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第1讲等差数列及其前n项和


第 1 讲 等差数列及其前 n 项和 一、知识梳理 1.等差数列的有关概念 (1)定义: (2)等差中项: 2 .等差数列的四种判断方法 (1)定义法:an+1-an=d(d 是常数)?{an}是等差数列. (2)等差中项法:2an+1=an+an+2(n∈N*)?{an}是等差数列. (3)通项公式:an=pn+q(p,q 为常数)?{an}是等差数列. (4)前 n 项和公式

:Sn=An2+Bn(A、B 为常数)?{an}是等差数列. 二、考点剖析 考点一__等差数列的基本运算(高频考点)________ 例 1 (1)(2014· 高考课标全国卷Ⅱ)等差数列{an}的公差为 2, 若 a2, a4, a8 成等比数列, 则{an}的前 n 项和 Sn=( ) A.n(n+1) B.n(n-1) n(n+1) n(n-1) C. D. 2 2 (2)(2015· 江西南昌市模拟测试)在数列{an}中,若 a1=-2,且对任意的 n∈N*有 2an+1=1+2an,则数列{an} 前 10 项的和为( ) A.5 B.10 5 5 C. D. 2 4 (3)(2013· 高考课标全国卷Ⅰ)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则 m=( ) A.3 B.4 C.5 D.6 练习 1.(2014· 高考福建卷)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=2,S3=12,则 a6 等于( ) A.8 B.10 C.12 D.14 2.已知等差数列 a1,a2,a3,…,an 的公差为 d,则 ca1,ca2,ca3,…,can(c 为常数且 c≠0)是( ) A.公差为 d 的等差数列 B.公差为 cd 的等差数列 C.非等差数列 D.以上都不对 3.(2013· 高考重庆卷)若 2,a,b,c,9 成等差数列,则 c-a=________. 4.若数列{an}满足 a1=15,且 3an+1=3an-4,则 an=________. 1 5.(1)(2015· 福建福州模拟)已知等差数列{an},其中 a1= ,a2+a5=4,an=33,则 n 的值为________. 3 (2)(2015· 太原市高三年级模拟)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a4+a7+a10=9,S14-S3=77,则 an= ________. (3)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,a12=-8,S9=-9,则 S16=________. 考点二__等差数列的判定与证明________________ 例2 (2014· 高考课标全国卷Ⅰ)已知数列{an }的前 n 项和为 Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中 λ 为常数. (1)证明:an+2-an=λ; (2)是否存在 λ,使得{an }为等差数列?并说明理由.

1 1 练习 2.已知数列{an}中,a1=2,an=2- (n≥2,n∈N*).设 bn= (n∈N*),求证:数列{bn}是等差 an-1 an-1 数列.

考点三__等差数列的性质及最值________________ 例 3 (1)(2015· 兰州市、张掖市高三联合诊断考试)等差数列{an}中,3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=24,则该数列 前 13 项的和是( ) A.13 B.26 C.52 D.156 (2)(2014· 高考江西卷)在等差数列{an}中,a1=7,公差为 d,前 n 项和为 Sn,当且仅当 n=8 时 Sn 取得最大值, 则 d 的取值范围为________. 小结:求等差数列前 n 项和 Sn 最值的两种方法 (1)函数法:利用等差数列前 n 项和的函数表达式 Sn=an2+bn,通过配方或借助图象求二次函数最值的方法 求解. (2)邻项变号法: ? ?am≥0 ①当 a1>0,d<0 时,满足? 的项数 m 使得 Sn 取得最大值为 Sm; ?am+1≤0 ? ? ?am≤0 ②当 a1<0,d>0 时,满足? 的项数 m 使得 Sn 取得最小值为 Sm. ?am+1≥0 ? 练习 3.(1)设数列{an},{bn}都是等差数列,且 a1=25,b1=75,a2+b2=100,则 a37+b37 等于( ) A.0 B.37 C.100 D.-37 (2)在等差数列{an}中,若 S4=1,S8=4,则 a17+a18+a19+a20 的值为( ) A.9 B.12 C.16 D.17 (3) 在等差数列{an}中,S10=100,S100=10,则 S110=________.


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