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东北三省三校2014年高三第二次联合模拟考试数学试卷(理)


京翰高考补习——专业对高中学生开设高三数学辅导补习班

东北三省三校 2014 年高三第二次联合模拟考试
(哈师大附中、东北师大附中、辽宁实验中学)

数学理试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题

(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 ) 1. 若 U ? {1,2,3,4,5,6,7,8},A ? {1,2,3},B ? {5,6,7},则 (CU A) A. {4,8} B. {2,4,,6,8} C. {1,3,5,7} D. {1,2,3,5,6,7}

(CU B) =

2. 已知复数 z ? ? A. ?

1 3 ? i ,则 z ? | z |? 2 2
B. ?

1 3 ? i 2 2
B. 2

1 3 ? i 2 2
C. 3

C.

1 3 ? i 2 2
D. 4

D.

1 3 ? i 2 2

3. 设随机变量 ξ 服从正态分布 N (2,9) ,若 P(? ? c) = P(? ? c ? 2) ,则 c 的值是 A. 1

4. 已知 p : x ? k,q : A. [2,??)

3 ? 1 ,如果 p 是 q 的充分不必要条件,则实数 k 的取值范围是 x ?1
C. [1,??) D. (??,?1]

B. (2,??)

5. 已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且

c?b sin A ? ,则 B= c ? a sin C ? sin B

A.

? 6

B.

? 4
2

C.

? 3

D.

3? 4

6. 已知函数 f ( x) ? ln(x ? 1) 的值域为 {0,1,2} ,则满足这样条件的函数的个数为 A. 8 B. 9 C. 26 D. 27

, AB· AC ? ?16 ,D 为边 BC 的中点,则 AD 等于 7. 已知△ABC 中, BC ? 10
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3

8. 函数 h( x) ? 2 sin( 2 x ? 可由 h( x) 经过

?
4

) 的图象与函数 f ( x) 的图象关于点 (0,1) 对称,则函数 f ( x)

的变换得到

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A. 向上平移 2 个单位,向右平移

? 个单位 4 ? 的单位 4 ? 个单位 4 ? 的单位 4

B. 向上平移 2 个单位,向左平移

C. 向下平移 2 个单位,向右平移

D. 向下平移 2 个单位,向左平移

9. 一个射箭运动员在练习时只记射中 9 环和 10 环的成绩,未击中 9 环或 10 环就以 0 环 记。该运动员在练习时击中 10 环的概率为 a,击中 9 环的概率为 b,既未击中 9 环也未击中 10 环的概率为 c(a,b,c∈ [0,1) ) ,如果已知该运动员一次射箭击中环数的期望为 9 环, 则当

10 1 ? 取最小值时,c 的值为 a 9b 1 11
B.

A.

2 11

C.

5 11

D. 0

10. 已知某算法的流程图如图所示,输入的数 x 和 y 为自然数,若已知输出的有序数对为

(13,14) ,则开始输入的有序数对 ( x, y ) 可能为

A. (6,7) 11. 已知双曲线

B. (7,6)

C. ?4,5?

D. (5,4)

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0,b ? 0) 的焦点 F1 (?c,0) 、 F2 (c,0)(c ? 0) ,过 F2 a2 b2

的直线 l 交双曲线于 A, D 两点, 交渐近线于 B, C 两点。 设 F1 B ? F1C ? m , F1 A ? F1 D ? n , 则下列各式成立的是 A. | m |?| n | B. | m |?| n | C. | m ? n |? 0 D. | m ? n |? 0

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12. 已知方程 正确的是

| cos x | ? k 在 (0,??) 上有两个不同的解 α、β (? ? ? ) ,则下列的四个命题 x
B. cos2α=2αsin2α D. cos2β=-2βsin2β 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)

A. sin2α=2αcos2α C. sin2β=-2βsin2β

本卷包括必考题和选考题两部分。 第 13 题~第 21 题为必考题, 每个试题考生都必须作 答,第 22 题-第 24 题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分)
3 3 2 3 3 3 2 3 3 3 3 2 13. 观察下列等式: 1 ? 1 , 1 ? 2 ? 3 , 1 ? 2 ? 3 ? 6 , 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 10 ,…,

3

2

根据上述规律,第 n 个等式为 14. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的体积为

15. 在区间 [0,2] 和 [0,1] 分别取一个数,记为 x、y,则 y ? ? x ? 2x 的概率为
2



16. P 为正方体 ABCD-A1B1C1D1 对角线 BD1 上的一点,且 BP= ? BD1( ? ? (0,1) ) 。下面 结论: ①A1D⊥C1P; ②若 BD1⊥平面 PAC,则 ? ?

1 ; 3

③若△PAC 为钝角三角形,则 ? ? (0, ) ; ④若 ? ? ( ,1) ,则△PAC 为锐角三角形。 其中正确的结论为 。 (写出所有正确结论的序号)

1 2

2 3

三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ) 17. (本小题满分 12 分) 京翰教育北京家教辅导——全国中小学一对一课外辅导班

京翰高考补习——专业对高中学生开设高三数学辅导补习班 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,对任意的正整数 n,都有 an=5Sn+1 成立。 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? log4 | an | ,求数列 { 18. (本小题满分 12 分) 某个团购网站为了更好地满足消费者需求,对在其网站发布的团购产品展开了用户调 查,每个用户在使用了团购产品后可以对该产品进行打分,最高分是 10 分。上个月该网站 共卖出了 100 份团购产品, 所有用户打分的平均分作为该产品的参考分值, 将这些产品按照 得分分成以下几组:第一组[0,2) ,第二组[2,4) ,第三组[4,6) ,第四组[6,8) ,第五组 [8,10],得到的频率分布直方图如图所示。

1 } 前 n 项和 Tn。 bn · bn? 2

(Ⅰ)分别求第三,四,五组的频率; (Ⅱ)该网站在得分较高的第三,四,五组中用分层抽样的方法抽取 6 个产品。 ①已知甲产品和乙产品均在第三组,求甲、乙同时被选中的概率; ②某人决定在这 6 个产品中随机抽取 2 个购买,设第 4 组中有 X 个产品被购买,求 X 的分布列和数学期望。 19. (本小题满分 12 分) 已知四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是边长为 2 的菱形, AC∩BD=O, AA1=2 3 , BD⊥A1A,∠BAD=∠A1AC=60°,点 M 是棱 AA1 的中点。

(Ⅰ)求证:A1C∥平面 BMD; (Ⅱ)求证:A1O⊥平面 ABCD; 京翰教育北京家教辅导——全国中小学一对一课外辅导班

京翰高考补习——专业对高中学生开设高三数学辅导补习班 (Ⅲ)求直线 BM 与平面 BC1D 所成角的正弦值。 20. (本小题满分 1 2 分) 已知圆 M : x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1 ,直线 l : y ? ?1,动圆 P 与圆 M 相外切,且与直线 l 相 切。设动圆圆心 P 的轨迹为 E。 (Ⅰ)求 E 的方程; (Ⅱ)定点 A(4,2) ,B,C 为 E 上的两个动点,若直线 AB 与直线 AC 垂直,求证: 直线 BC 恒过定点。 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ?

ax ? b ( a ? 0) x2 ?1

(Ⅰ)求证: f ( x) 必有两个极值点,一个是极大值点,—个是极小值点;

,f (? ) ? 1,求 a、b 的值; (Ⅱ )设 f ( x) 的极小值点为 α,极大值点为 β, f (? ) ? ?1
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设 g ( x) ? f (e x ) ,若对于任意实数 x, g ( x ) ? 成立,求实数 m 的取值范围。 请考生在第 22,23,24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答 时请写清题号。 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 已知 PQ 与圆 O 相切于点 A, 直线 PBC 交圆于 B, C 两点, D 是圆上一点, 且 AB∥CD, DC 的延长线交 PQ 于点 Q。

2 恒 2 ? mx 2

(Ⅰ)求证:AC2=CQ·AB; (Ⅱ)若 AQ=2AP,AB= 3 ,BP=2,求 QD。 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知曲 线 C1 的极坐标方程为 ? ?
2

2 ,直线 l 的极坐标方程为 ? ? 1 ? sin 2 ?

4 2 sin ? ? cos?



(Ⅰ)写出曲线 C1 与直线 l 的直角坐标方程; (Ⅱ)设 Q 为曲线 C1 上一动点,求 Q 点到直线 l 距离的最小值。 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 京翰教育北京家教辅导——全国中小学一对一课外辅导班

京翰高考补习——专业对高中学生开设高三数学辅导补习班 已知 a, b, c ? R,a 2 ? b 2 ? c 2 ? 1 。 (Ⅰ)求证: | a ? b ? c |? 3 ; (Ⅱ)若不等式 | x ? 1 | ? | x ? 1 |? (a ? b ? c) 2 对一切实数 a,b,c 恒成立,求实数 x 的取值范围。

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参考答案 二模理科数学参考答案

题号 答案
3

1 A

2 D
3

3 C

4 B
3

5 C

6 B

7 D

8 A

9 A

10 B 14.

11 C

12 C 15.

13. 1 ? 2 ? ??? ? n ?

n 2 (n ? 1)2 4

125 2 ? 3
1 4

2 3

16.①②④

17. (Ⅰ)解:当 n ? 1 时, a1 ? 5S1 ? 1,? a1 ? ? 又

………2 分 ………4 分

an ? 5Sn ? 1, an?1 ? 5Sn?1 ? 1

?an?1 ? an ? 5an?1,



an ?1 1 ?? an 4
1 4

∴数列 ?an ? 是首项为 a1 ? ?

1 1 ,公比为 q ? ? 的等比数列, 4 4

n ∴ an ? ( ? )

………6 分

(Ⅱ) bn ? log4 (? )

1 4

n

? ?n ,

………8 分

所以

1 1 1?1 1 ? ? ? ? ? ? bnbn? 2 n(n ? 2) 2 ? n n ? 2 ?
1? 1 1 1 (1 ? ) ? ( ? ) ? ? 2? 3 2 4

………10 分

Tn ?

1 1 ? 1? 1 1 1 ? ………12 分 ?( ? ) ? ? ?1 ? ? ? n n ? 2 ? 2 ? 2 n ?1 n ? 2 ? ?

18.(Ⅰ)解:第三组的频率是 0.150× 2=0.3;第四组的频率是 0.100× 2=0.2;第五组的频率 是 0.050× 2=0.1 ………3 分

(Ⅱ)①由题意可知,在分层抽样的过程中第三组应抽到 6× 0.5=3 个,而第三组共有 100× 0.3=30 个,所以甲乙两产品同时被选中的概率为 P ? ②第四组共有 X 个产品被购买,所以 X 的取值为 0,1,2
1 1 1 1 2 C3 ? C32 6 C3 C2 ? C2 C2 8 1 P( X ? 0) ? ? ; P( X ? 1) ? ? ; P( X ? 2) ? 2 ? ; 2 2 C6 15 C6 15 C6 15 1 C28 1 ? 3 C30 145

………7 分

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X
所以 X 的分布列为

P

0 1 2 2 8 1 5 15 15

………10 分

EX ?

8 1 2 ? ?2 ? 15 15 3

………12 分

19. (Ⅰ)证明: 连结 MO

A1M ? MA? ? ? ? MO // A1C ? AO ? OC ? ? ? MO ? 平面BMD ? ? A1C // 平面BMD ? A1C ? 平面BMD ? ? ?
(Ⅱ) BD ? AA1,BD ? AC得BD ? 面A1AC 于是 BD ? A1O

………3 分

AC ? BD ? O
? ABCD ? ? 1 ? ? ? ?BAD ? 60 ? ? AO ? AC ? 3 ? ? 2 ? ? AB ? 2 ? ? ? ? ? ? AA1 ? 2 3 ? ? A1O ? AC ? ? ? A1O ? 平面ABCD cos ?A1 AC ? 60 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? A1O ? BD ? ?

………7 分 (Ⅲ) 如图建立直角坐标系, A 1 (0,0,3) A( 3,0,0)C(? 3,0,0) B(0,1,0) D(0, ?1,0)

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AC 1 1 ? AC ? (?2 3,0,0) ? C1 (?2 3,0,3) M (

3 3 3 3 ,0, ) MB ? (? ,1, ? ) 2 2 2 2

DB ? (0,2,0)BC1 ? (?2 3, ?1,3)
设平面 BC1D 的法向量为 n ? ( x, y, z)

? ? n ? DB ? 0 2y ? 0 ? ? n ? DB ? ? ?? ?? ? n ? ( 3, 0, 2) ? ? 2 3 ? y ? 3 z ? 0 n ? BC n ? BC ? 0 ? ? ? ? ? 1 ? 1
cos ? BM , n ?? 9 4 7
9 7 28

………9 分

………11 分

所以,直线 BM 与平面 BC1D 所成角的正弦值为 20.

………12 分

2 2 2 (Ⅰ)设 P ( x, y ) ,则 x ? ( y ? 2) ? ( y ? 1) ? 1 ? x ? 8 y

………4 分

(Ⅱ)设直线 BC : y ? kx ? b , B( x1 , y1 ), C( x2 , y2 )
2 将直线 BC 代入到 x ? 8 y 中得 x ? 8kx ? 8b ? 0 ,所以 x1 ? x2 ? 8k , x1 x2 ? ?8b ………5 分
2

又因为 AB ? ( x1 ? 4, y1 ? 2), AC ? ( x2 ? 4, y2 ? 2) 所以

AB ? AC ? ( x1 ? 4)( x2 ? 4) ? ( y1 ? 2)( y2 ? 2) ? ( x1 ? 4)( x2 ? 4) ? ( kx1 ? b ? 2)( kx2 ? b ? 2) ? (k 2 ? 1) x1 x2 ? [k (b ? 2) ? 4]( x1 ? x2 ) ? (b ? 2) 2 ? 16 ? 0

? ?8b (k 2 ? 1) ?8k [k (b ? 2) ? 4] ? (b ? 2)2 ? 16 ? 0 ? b2 ?12b ?16k 2 ? 32k ? 20 ? 0 ? (b ? 6)2 ?16(k ? 1)2 ? 0 ………8 分
? b ? 4k ? 10 或 ? b ? ?4k ? 2
所以恒过定点 (?4,10) 21. (Ⅰ) f ( x) ?
'

………10 分 ………12 分

a ? x 2 ? 1? ? 2 x ? ax ? b ?

?x

2

? 1?

2

??

ax 2 ? 2bx ? a

?x

2

? 1?

2

令 f ( x) ? 0 ? ax ? 2bx ? a ? 0
' 2

? ? 4(b2 ? a2 ) ? 0

………2 分

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? f ' ( x) ? 0 有两实根不妨记为 ? , ?

x
f ' ( x)
f ( x)

? ??,? ?
?
?

?
0
极小

?? , ? ?
?
?

?
0
极大

? ? , ???
?
?

所以, f ( x) 有两个极值点 ,一个极大值点一个极小值 点 ………4 分

2 (Ⅱ) ax ? 2bx ? a ? 0 ,由韦达定理得 ? ? ? ? ?

2b a

f ?? ? ? ?1? ? ?? 2 ? a? ? b ? 1 ? 0 ? ? 2 ? ? 2 ? a ?? ? ? ? ? 2b ? 0 ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? 0 ??? 2 f ?? ? ?1 ? ? ? ? ? a? ? b ? 1 ? 0
……6 分

?? ? ? ? 0 ? b ? 0, ? ? ?1, ? ? 1,所以 a ? 2
(Ⅲ) 因为 g ( x) ?

………7 分

2e x ? 0 ,所以 m ? 0 e2 x ? 1

………8 分

又因为当 x ? 0 时,不等式恒成立 所以,原问题 ? m ?

e x ? e? x ? 2 对一切 x ? ? ??,0? x2

?0, ??? 恒成立

法一、设 u ( x) ?

e x ? e? x ? 2 ( x ? ? ??,0? x2

?0, ??? )
x

?e u ( x) ?
'

x

? e? x ? x 2 ? 2 x ? e x ? e ? x ? 2 ? x4

?e ?

? e? x ? x ? 2 ? e x ? e? x ? 2 ? x3




h( x ) ? ? e x ? e ? x ? x ? 2 ? e x ? e ? x ? 2 ?

h' ( x) ? ? e x ? e ? x ? x ? ? e x ? e ? x ?



h '' ( x) ? ? e x ? e ? x ? x
当 x ? 0 时, e ? e
x ?x

'' ,所以 h ( x) ? 0 ,当 x ? 0 时, e ? e
x

?x

,所以 h ( x) ? 0 ,
''

所以 h ( x) 在 R 上单调递增,又因为 h (0) ? 0
'

'

所以当 x ? 0 时, h ( x) ? 0 ,当 x ? 0 时, h ( x) ? 0
' '

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京翰高考补习——专业对高中学生开设高三数学辅导补习班 所以 h( x) 在 ? ??,0 ? 上递减, ? 0, ?? ? 递增,所以 h( x) ? h(0) ? 0 分 所以当 x ? 0 时, u ' ( x) ? 0 ,当 x ? 0 时, u ' ( x) ? 0 所以 u ( x) 在 ? ??,0 ? 上递减, ? 0, ?? ? 递增,所以 h( x) ? lim h( x) ? 1
x ?0

………10

所以 0 ? m ? 1 法二不妨设 x ? 0

………12 分

h( x) ? ? e x ? e ? x ? ? mx 2 ? 2 h' ( x) ? ? e x ? e ? x ? ? 2mx , h '' ( x) ? ? e x ? e ? x ? ? 2m
x ?x ? 2 ? 2m , h'' ( x) ? 0 , 所 以 h' ( x) 在 ? 0, ?? ? 上 单 调 递 增 , 当 m ?1 时, e ?e

?

?

h' ( x) ? h' (0) ? 0 所以
h( x) 在 ? 0, ?? ? 上单调递增, h( x) ? h(0) ? 0 ,所以当 m ? 1 时成立………10 分
2 2 当 m ? 1 时 h'' ( x) ? 0 得 x ? ln(m ? m ? 1), 令x0 ? ln(m ? m ? 1)

当 x ? ? 0,x0 ? 时 h'' ( x) ? 0 所以 h' ( x) 在 ? 0,x0 ? 上单调递减, h' ( x) ? h' (0) ? 0 所以

h( x) 在 ? 0,x0 ? 上单调递减, h( x) ? h(0) ? 0 ,与条件矛盾,同理 x ? 0 时亦如此
综上 0 ? m ? 1 22. (Ⅰ) 12 分

? ? ? ? ?AQC ? ?ACB ? PA为圆O切线 ? ?PAB ? ?ACB ? ? ? ?ACB ~ ?CQA ? AQ为圆O切线 ? ?QAC ? ?CBA ? ? AC AB ? ? AC 2 ? AB ? CQ CQ AC
………5 分 (Ⅱ)

AB / / CD ? ?PAB ? ?AQC

AB // CD ? ? BP AP AB 1 ? ? ? ? ? AP 1 ? ? ? ? PC PQ QC 3 ? ? ? QC ? 3 3, PC ? 6 AQ 2 ? ? ? BP ? 2, AB ? 3 ?
AP 为圆 O 切线 ? AP2 ? PB ? PC ? 12 ? QA ? 4 3
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京翰高考补习——专业对高中学生开设高三数学辅导补习班 又因为 AQ 为圆 O 切线 ? AQ ? QC ? QD ? QD ?
2

16 3 3

………10

分 23. (Ⅰ) C1 : x2 ? 2 y 2 ? 2 , l : 2 y ? x ? 4 (Ⅱ)设 Q ………5 分

?

2 cos ? ,sin ? ,则点 Q 到直线 l 的距离

?

d?

2 sin ? ? 2 cos ? ? 4 3

2sin(? ? ) ? 4 2 4 ? ? 3 3

?

………8 分

当且仅当 ? ?

?
4

? 2 k? ?

?
2

,即 ? ? 2 k? ?

?
4

( k ? Z )时取等

………10 分

24.解: (Ⅰ)由柯西不等式得, (a ? b ? c)2 ? (12 ? 12 ? 12 )(a2 ? b2 ? c2 ) ? 3 ∴ ? 3 ? a?b?c ? 3 分
2 (Ⅱ)同理, (a ? b ? c)2 ? [12 ? (?1) ? 12 ](a2 ? b2 ? c2 ) ? 3

所以 a ? b ? c 的取值范围是 [? 3,

3]

……… 5

………7 分

若不等式 | x ?1| ? x ? 1 ? (a ? b ? c) 对一切实数 a, b, c 恒成立,
2

则 x ? 1 ? x ? 1 ? 3 ,解集为 ( ??, ? ] ? [ , ?? )

3 2

3 2

………10 分

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