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3.1.2不等关系与不等式(2)


复习引入
1. 比较两实数大小的理论依据是什么?
如果a>b ? a-b>0; 如果a<b ? a-b<0; 如果a=b ? a-b=0.

2. “作差法”比较两实数的大小的一般
步骤?

作差→变形→定号→确定大小.

课前检测
设A=1+x2,B=2x,x∈R,则A,B的



大小关系是

A≥B



问题一:不等式的基本性质
问题1:若甲的身材比乙高,则乙的身材比甲 矮,反之亦然.从数学的观点分析,这里反映 了一个不等式性质,你能用数学符号语言表 述这个不等式性质吗?

a>b ? b<a(对称性)

问题2:若甲的身材比乙高,乙的身材比丙 高,那么甲的身材比丙高,这里反映出的 不等式性质如何用数学符号语言表述?

a >b ,b >c ?

a >c ;

a<b,b<c ? a<c(传递性)

问题3:若甲的年薪比乙高,如果年终两人发 同样多的奖金或捐赠同样多的善款,则甲的 年薪仍然比乙高,这里反映出的不等式性质 如何用数学符号语言表述?

a >b

?a+c>b+c(可加性)

推论:如果a+b>c,则a>c-b;

问题4:若甲班的男生比乙班多,甲班的 女生也比乙班多,则甲班的人数比乙班 多. 这里反映出的不等式性质如何用数 学符号语言表述?
a>b,c>d ? a+c>b+d(同向可加性)

问题5:如果a>b,c>0,那么ac与bc的 大小关系如何?如果a>b,c<0,那么 ac与bc的大小关系如何?为什么? a>b,c>0 ? ac>bc; a>b,c<0 ? ac<bc 问题6:如果a>b>0,c>d>0,那么 ac与bd的大小关系如何?为什么? a >b >0 ,c >d >0

(可乘性)

? ac>bd

(正数同向不等式的可乘性)

问题7:如果a>b>0,n∈N*,那么an与 bn的大小关系如何? a >b >0
n>bn (n∈N*) (可乘方性) a ?

问题8:如果a>b>0,n∈N*,那么 n a

与 b 的大小关系如何?
a >b >0 ?
n

n

a > n b (n∈N*)

(可开方性)

课堂练习: 用不等号 “<”或 “>”填空: ⑴ a ? b, c ? d ? a ? c _______ > b?d ; ⑵ a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ____ < bd ; ⑶ a ? b ? 0 ? a ______ > b; 1 1 ⑷ a ? b ? 0 ? 2 ____ < 2. a b
3 3

例1:应用不等式的性质,证明下列不等式:
1 1 (1)已知a>b,ab>0,求证: ? ; b a 1 (1)因为ab>0,所以 ?0 证明: ab 1 1 又因为a>b,所以 a ? ? b ? ab ab

1 1 即 ? b a

(2)已知a>b, c<d,求证:a-c>b-d;
证明:(2)因为a>b,c<d,
所以a>b,-c>-d, 根据性质4,得 a+(-c)>b+(-d),即a-c>b-d.

a b (3)已知a>b>0,0<c<d,求证: ? c d
证明:(3)因为0<c<d,根据(1)的结
1 1 论得 ? ? 0 c d
1 1 又因为a>b>0,所以 a ? ? b ? c d a b 即 c?d

变式1. 已知a>b,不等式:(1)a2>b2;
1 1 (2) ? a b
1 1 ? ;(3) a ?b a

成立的个数是( A )

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

c?a b?c ? 变式 2.已知 a ? b ? 0 , c ? 0 ,求证: a b

解:法一:作差比较法
c ? a b ? c cb ? ab ? (ab ? ac) c(b ? a ) ? ? ? ∵ a b ab ab

作差
变形
定符号

∵ a ? b ? 0,? a ? b ? 0, ab ? 0 ∵ c ? 0 c(b ? a ) ?0 ∴ ab
c?a b?c ? ∴ a b

确定大小

c?a b?c ? 变式 2.已知 a ? b ? 0 , c ? 0 ,求证: a b
解:法二:巧用不等式的性质

∵ a ? b ? 0 , c ? 0 ,∴ ab ? 0
1 1 1 1 a ? ? b ? ∴ 即 ? ab ab b a
c c ∴ ? (两边同乘以一个负数不等号方向要改变) b a

从已知出发
运用不等式 的性质变形

c c ∴ ? a b

c c ∴ ?1 ? ?1 a b

继续变形

c?a b?c ? ∴ a b

例2:若-6<a<8,2<b<3,分 别求2a+b,a-b的范围.
? ? ? ?? ? ?? , 变式:若 ? ≤ ? ? ? ≤ ,求 2 2 2 2
的取值范围.

(2)(3)(4)(5)

目标检测
2.已知a、b、c满足 c ? b ? a ,且 ac ? 0
那么下列选项中不一定成立的是 A. ab (

B)

? ac

B. c(b ? a) ? 0

C. cb 2 ? ab 2 D. ac(a ? c) ? 0

1 1 3.若a>b,在① a ? b

;②a3>b3;③ lg(a 2 ? 1) ? lg(b 2 ? 1) (

a b 2 ? 2 ④ 中,正确的有

D)

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

名称 性质1 性质2 对称性 传递性

内容

a?b?b?a
a ? b, b ? c ? a ? c

性质3
性质4 性质5

可加性
可乘性 同向可加性

a ?b ? a?c ?b?c

a ? b, c ? 0 ? ac ? bc

a ? b, c ? 0 ? ac ? bc
a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d
a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd
a ? b ? 0 ? a n ? bn (n ? N , n ? 1)
a ? b ? 0 ? n a ? n b (n ? N , n ? 1)

性质6
性质7 性质8

同向同正可乘性
可乘方性 可开方性

P75:A组第4题
B组第1、2题


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