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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版选修1-1【配套备课资源】第二章 章末复习课


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画一画·知识网络、结构更完善

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题型一
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圆锥曲线定义的应



圆锥曲线的定义是相应标准方程和几何性质的“源”, 对于圆锥曲线的有关问题,要有运用圆锥曲线定义解题的意 识,“回归定义”是一种重要的解题策略. 研究有关点间的距离的最值问题时,常用定义把曲线上 的点到焦点的距离转化为到另一焦点的距离或利用定义把 曲线上的点到焦点的距离转化为其到相应准线的距离,再利 用数形结合的思想去解决有关的最值问题.

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x2 y2 例 1 若点 M(2,1),点 C 是椭圆 + =1 的右焦点,点 A 16 7 8- 26 是椭圆的动点,则|AM|+|AC|的最小值是________.

解析
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设点 B 为椭圆的左焦点,点 M(2,1)

在椭圆内,那么|BM|+|AM|+|AC|≥|AB|+ |AC|=2a,
所以|AM|+|AC|≥2a-|BM|,

而 a=4,|BM|= ?2+3?2+1= 26, 所以(|AM|+|AC|)最小=8- 26.

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x2 y2 跟踪训练 1 已知椭圆 + =1,F1、F2 分别是椭圆的左、 9 5 右焦点,点 A(1,1)为椭圆内一点,点 P 为椭圆上一点,求 |PA|+|PF1|的最大值.


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由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a=6,所

以|PF1|=6-|PF2|,这样|PA|+|PF1|=6+|PA| -|PF2|.求|PA|+|PF1|的最大值问题转化为 6+ |PA|-|PF2|的最大值问题, 即求|PA|-|PF2|的最 大值问题, 如图, 在△PAF2 中, 两边之差小于第三边, 即|PA| -|PF2|<|AF2|, 连接 AF2 并延长交椭圆于 P′点时, 此时|P′A| -|P′F2|=|AF2|达到最大值, 易求|AF2|= 2, 这样|PA|-|PF2| 的最大值为 2,故|PA|+|PF1|的最大值为 6+ 2.

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题型二 有关圆锥曲线性质的问题 有关圆锥曲线的焦点、离心率、渐近线等问题是考试中 常见的问题,只要掌握基本公式和概念,并且充分理解题意, 大都可以顺利求解. x2 y2 x2 y2 例 2 已知椭圆 2+ 2=1 和双曲线 2- 2=1 有公共的 3m 5n 2m 3n 焦点,那么双曲线的渐近线方程是 ( D ) 15 15 A.x=± y B.y=± x 2 2 3 3 C.x=± y D.y=± x 4 4 解析 由双曲线方程判断出公共焦点在 x 轴上,

∴椭圆焦点( 3m2-5n2,0),双曲线焦点( 2m2+3n2,0), ∴3m2-5n2=2m2+3n2,∴m2=8n2, 6· |n| 又∵双曲线渐近线为 y=± · x, 2|m| 3 2 2 ∴代入 m =8n ,|m|=2 2|n|,得 y=± x. 4

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x2 y2 跟踪训练 2 已知双曲线 2- 2=1 的离心率为 2,焦点与椭 a b x2 y2 圆 + = 1 的焦点 相同,那么双 曲线的焦点 坐标为 25 9 3x± y=0 (± 4,0) ________;渐近线方程为__________.
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∵双曲线的焦点与椭圆的焦点相同, c ∴c=4.∵e= =2,∴a=2,∴b2=12,∴b=2 3. a

解析

∵焦点在 x 轴上,∴焦点坐标为(± 4,0), b 渐近线方程为 y=± x,即 y=± 3x,化为一般式为 3x± y=0. a

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题型三 直线与圆锥曲线位置关系问题

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1.直线和圆锥曲线的位置关系可分为三类:无公共点、仅有 一个公共点及有两个相异的公共点.其中, 直线与圆锥曲线 仅有一个公共点,对于椭圆,表示直线与其相切;对于双
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曲线,表示与其相切或直线与双曲线的渐近线平行;对于 抛物线,表示与其相切或直线与其对称轴平行. 2.有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目可能会涉及直线与 圆锥曲线的关系中的弦长、焦点弦及弦中点问题、取值范 围、最值等问题. 3.这类问题综合性强,分析这类问题,往往利用数形结合的 思想和“设而不求”的方法、对称的方法及根与系数的关 系等.

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x2 y 2 6 例 3 已知椭圆 C: 2+ 2=1 (a>b>0)的离心率为 ,短轴 3 a b 一个端点到右焦点的距离为 3. (1)求椭圆 C 的方程;
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(2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,坐标原点 O 到直线 3 l 的距离为 ,求△AOB 面积的最大值. 2 ?c 6 ? = , 解 (1)设椭圆的半焦距为 c,依题意有?a 3 ?a= 3, 2 ? x 2 ∴b=1.∴所求椭圆方程为 +y =1. 3 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2).

①当 AB⊥x 轴时,|AB|= 3. ②当 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 y=kx+m.

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|m| 3 3 2 2 由已知 2= 2 ,得 m =4(k +1). 1+k

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把 y=kx+m 代入椭圆方程, 整理得(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3=0, -6km 3?m2-1? ∴x1+x2= 2 ,x x = . 3k +1 1 2 3k2+1 ∴|AB|2=(1+k2)(x2-x1)2
? 36k2m2 12?m2-1? ? ? ? =(1+k2)? 2 2- 2 3k +1 ? ??3k +1? ?

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12?k2+1??3k2+1-m2? 3?k2+1??9k2+1? = = 2 2 ?3k +1? ?3k2+1?2
12k2 12 =3+ 4 =3+ (k≠0) 1 9k +6k2+1 9k2+ 2+6 k

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12 ≤3+ =4. 2×3+6
1 3 当且仅当 9k = 2,即 k=± 时等号成立. 3 k 此时 Δ=12(3k2+1-m2)>0,当 k=0 或不存在时,|AB|= 3,
2

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综上所述,|AB|max=2.

∴当|AB|最大时,△AOB 面积取得最大值
1 3 3 S= ×|AB|max× = . 2 2 2

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小结

解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似,

一般有两种方法:

(1)函数法:用其他变量表示该参数,建立函数关系,利用求
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函数值域的方法求解.
(2)不等式法:根据题意建立含参数的不等关系式,通过解不 等式求参数范围.

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跟踪训练 3 已知向量 a=(x, 3y), b=(1,0)且(a+ 3b)⊥(a - 3b). (1)求点 Q(x,y)的轨迹 C 的方程; (2)设曲线 C 与直线 y=kx+m 相交于不同的两点 M、N,
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又点 A(0,-1),当|AM|=|AN|时,求实数 m 的取值范围.

解 (1)由题意,得 a+ 3b=(x+ 3, 3y),a- 3b=(x- 3, 3y), ∵(a+ 3b)⊥(a- 3b),∴(a+ 3b)· (a- 3b)=0, 即(x+ 3)(x- 3)+ 3y· 3y=0.
x2 2 化简得 +y =1, 3

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x2 2 ∴Q 点的轨迹 C 的方程为 +y =1. 3 ?y=kx+m ? 2 (2)由?x ,得(3k2+1)x2+6mkx+3(m2-1)=0, +y2=1 ?3 ?
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由于直线与椭圆有两个不同的交点, ∴Δ>0,即 m2<3k2+1. ①

(ⅰ)当 k≠0 时,设弦 MN 的中点为 P(xP,y P),xM、xN 分别为 xM+xN 3mk 点 M、N 的横坐标,则 xP= =- 2 , 2 3k +1

yP+1 m+3k2+1 m 从而 yP=kxP+m= 2 ,kAP= =- , xP 3mk 3k +1

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又|AM|=|AN|,∴AP⊥MN.
m+3k2+1 1 则- =- ,即 2m=3k2+1, 3mk k
将②代入①得 2m>m2,解得 0<m<2,
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2m-1 1 由②得 k = >0,解得 m> , 3 2 ?1 ? ? ? 故所求的 m 的取值范围是?2,2?. ? ?
2

(ⅱ)当 k=0 时,|AM|=|AN|, ∴AP⊥MN,m2<3k2+1,解得-1<m<1. ?1 ? ? ? ∴当 k≠0 时,m 的取值范围是?2,2?, ? ? 当 k=0 时,m 的取值范围是(-1,1).

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x2 y2 1.已知 F1、F2 为双曲线 - =1 的左、右焦点,P(3,1)为双 5 4 曲线内一点,点 A 在双曲线的右支上,则|AP|+|AF2|的最
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小值为 A. 37+4 B. 37-4

( C )

C. 37-2 5 D. 37+2 5 解析 如图所示,连接 F1P 交双曲线右支于点 A0.

∵|AP|+|AF2|=|AP|+|AF1|-2 5,
∴要求|AP|+|AF2|的最小值,只需求|AP|+ |AF1|的最小值.

当 A 落在 A0 处时,|AP|+|AF1|=|PF1|最小,最小值为 37, ∴|AP|+|AF2|的最小值为 37-2 5.

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x2 y2 x2 y2 2.已知双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)和椭圆 + =1 有相同 16 9 a b 的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲 x2 y2 - =1 线的方程为__________. 4 3 x2 y2 解析 椭圆 + =1 的焦点坐标为 F1(- 7,0),F2( 7, 16 9 7 x2 y2 x2 y 2 0),离心率为 e= .由于双曲线 2- 2=1 与椭圆 + =1 4 16 9 a b

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有相同的焦点,因此 a2+b2=7. a2+b2 7 7 2 7 又双曲线的离心率 e= = ,所以 = , 4 a a a x2 y2 所以 a=2,b2=c2-a2=3,故双曲线的方程为 - =1. 4 3

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3.一动圆与圆(x+3)2+y2=1 外切,又与圆(x-3)2+y2=9 内 x2 y2 - =1 (x≥2) 切,则动圆圆心的轨迹方程为________________. 4 5 解析 如图所示,设动圆圆心坐标为 M(x,y),
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圆 M 与圆 O1 外切于 A,与圆 O2 内切于 B,

则|MO1|=|MA|+1, |MO2|=|MB|-3,
①-②得|MO1|-|MO2|=4.

① ②

由双曲线定义知,M 点轨迹是以(± 3,0)为焦点,实轴长 2a=4 的双曲线右支,即 a=2,c=3,∴b= c2-a2= 5, x2 y 2 ∴轨迹方程为 - =1 (x≥2). 4 5

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4.已知抛物线 y2=4x,过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于

32 A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,则 y2+y2的最小值是________. 1 2
解析 若 k 不存在,则 y2+y2=32.若 k 存在,设直线 AB 的 1 2 斜率为 k,当 k=0 时,直线 AB 的方程为 y=0,不合题意,
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故 k≠0.

由题意设直线 AB 的方程为 y=k(x-4) (k≠0),
?y=k?x-4?, ? 由? 2 ?y =4x ?

得 ky2-4y-16k=0,

4 ∴y1+y2= ,y1y2=-16. k ∴y2+y2=(y1+y2)2-2y1y2 1 2 ?4? 2 2 =? ?2+32>32. ∴y1+y2的最小值为 32. ?k ? ? ?

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在解决圆锥曲线问题时,待定系数法,“设而不求”思想, 转化与化归思想是最常用的几种思想方法, “设而不求”在 解决直线和圆锥曲线的位置关系问题中匠心独具, 很好地解 决了计算的繁杂、琐碎问题.


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