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变化率与导数


3.1.1 变化率问题

问题1 气球膨胀率

在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气 容量的增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数 学的角度, 如何描述这种现象呢?
我们知道, 气球的体积V ?单位 : L ?与半径 r (单 4 3 位 : dm)之间的函数关系是V ?r ? ? ? r , 3
如果把半径r

表示为体积V的函数, 那么 r ?V ? ?
3

3V . 4?

当空气容积V从0增加到1 L时, 气球半径增加了 r ?1? ? r ?0 ? ? 0.62?cm?, r ?1? ? r ? 0 ? 气球的平均膨胀率为 ? 0.62 ? dm / L ? . 1? 0 类似地,当空气容量从1 L增加到2 L时, 气球半径 增加了r ?2? ? r ?1? ? 0.16?dm?, r ? 2 ? ? r ?1? 气球的平均膨胀率为 ? 0.16 ? dm / L ? . 2 ?1 可以看出, 随着气球体积逐渐变大,它的平均膨 胀率逐渐变小了 .

思考 当空气的容量从V1 增加到V2时, 气球的平 ?r r ?V2 ? ? r ?V1 ? 均膨胀率是多少? ? ?V V2 ? V1

函数 r(V)=

3

3V 4 π

(0≤V≤5 )的图象为: 利用函数图象计算: r(0)=_________ 0 r(1)≈ _______ 0.62 r(2)≈ ________ 0.78 r(2.5)≈0.85 _______ 1 r(4)≈ _________

所以:

r(1)-r(0) 0.62 ≈_____(dm/L) 1-0 r(2.5)-r(2) 0.14 ≈_____(dm/L) 2.5-2

r(2)-r(1) 0.16 ≈_____(dm/L) 2-1

r(4)-r(2.5) 0.10 ≈_____(dm/L) 4-2.5 所以,随着气球体积逐渐变大,它的____________逐渐变小了。 平均膨胀率

问题2

高台跳水
t:0 0.5时, v= h(0.5) - h(0) = 4.05(m/s) 0.5 - 0 t:1 2时, v= h(2) – h(1) 2–1 = - 8.2(m/s)

在跳水运动中,运动员相对于水面高度h(单位:m)与起跳后的 h(t)= - 4.9 t2+6.5 t+10(如图) 时间t(单位:s)存在函数关系:

一般地,t1 t2时, h(t2) – h(t1) v= t2 – t1

65 计算运动员在0≤t≤ 49

这段时间 0m/s 里的平均速度:v=______,思考 下面的问题: (1)运动员在这段时间里是静止 的吗? (2)你认为用平均速度描述运动员 的运动状态有什么问题?

答: (1)不是。先上升,后下降。

(2)平均速度只能粗略的描述运动员的运动状态 它并不能反映某一刻的运动状态。

在例1中:对于函数 r ? 当空气容量 从V1增加到V2时,气球的 平均膨胀率

3

3v 4?

r ( v2 ) ? r ( v1 ) ( dm / l ) v2 ? v1
h(0.5) ? h(0) v? ? 4.05(m / s) 0.5 ? 0

在例2中:对于函数h=4.9t2+6.5t+10计算运动员在0s到 0.5s内的 平均速度

一般地,函数f(x)在区间[x1,x2]上的

平均变化率

f ( x1 ) ? f ( x2 ) x1 ? x2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) x1 ? x2
习惯上用?x表示x2 ? x1,即?x ? x2 ? x1
所以,平均变化率可以表示为:

用?y表示f ( x2 ) ? f ( x1 ),即?y ? f ( x2 ) ? f ( x1 )

?y f ( x2 ) ? f ( x1 ) f(x1+?x)-f(x1) ? = ?x x2 ? x1 ?x

平均变化率的定义:

f ( x2 ) ? f ( x1 ) 平均变化率: 式子 x2 ? x1

称为函数 f (x)从x1到 x2的平均变化

令△x = x2 – x1 , △ y = f (x2) – f (x1) ,则 率. f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? y ? x2 ? x1 ?x

?x是一个整体符号,而不是?与x相乘.
可把?x 看作是相对于 x1 的一个 " 增量 ", 可用 x1 ? ?x代替x2 ; 类似地, ?y ? f ? x2 ? ? f ? x1 ? .

?y 于是, 平均变化率可表示为 . ?x

理解

? y f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ?x x2 ? x1

?y 1、式子中△x 、△ y 的值可正、可负,但 ?x 的△x值不能为0, △ y 的值可以为0

2、若函数f (x)为常函数时, △ y =0

3、变式:
f ( x2 ) ? f ( x1 ) f ( x1 ? ? x) ? f ( x1 ) ? x2 ? x1 ?x

思考
f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?观察函数f(x)的图象平均变化率 x2 ? x1

表示什么?

y
f (x2)

y=f (x)

B

直线AB的斜率

f (x1)

A x1
x 2x1

f (x2)-f (x1)

o

x2

x

思考
y
y ? f ?x ?
f ?x 2 ? f ?x 1 ?
A B

思考 观察函数 f ?x ? 的图象?图1.1.1?, 平均 ?y f ?x2 ? ? f ?x1 ? ? ?x x2 ? x1 表示什么?
直线AB的斜率

f ?x 2 ? ? f ?x1 ?

变化率

x 2 ? x1

O

x1

x2

x

图1.1 ? 1

函数y=f(x),从x1到x2的平均变化率

Δy = Δx

f(x2) – f(x1) x2 – x1

的几何意义是什么?
答:连接函数图象上对应两点的割线的斜率

题型一:求函数的平均变化率
例 (1) 计算函数 f (x) = 2 x +1在区间[ –3 , –1]上的平均变化率 ; (2) 求函数f (x) = x2 +1的平均变化率。
(1)解: △y=f (-1)- f (-3)=4 △x=-1- (-3)=2 (2)解: △y=f (x+△x)- f (x) =2△x · x+(△x )2

?y 4 ? ? ?2 ?x 2

?y 2?x ? x ? (?x) ? ? ?x ?x ? 2 x ? ?x

2

练习
1.已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临 近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则Δy/Δx=( A.3 B . 3Δx-(Δx)2
2

) D D . 3-Δx

C . 3-(Δx)2

2.质点运动规律s=t +3,则在时间(3,3+?t)中 相应的平均速度为( A ) 9 A. 6+?t B. 6+?t+ C.3+?t D.9+?t ?t 3.求y=x2在x=x0附近的平均变化率. △x+2x0

1 2 1、已知自由落体的运动方程为s= gt ,求: 2

(1) 落体在t0到t0+Δ t这段时间内的平均速度; (2) 落体在t0=2秒到t1=2.1秒这段时间内的平均速度(g=10m/s2)。 2、过曲线f(x)=x2上两点P(1,1)和Q(2,4)做曲线的割线, 求割线PQ的斜率k。

小结:
? y f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ? 1.函数的平均变化率 ? x x2 ? x1
?

2.求函数的平均变化率的步骤:

(1)求函数的增量:Δy=f(x2)-f(x1);

? y f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? (2)计算平均变化率: ?x x2 ? x1

练一练

一运动质点的位移S与时间t满足S(t)=t2,分别计算 S(t)在下列区间上的平均变化率.(位移单位为m,时间单位 为s) (1)[1, 3]; 4 思考: (2)[1, 2]; 3 2.1 (3)[1, 1.1]; 如何刻画t=1这一时刻 (4)[1, 1.001]; 2.001 质点运动的快慢程度呢? (5)[1, 1.0001];2.0001 2 (6)[0.999, 1]; 1.999 (7)[0.99, 1]; 1.99 (8)[0.9, 1]. 1.9

一、复习 1.平均变化率:
?y f ( x2 ) ? f ( x1 ) f ( x1 ? ?x ) ? f ( x1 ) ? ? (?x ? 0) ?x x2 ? x1 ?x
Y=f(x ) B y

平均变化率的几何意义:

割线的斜率

f(x2) f(x2)-f(x1)=△y A

f(x1)
O

x2-x1=△x x x1 x2

理解: 1,式子中△x 、△ y的值可正、可负,但的 △x值不能为0, △ y的值可以为0 2,若函数f (x)为常函数时, △ y =0 3, 变式
f ( x2 ) ? f ( x1 ) f ( x1 ? ? x) ? f ( x1 ) ? x2 ? x1 ?x

? 求函数的平均变化率的步骤: (1)求函数的增量Δy=f(x2)-f(x1);

(2)计算平均变化率 ?y

?x

?

f(x2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1

问题3 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面 的高度h(单位:米)与起跳后的时间t(单 位:秒)存在函数关系 h 2+6.5t+10. h(t)=-4.9t 如何用运动员在某些时 间段内的平均速度粗略 地描述其运动状态?
o t

请计算 0 ? t ? 0.5和1 ? t ? 2时的平均速度v :

h(t)=4.9t2+6.5t+10

h

o

t

h(0.5) ? h(0) 在0 ? t ? 0.5这段时间里,? v ? 4.05(m / s) 0.5 ? 0 h(2) ? h(1) 在1 ? t ? 2这段时间里,? v ? ?8.2(m / s) 2 ?1

探究:
65 计算运动员在 0 ? t ? 这段时间里的平均速度, 49 并思考下面的问题:
65 h( ) ? h(0) ? 10 49

?h v? ?0 ?t

(1) 运动员在这段时间里是静止的吗? (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?

在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映 他在这段时间里运动状态. 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.
如何求 瞬时速度呢?
比如,t=2时的瞬时 速度是多少?

我们先考察t=2附近的情况: 在t=2之前或之后,任意取一个时刻2+△t, △t是时间改变量,可以是正值, 也可以是负值,但不为0。 当△t<0时, 2+△t 在2之前; 当△t>0 时, 2+△t 在2之后。 计算区间[2+△t ,2]和区间[2,2 +△t ]内的平均速度 v ,可以得到如下表格:

如何求(比如, t=2时的)瞬时速度? 通过列表看出平均速度的变化趋势 :
△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段 △t>0时, 在[2, 2 +△t ]这 时间内 段时间内

v ? ?4.9?t ?13.1

v ? ?4.9?t ?13.1

当△t = – 0.01时, v ? ?13.051
当△t = – 0.001时, v ? ?13.0951

当△t = 0.01时, v ? ?13.149 当△t =0.001时, v ? ?13.1049

当△t = –0.0001时, v ? ?13.09951 当△t =0.0001时, v ? ?13.10049
△t = – 0.00001, v

? ?13.099951 ? ?13.0999951

△t = 0.00001,

v ? ?13.100049

△t = – 0.000001, v

……

△t =0.000001, v

? ?13.1000049 ……

从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度

?h v? ? ?13.1 ? 4.9?t ?t 当△ t 趋近于0时, 即无论 t 从小于2的一边, 还是从大于

2的一边趋近于2时, 平均速度都趋近与一个确定的值 –13.1. 从物理的角度看, 时间间隔 |△t |无限变小时, 平均速度 v 就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度. 因此, 运动员在 t = 2 时的

瞬时速度是 –13.1.

h(2 ? ?t ) ? h(2) lim ? ?13.1 ?t ?0 ?t
表示“当t =2, △t趋近于0时, 平均速度 趋近于确定值– v 13.1”.

探 究: 1.运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示?
2.函数f (x)在 x = x0 处的瞬时变化率怎样表示?

h(t0 ? ?t ) ? h(t0 ) lim ?t ? 0 ?t 2 ? 4.9( ?t ) ? (9.8t0 ? 6.5) ?t ? lim ?t ? 0 ?t ? lim ( ?4.9?t ? 9.8t0 ? 6.5)
?t ? 0

? ?9.8t0 ? 6.5

定义:

函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是

f (x0 ? Δx) ? f ( x0 ) ?y lim ? lim ?x ?0 ?x ?0 ? x ?x
称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ?( x0 ) 或 y? | x ? x0 , 即

f ( x0 ? Δx) ? f ( x0 ) f ?( x0 ) ? lim . ?x ?0 ?x

1. f ?( x0 )与x0的值有关,不同的x0其导数值一般也不相同 。 2. f ?( x0 )与?x的具体取值无关。

3.瞬时变化率与导数是同 一概念的两个名称。

定义:

函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是

f (x0 ? Δx) ? f ( x0 ) ?y lim ? lim ?x ?0 ?x ?0 ? x ?x
称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ?( x0 ) 或 y? | x ? x0 , 即

f ( x0 ? Δx) ? f ( x0 ) f ?( x0 ) ? lim . ?x ?0 ?x

由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法: 1. 求函数的改变量 ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ); ?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? ; 2. 求平均变化率 ?x ?x ?f 3. 求值 f ?( x0 ) ? lim . ?x ?0 ?x

口诀:一差、二化、三极限

例1:(1)求函数y=x2在x=1处的导数; (2)求函数y=x+1/x在x=2处的导数.

解:1)?y ? (1 ? ?x )2 ? 12 ? 2?x ? (?x )2 , (

1 1 ? ?x ( 2 ) ?y ? ( 2 ? ?x ) ? ? ( 2 ? ) ? ?x ? , 2 ? ?x 2 2(2 ? ?x )

?y 2?x ? ( ?x )2 ? ? 2 ? ?x , ?x ?x ?y ? lim ? lim ( 2 ? ?x ) ? 2,? y? | x ?1 ? 2. ?x ? 0 ?x ?x ? 0

? ?x ?x ? ?y 1 2( 2 ? ?x ) ? ? 1? , ?x ?x 2( 2 ? ?x ) ?y 1 1 3 3 ? lim ? lim[1 ? ] ? 1 ? ? ,? y? | x ? 2 ? . ? x ? 0 ?x ?x ? 0 2( 2 ? ?x ) 4 4 4

例 2 : 已知 函数 ? y 1 ? , 求x0的值. 2

x 在x ? x0 处附 近有定义且y' | x ? x0 ,

解 : ? ?y ? x 0 ? ?x ? x 0 ,
?y ? ? ?x ? x 0 ? ?x ? x 0 ?x 1 x 0 ? ?x ? x 0 ? . ( x0 ? ?x ? x0 )( x0 ? ?x ? x0 ) ?x ( x 0 ? ?x ? x 0 )

?y 1 1 ? lim ? lim ? , ?x ? 0 ? x ?x ? 0 x 0 ? ?x ? x 0 2 x 0 1 1 1 由 y' | x ? x 0 ? , 得 ? ,? x0 ? 1. 2 2 x0 2

练1:求y=f(x)=x2+1在x=1处的导数.

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y 解 : lim ? lim ? x ? 0 ?x ?x ? 0 ?x y = x 2 +1 (1 ? ?x) 2 ? 1 ? (1 ? 1) ? lim ?x ? 0 ?x 2 2 ?x ? ( ? x ) ? lim ? 2. ?x ? 0 ?x
? f (1) ? 2
'

y

Q

?y

P ?x

M

1 -1 O

j

x

1

例3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品 , 需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单 位: ? C )为 f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第2h和第6h, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义. 解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是 f ?(2)和 f ?(6). 根据导数的定义, f (2 ? ?x) ? f (2) 4?x ? (?x) 2 ? 7?x ? ? ?x ? 3 ?x ?x ?f lim ? lim (?x ? 3) ? ?3. 所以, f ?(2) ? ?x?0 ?x ?x?0 同理可得 f ?(6) ? 5.
在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为–3和5. 它说 明在第2h附近, 原油温度大约以3 ? C / h的速率下降; 在第6h附近, 原油温度大约以5 ? C / h的速率上升.

例3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单 位: ? C )为 f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第2h和第6h, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.

练习: 计算第3h和第5h时原油的瞬时变化率, 并说 明它们的意义.

课堂练习: 如果质点A按规律s=2t3则在t=3s时的 瞬时速度为 A.6 B.18 C.54 D.81

? 练习2.质量为10kg的物体,按照 s(t)=3t2+t+4的规律做直线运动, (1)求运动开始后4s时物体的瞬时速度;
1 ( E ? mv 2 ) (2)求运动开始后4s时物体的动能。 2

解: ?s 25?t ? 3?t v ? lim ? lim ? lim (25 ? 3?t ) ? 25 ?x ? 0 ?t ?x ? 0 ?x ? 0 ?t 1 2 1 2 E ? mv ? ? 10 ? 25 ? 3125( J ) 2 2
2

小结:求函数 y = f (x)的导数的定义方法: 一差、二化、三极限 1. 求函数的改变量 ?f ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ); f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?f ? ; 2. 求平均变化率 ?x ?x ?f 3. 求值 f ?( x0 ) ? lim . ?x ?0 ?x

4、y ? f ( x)在点x0处的导数 :
f ?( x0 ) ? lim f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) ?y ? lim . ? ? x ? 0 ?x ?x ? 0 ?x

f ( x) ? f ( x0 ) lim x ? x0 x ? x0

例4:设函数f(x)在点x0处可导,求下列各极限值:

f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) (1) lim ; ( 2) lim . ?x ? 0 h? 0 ?x 2h

分析:利用函数f(x)在点x0处可导的条件,将题目中给定 的极限恒等变形为导数定义的形式.注意在导数定 义中,自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx 选择哪种形式, Δy也必须选择与之相对应的形式.
f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) 解: )原式 ? lim (1 ? ? lim ?x ? 0 ?x ? 0 ? ( ? ?x ) ? ?x ? ? f ' ( x0 ); f ( x0 ? h) ? f ( x0 ) ? [ f ( x0 ? h) ? f ( x0 )] ( 2)原式 ? lim h? 0 2h f ( x 0 ? h) ? f ( x 0 ) f ( x 0 ? h) ? f ( x 0 ) 1 ? [lim ? lim ] h? 0 h? 0 2 h ?h 1 ? [ f ' ( x0 ) ? f ' ( x0 )] ? f ' ( x0 ). 2

练习1:设函数f(x)在点x0处可导,求下列各极限值:
f ( x0 ? m?x ) ? f ( x0 ) (1) lim ; ( 2) lim ?x ? 0 ?x ? 0 ?x f ( x0 ?

?x ) ? f ( x0 ) t ?x

1 答案:) ? mf ?( x0 ); ( 2) f ?( x0 ). (1 t

练习2:设函数f(x)在点x=a处可导,试用a、f(a)和
af ( x ) ? xf (a ) f ?(a )表示lim . x ?a x?a

af ( x ) ? xf (a ) a[ f ( x ) ? f (a )] ? ( x ? a ) f (a ) 解 : lim ? lim x ?a x ?a x?a x?a f ( x ) ? f (a ) ? a lim ? f (a ) ? af ?(a ) ? f (a ). x ?a x?a


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