2的短 路线来代替), 其中:

X1 ? loc ? arc cot( ) Z0 2?

第1章 均匀传输线理论

图 1- 5 给出了终端接电抗时驻波分布及短路线的等效。   总之, 处于纯驻波工作状态的无耗传输线, 沿线各点电压、 电流在时间和空间上相差均为π/2, 故它们不能用于微波功率的 传输, 但因其输入阻抗的纯电抗特性, 在微波技术中却有着非常 广泛的应用。   3. 行驻波状态  当微波传输线终端接任意复数阻抗负载时, 由信号源入射 的电磁波功率一部分被终端负载吸收, 另一部分则被反射, 因此 传输线上既有行波又有纯驻波, 构成混合波状态, 故称之为行驻 波状态。  

第1章 均匀传输线理论

jX i Isl

jX C Ioc

I z

U O Zin z

U

I O′ Zin

O′

O″

z

O′

O

z

O″

O′

(a )

(b )

图 1- 5 终端接电抗时驻波分布

第1章 均匀传输线理论

设终端负载为Zl=Rl±jXl, 由式(1- 2- 5)得终端反射系数为    式中:   |Γl|=

z1 ? z0 R1 ? jX 1 ? Z 0 ?1 ? ? ? ?1 e ? j?1 z1 ? z0 R1 ? jX 1 ? Z 0
2 X 1Z 0 ( R1 ? Z 0 ) 2 ? X 12 ? ? arctan 1 2 2 2 2 2 R ? X ? Z ( R1 ? Z 0 ) ? X 1 1 1 0

由式(1- 2- 7)可得传输线上各点电压、 电流的时谐表达 式为    U(z)=A1e jβz [1+Γle -j2βz]

A1 I(z)= Z0

e jβz [1-Γle-j2βz] 

第1章 均匀传输线理论

设A1=|A1|ejφ0, 则传输线上电压、 电流的模值为   |U(z)|=|A1|1+|Γl|2+2|Γl| cos(φl-2βz)1/2  
A1 |I(z)|= Z0

+|Γl|2-2|Γl| cos(φl-2βz)1/2 (1- 3- 11)

传输线上任意点输入阻抗为复数, 其表达式为   

Z1 ? jZ 0 tan( ?z ) Zin(z)= Z 0 Z 0 ? jZ1 tan( ?z )

图 1- 6 给出了行驻波条件下传输线上电压、 电流的分布。 讨论:   ① 当cos(φl-2βz)=1时, 电压幅度最大, 而电流幅度最小, 此处称为电压的波腹点, 对应位置为

第1章 均匀传输线理论

图 1- 6 行驻波条件下传输线上电压、 电流的分布

第1章 均匀传输线理论

? ? ?1 ? n (n ? 0,1,2,...) zmax= 4? 2 相应该处的电压、 电流分别为
   |U|max=|A1|[1+|Γl|] 
A1 |I|min= [1-|Γl|] Z0
1 ? ?1 Rmax=Z01 1 ? ? ? Z 0 P 1

(1- 3- 13)

  于是可得电压波腹点阻抗为纯电阻, 其值为    (1- 3- 14)

②当 cos(φl-2βz)=-1 时 , 电压幅度最小 , 而电流幅度最大 , 此处称为电压的波节点, 对应位置为

第1章 均匀传输线理论

zmin=

? ? ?1 ? (2n ? 1) 4? 4

相应的电压、 电流分别为    |U|min=|A1|[1-|Γl|]  |I|max=|A1|Z0[1+|Γl|]   该处的阻抗也为纯电阻, 其值为 1 ? ?1 z0 ?    Rmin= z1 1 ? ?1 ?   关系: Rmax·Rmin=Z20 (1- 3- 15)

(1- 3- 16)

可见, 电压波腹点和波节点相距λ/4, 且两点阻抗有如下

第1章 均匀传输线理论

实际上, 无耗传输线上距离为λ/4的任意两点处阻抗的乘 积均等于传输线特性阻抗的平方, 这种特性称之为λ/4阻抗变 换性。   [例 1- 3]设有一无耗传输线, 终端接有负载Zl=40-j30(Ω):   ① 要使传输线上驻波比最小, 则该传输线的特性阻抗应取 多少?  ② 此时最小的反射系数及驻波比各为多少?  ③ 离终端最近的波节点位置在何处?  ④ 画出特性阻抗与驻波比的关系曲线。   解: ① 要使线上驻波比最小, 实质上只要使终端反射系数 的模值最小, 即

第1章 均匀传输线理论

?? ? z 0 =0, 而由式(1- 2- 10)得

   |Γl|=

z1 ? z0 ? ( 40 ? z0 ) 2 ? 302 ? ? ?? 2 2 ? ? z1 ? z0 ? ( 40 ? z0 ) ? 30 ?

1 2

   将上式对Z0求导, 并令其为零, 经整理可得    402+302-Z20=0

  即Z0=50Ω。 这就是说, 当特性阻抗Z0=50Ω时终端反射系 数最小, 从而驻波比也为最小。    ② 此时终端反射系数及驻波比分别为

第1章 均匀传输线理论
? z1 ? z0 40 ? j 30 ? 50 1 j 32 ? ? e ?1 ? z1 ? z0 40 ? j 30 ? 50 3

1 ? ?1 ?? ?2 1 ? ?1

③ 由于终端为容性负载, 故离终端的第一个电压波节点位 置为 ? ? 1

zmin1 ?

4?

?0 ?

? ? 4? 8

  ④ 终端负载一定时, 传输线特性阻抗与驻波系数的关系曲 线如图 1- 7 所示。其中负载阻抗Zl=40-j30 (Ω)。由图可见, 当Z0=50Ω时驻波比最小, 与前面的计算相吻合。

第1章 均匀传输线理论

图 1- 7 特性阻抗与驻波系数的关系曲线

第1章 均匀传输线理论

1.4 传输线的传输功率、 效率和损耗
1. 传输功率与效率  设传输线均匀且γ=α+ j β (α≠0), 则沿线电压、 电 流的解为    U(z)=A1eαz e jβz+Γle –jβz e -αz   A1 I(z)= Z eαz ejβz-Γle-jβze -αz (1- 4- 1) 0 假设Z0为实数, Γl=|Γ§|e 上任一点z处的传输功率为
jφl,

由电路理论可知,传输线

第1章 均匀传输线理论

A1 2 az 1 2 ? 4 az ? e [1 ? ? e ] P ( Z ) ? Re[U ( Z ) I ( Z )] ? 2 2Z0

? p? ( z ) ? p? ( z )
其中, P+(z)为入射波功率, P-(z)为反射波功率。   设传输线总长为l, 将z=l代入式(1- 4- 2), 则始端入射功率为 A1 2 al 2 ? 4 al (1- 4- 3) P (l ) ? e [1 ? ?1 e 2Z0   终端负载在z=0处, 故负载吸收功率为 2 A1 2 [1 ? ?1 ]    P(0)= (1- 4- 4) 2Z0   由此可得传输线的传输效率为    η= 负载吸收功率p(0) ?
始端入射功率p (l ) 1 ? ?1
2 al 2 2 4 al

e [1 ? ?1 e ]

第1章 均匀传输线理论

   当负载与传输线阻抗匹配时, 即|Γl|=0, 此时传输效率最高, 其值为   ηmax=e-2αl (1- 4- 6)   可见, 传输效率取决于传输线的损耗和终端匹配情况。   2. 损耗  传输线的损耗可分为回波损耗和反射损耗。   回波损耗定义为入射波功率与反射波功率之比, 即

p? Lr(z)=10 lg p?

由式(1- 4- 2)得

第1章 均匀传输线理论

Lr ( z ) ? 10 lg

1 ?1 e
2 ? 4 ax

? ?20 lg ?1 ? 2.(8.686az )

对于无耗线, α=0, Lr与z无关, 即    Lr(z)=-20lg|Γl|(dB) (1- 4- 9)

  若负载匹配, 则|Γl|=0, Lr→-∞, 表示无反射波功率。   反射损耗一般仅用于信源匹配条件下, 表征由负载不匹配 引起的负载功率减小程度, 即   

p1 | z1 ? z0 LR ? 10 lg p1 | z1 ? z

第1章 均匀传输线理论

图 1- 8 | Lr|、 |LR|随反射系数的变化曲线

第1章 均匀传输线理论

由式(1- 4- 2)得   

1

LR=10lg 1 ? ?1 2
( ? ? 1) 2 =10lg    4?

式中, ρ为传输线上驻波系数。 因反射损耗取决于负载失 配情况, 故又称为失配损耗。   总之, 回波损耗和反射损耗虽然都与反射信号即反射系数 有关, 但回波损耗取决于反射信号本身的损耗, |Γl|越大, 则|L  r|越小; 而反射损耗LR则表示反射信号引起的负载功率的减小, |Γl|越大, 则|LR|也越大。 图 1- 8 是回波损耗|Lr|和反射损耗 |LR|随反射系数的变化曲线。  

第1章 均匀传输线理论

1.5 阻抗匹配 
1. 传输线的三种匹配状态  阻抗匹配具有三种不同的含义, 分别是负载阻抗匹配、 源阻抗匹配和共轭阻抗匹配, 它们反映了传输线上三种不同 的状态。   1) 负载阻抗匹配  负载阻抗匹配是负载阻抗等于传输线的特性阻抗的情形, 此时传输线上只有从信源到负载的入射波, 而无反射波。匹 配负载完全吸收了由信源入射来的微波功率; 而不匹配负载 则将一部分功率反射回去, 在传输线上出现驻波。

第1章 均匀传输线理论

当反射波较大时, 波腹电场要比行波电场大得多, 容易发 生击穿, 这就限制了传输线能最大传输的功率, 因此要采取措 施进行负载阻抗匹配。负载阻抗匹配一般采用阻抗匹配器。 2) 源阻抗匹配  电源的内阻等于传输线的特性阻抗时, 电源和传输线是匹 配的, 这种电源称之为匹配源。对匹配源来说, 它给传输线的 入射功率是不随负载变化的, 负载有反射时, 反射回来的反射 波被电源吸收。可以用阻抗变换器把不匹配源变成匹配源 , 但常用的方法是加一个去耦衰减器或隔离器, 它们的作用是 吸收反射波。  

第1章 均匀传输线理论

3) 共轭阻抗匹配  设信源电压为Eg, 信源内阻抗Zg=Rg+jXg, 传输线的特性阻抗 为Z0, 总长为l, 终端负载为Zl, 如图 1- 9(a)所示, 则始端输入阻 抗Zin为  

z1 ? jz0 tan ?l  Zin= =Rin+jXin   z1 ? jzi tan ?l
? g

由图 1- 9(b)可知, 负载得到的功率为    P=

E g Rin Eg E 1 1 Rin ? 2 ( z g ? zin )( z g ? zin ) 2 ( Rg ? Rin ) 2 ? ( x g ? xin ) 2

2

第1章 均匀传输线理论
l

Zg Eg

Z0

~
(a )

Zl

Zg=R g+jX g Eg

Zin=Z* g =R g-jX g

~
(b )

图1-9 无耗传输线信源的共扼匹配

第1章 均匀传输线理论

要使负载得到的功率最大, 首先要求    Xin=-Xg  (1- 5- 3)

  此时负载得到的功率为 2 E g Rin    P=  (Re ? Rin ) 2 dp 可见当  =0时P取最大值, 此时应满足

dRin

 

 Rg=Rin

(1- 5- 5)

  综合式(1- 5- 3)和(1- 5- 5)得    Zin=Z*g 

第1章 均匀传输线理论

因此, 对于不匹配电源, 当负载阻抗折合到电源参考面上的 输入阻抗为电源内阻抗的共轭值时, 即当Zin=Z*g时, 负载能得 到最大功率值。通常将这种匹配称为共轭匹配。 此时, 负载 得到的最大功率为    Pmax=
1 2

1 |Eg|2 4 R (1- 5- 7) g

  2. 阻抗匹配的方法  对一个由信源、传输线和负载阻抗组成的传输系统 (如图 1- 9(a)所示), 希望信号源在输出最大功率的同时,负载全部 吸收, 以实现高效稳定的传输。因此一方面应用阻抗匹配器使 信源输出端达到共轭匹配, 另一方面应用阻抗匹配器使负载与 传输线特性阻抗相匹配, 如图 1- 10 所示。

第1章 均匀传输线理论

Zg

Eg

~

匹配器1

Z0

匹配器2

Zl

图 1- 10 传输线阻抗匹配方法示意图

第1章 均匀传输线理论

由于信源端一般用隔离器或去耦衰减器以实现信源端匹配, 因此我们着重讨论负载匹配的方法。 阻抗匹配方法从频率上 划分有窄带匹配和宽带匹配,从实现手段上划分有串联λ/4阻 抗变换器法、支节调配器法。下面就来分别讨论两种阻抗匹配 方法。    1) λ/4阻抗变换器法  当负载阻抗为纯电阻Rl且其值与传输线特性阻抗Z0不相等 时, 可在两者之间加接一节长度为λ/4、 特性阻抗为Z01的传输 线来实现负载和传输线间的匹配, 如图 1- 11(a)所示。   

第1章 均匀传输线理论

A Zin A′

?/4
Z01 (a ) Zl=R l

Z0

?/4
Zin Z01 Rx

l1 Z0 Zl=R l+jX l

Z0

(b )

图 1- 11 λ/4阻抗变换器

第1章 均匀传输线理论

由无耗传输线输入阻抗公式得 2 R1 ? jz01 tan( ?? / 4) Z 01 ? Z in ? z01    z01 ? jR1 tan( ?? / 4) R1 时, 输入端的输入阻抗 因此当传输线的特性阻抗Z01= z R Zin=Z0, 从而实现了负载和传输线间的阻抗匹配。由于传输线的 特性阻抗为实数, 所以λ/4阻抗变换器只适合于匹配电阻性负 载; 若负载是复阻抗, 则需先在负载与变换器之间加一段传输线, 使变换器的终端为纯电阻, 然后用λ/4阻抗变换器实现负载匹 配, 如图 1- 11(b)所示。 由于λ/4阻抗变换器的长度取决于波长, 因此严格说它只 能在中心频率点才能匹配, 当频偏时匹配特性变差, 所以说该匹 配法是窄带的。  
0 1

第1章 均匀传输线理论

2) 支节调配器法  支节调配器是由距离负载的某固定位置上的并联或串联 终端短路或开路的传输线(又称支节)构成的。可分为单支 节调配器、 双支节调配器及多支节调配器。下面我们仅分析 单支节调配器, 关于多支节调配的方法本书不作介绍。  (1) 串联单支节调配器  设传输线和调配支节的特性阻抗均为 Z0, 负载阻抗为 Zl, 长度为l2的串联单支节调配器串联于离主传输线负载距离l1处, 如图 1- 12 所示。设终端反射系数为|Γl|ejφl, 传输线的工作波 长为λ, 驻波系数为ρ, 由无耗传输线状态分析可知, 离负载第 一个电压波腹点位置及该点阻抗分别为

第1章 均匀传输线理论

A l 1′

B l max1

Z0

Zin Z0

Z0

Zl ′

Zl

l2

B′ A′
图 1- 12 串联单支节调配器

第1章 均匀传输线理论

lmax1= ? ?1 4?
Z1\ ? Z 0 ?

令l1′=l1-lmax1, 并设参考面AA′处输入阻抗为Zin1, 则有

Z1? ? jz0 tan( ?l1?) Z in1 ? Z 0 ? ? jz1 tan( ?l1?) Z0
终端短路的串联支节输入阻抗为 Zin2=jZ0 tan(βl2) 则总的输入阻抗为 (1- 5- 11)

( ?l2 )   Zin=Zin1+Zin2=R1+ jX1+jZ0tan 

第1章 均匀传输线理论

  要使其与传输线特性阻抗匹配, 应有   

R1=Z0  X1+Z0 tan(βl2)=0 (1- 5- 13)

 经推导可得(取其中一组解)

tan ?l1? ?

z0 1 ? ? z1 p

?? z0 z1 ? ?1 tan ?l2 ? ? ? z0 z1 p

第1章 均匀传输线理论

其中, Zl′由式(1- 5- 9)决定。式(1- 5- 14a)还可写成   

? 1 l1? ? arctan 2? ? ? ? ?1 l2 ? arctan 2? ?
其中, λ为工作波长。 而AA′距实际负载的位置l1为 

l1=l1′+lmax1

 (1- 5- 15)

  由式(1- 5- 14)及(1- 5- 15)就可求得串联支节的位置 及长度。   [例 1- 4]设无耗传输线的特性阻抗为50 Ω, 工作

第1章 均匀传输线理论

频率为300MHz, 终端接有负载Zl=25+j75(Ω), 试求串联短 路匹配支节离负载的距离l1及短路支节的长度l2。   解: 由工作频率f=300MHz, 得工作波长λ=1m。终端反射 系数
z1 ? z0 Γl=|Γl|e jφl= z ? z 1 0

=0.333+j0.667=0.7454e j1.1071 

 

1 ? ?1 ? 6.8541 驻波系数 ρ=  1 ? ?1

第一波腹点位置 调配支节位置

? ?1 ? 0.0881( m) lmax1= 4?
? 1 arcr tan ? 0.1462 2? p

l max 1 ?

第1章 均匀传输线理论

(2) 并联调配器  设传输线和调配支节的特性导纳均为 Y0, 负载导纳为 Yl, 长度为 l2 的单支节调配器并联于离主传输线负载 l1 处 , 如图 1-

13 所示。 设终端反射系数为|Γl|e
压波节点位置及该点导纳分别为

jφl,

传输线的工作波长为λ,

驻波系数为ρ, 由无耗传输线状态分析可知,离负载第一个电

? ? lmin1 ? ?1 ? 4? 4 Y1? ? Y0 ?
令l1′=l1-lmin1, 并设参考面AA′处的输入导纳为Yin1, 则有

第1章 均匀传输线理论

A l 1′ l min1

Y0

Yin

Y0 Y0 A′
l2

Yl ′

Zl

图 1- 13 并联单支节调配器

第1章 均匀传输线理论

Yin1 =

Y1? ? jY0 tan( ?l1?) Y0 Y0 ? jY0? tan( ?l1?)

Yin 2

jY0 ?? tan( ?l2 )
(1- 5- 19)

则总的输入导纳为  

jY0 Yin=Yin1+Yin2=G1+jB1- tan( ?l ) 2

  要使其与传输线特性导纳匹配, 应有   

G1=Y0  B1 tan(βl2)-Y0=0
由此可得其中一组解为

第1章 均匀传输线理论

Y0 1 ? tanβl1′= Y1 ? ? Y0Y1? ?  tanβl2= Y0Y1? 1 ? ?

其中, Yl′由式(1- 5- 17)决定。式(1- 5- 21a)还可写成

? 1 l1′= 2? arctan ? l2= ? ? ? arctan 1 ? ? 2 2? ?
而AA′距实际负载的位置l1为   

l1=l 1′+lmin1 

第1章 均匀传输线理论

1.6 同轴线的特性阻抗 
同轴线是一种典型的双导体传输系统, 它由内、 外同轴的 两导体柱构成, 中间为支撑介质, 如图 1- 14 所示。 其中, 内、外半径分别为a和b, 填充介质的磁导率和介电常 数分别为μ和ε。同轴线是微波技术中最常见的TEM模传输线, 分为硬、软两种结构。硬同轴线是以圆柱形铜棒作内导体, 同 心的铜管作外导体, 内、外导体间用介质支撑, 这种同轴线也称 为同轴波导。软同轴线的内导体一般采用多股铜丝, 外导体是 铜丝网, 在内、外导体间用介质填充, 外导体网外有一层橡胶保 护壳, 这种同轴线又称为同轴电缆。

第1章 均匀传输线理论

图 1- 14 同轴线结构图

第1章 均匀传输线理论

由电磁场理论分析得到同轴线的单位长分布电容和单位长 分布电感分别为   
2?? ln(b / a )

C=

? ln(b / a ) L= 2? 由式(1- 1- 14)得其特性阻抗为
 

Z0=

L u ln(b / a ) ? ? 2? C

设同轴线的外导体接地, 内导体上的传输电压为U(z), 取 传播方向为+z, 传播常数为β, 则同轴线上电压为

U ( z ) ? U 0e ? j?z

第1章 均匀传输线理论

同轴线上电流为    而传输功率为  
2 2 ? U 0 P=   UI ? ? u / ? ln(b / a )
2 U ( Z ) 2 U ? 0 I(z)=   ? e ? j?z Z0 u / ? ln(b / a )

下面重点讨论同轴线外半径b不变时, 改变内半径a, 分别达 到耐压最高、 传输功率最大及衰减最小三种状态下, 它们分别 对应的不同阻抗特性。

第1章 均匀传输线理论

1. 耐压最高时的阻抗特性  设外导体接地, 内导体接上的电压为Um, 则内导体表面 的电场为  
Um b ( x ? ) Ea= a ln x a 为达到耐压最大, 设E  a取介质的极限击穿电场, 即E  a=Emax, 故   ln x ?b? ? ? Umax=aEmaxln ? a ? =bEmaxln (1- 6- 7) x dU max   求Umax取极值, 即令 =0, 可得x=2.72。这时固定外导

体半径的同轴线达到最大电压。此时同轴线的特性阻抗为

dx

第1章 均匀传输线理论

z0 ?

u /? 2?

当同轴线中填充空气时, 相应于耐压最大时的特性阻抗为 60 Ω。   2. 传输功率最大时的特性阻抗  限制传输功率的因素也是内导体的表面电场, 由式(1-65)及(1- 6- 7)得   

p ? pmax

2 2 ?a 2 Emax b ?b2 Emax ln x ? ln ? a u /? u /? x

式中, x=b/a。要使Pmax取最大值, 则Pmax应满足

第1章 均匀传输线理论

dpmax ?0 dx 于是可得 x=b/a= e =1.65, 相应的特性阻抗为
  

u /? z0 ? 4?

当同轴线中填充空气时, 相应于传输功率最大时的特性阻 抗为30Ω。   3. 衰减最小时的特性阻抗  同轴线的损耗由导体损耗和介质损耗引起, 由于导体损耗 远比介质损耗大, 这里我们只讨论导体损耗的情形。设同轴线 单位长电阻为R, 而导体的表面电阻为Rs, 两者之间的关系为

第1章 均匀传输线理论

1 1 R ? Rs ( ? ) 2?a 2?b 由式(1- 1- 20)得导体损耗而引入的衰减系数αc为 R    αc = 2Z0 将式(1- 6- 12)和式(1- 6- 2)代入上式得

Rs 1 1 RS ac ? ( ? )? (1 ? x ) 2 u / ? ln(b / a ) a b 2b u / ? ln x
要使衰减系数αc最小, 则应满足

dac ?0 dx

第1章 均匀传输线理论

于是可得xlnx-x=0, 即x=b/a=3.59, 此时特性阻抗为

1.278 u / ? z0 ? 2?
当同轴线中填充空气时, 相应于衰减最小时的特性阻抗为

76.7Ω。  
可见在不同的使用要求下, 同轴线应有不同的特性阻抗。 实际使用的同轴线的特性阻抗一般有50Ω和75Ω两种。50 Ω 的同轴线兼顾了耐压、功率容量和衰减的要求, 是一种通用型 同轴传输线; 75Ω的同轴线是衰减最小的同轴线, 它主要用于远 距离传输。

第1章 均匀传输线理论

以上分析是假设同轴线工作在TEM模式。实际上要使同轴 线工作于TEM模式, 则同轴线的内、外半径还应满足以下条件:    λmin>π(b+a)(1- 6- 17)

其中, λmin为最短工作波长。   由上述分析可见, 在决定同轴线的内、 外直径时, 必须同 时考虑使用要求和工作模式。  


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