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模拟题答案


2012 年全国高中数学联合竞赛模拟试题答案
梁久阳 一试。

一.填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分。把答案填在横线上.
1. 设数集 M ? ? x m ? x ? m ? 把 b-a 叫做集合

? ?

2? 3 ? ? N 都是集合 ? x 0? x ?1 ? 的子集,

如果 ? , N ? ? x n ? ? x ? n? ,且 M, 3? 4 ? ?
5

n( n ? 1) 2. f ( x )为N上的函数,满足f (1) ? 1,f (m ? n) ? f (m) ? f (n) ? mn(?m, n ? N ), 则f (n) ? _____ 2 .
解析:由已知条件,得到递推公式 f (m ? 1) ? f (m) ? m ? 1 ,易得 f ( n) ?

?

x a ? x ? b? 的“长度”,那么集合 M

N 的长度的最小值为_________. 12

?i ?
i ?1

n

n( n ? 1) 。 2

? ax ? by ? 3 ? ? 2 ? 2 ? ax ? by ? 7 ? 5 5 3. 实数 a, b, x, y 满足方程组 ? 20 ? ,求 ax ? by ? _____. 3 3 ? ? 16 by ax ? ? ? 4 ? by 4 ? 42 ? ? ax ?
解析:因为 ax 3 ? by 3 ? 16 ,所以 (ax 3 ? by 3 )( x ? y ) ? 16( x ? y ) .
4 4 2 2 所以 (ax ? by ) ? xy(ax ? by ) ? 16( x ? y) .即 42 ? 7 xy ? 16( x ? y) ……⑴

因为 ax ? by ? 7 ,所以 (ax ? by )( x ? y) ? 7( x ? y ) .
2 2 2 2 3 3 所以 (ax ? by ) ? xy(ax ? by) ? 7( x ? y) .即 16 ? 3 xy ? 7( x ? y ) ……⑵ 4 4 4 4 由⑴、⑵,解得 x ? y ? ?14 , xy ? ?38 .又因为 ax ? by ? 42 ,所以 (ax ? by )( x ? y) ? 42( x ? y) .

所以 (ax ? by ) ? xy(ax ? by ) ? 42( x ? y) .所以 ax ? by ? 42( x ? y) ? 16 xy ? 20 .
5 5 3 3 5 5

注:用递归数列也可求解,且更简单,但不易想到。 4. 设 n ? N 且n ? 2, 则 1 2
?

? ? 4 ? 2? 3 ? 5 ?
2 2
n 3

1 (12n 2 ? 45n ? 22)( n ? 1)n( n ? 1) ? (n ? 1) n (n ? 2) ? _______________________________ . 60

? ?
2

解析:上式左= 先做第一步: 1+2+3+……+n=

?i
i ?1

n

4

?4

?i
i ?1

?5

?i
i ?1

n

2

?2

?i
i ?1

n

n( n ? 1) (这个不用证明了吧,应该会!) 2

第二步: 1?+2?+3?+…+n?=? 过程如下: ∵(n+1) ?-n?=3n?+3n+1 ∴2?-1?=3*1?+3*1+1 3?-2?=3*2?+3*2+1 4?-3?=3*3?+3*3+1 ...... (n+1) ?-n?=3n?+3n+1 把以上所有等式相加,可得: (n+1) ?-1?=3( 1?+2?+3?+...+n?)+3(1+2+3+4+5+6+.....+n)+n ∴n?+3n?+3n=3(1?+2?+3?+...+n?)+ 整理即可得: 1?+2?+3?+...+n?= 第三步: 1?+2?+3?+...+n?=? 用同样的方式, ∵ (n ? 1) ? n4 =……
4

3n ? n ? 1? 2

+n

n ? n ? 1?? 2n ? 1? 6

n( n ? 1) 最终得到:1?+2?+3?+…+n?= 2

2

第四步,不用说了吧,一样的步骤,能够得到
4 1 ?2 ? 4

? n4 =

6n5 ? 15n4 ? 10n3 ? n 30

再代入到原式即可。 5. 已知 x, y , z 是一个三角形的三个内角,则三元方程 2cosx ? 2 cosy ? 2 cos z ? 3 的所有解为______________________. x ? y ? z ? 60? 解析: 由于x ? y ? z ? 180?所以x ? y ? 180? ? z

原式等于( 2 cos x ? cos y) ? 2 cos ? ?180? ? ? x ? y ? ? ??3?0

即4 cos

x? y x? y cos ? 2 cos ? x ? y ? ? 3 ? 0 2 2
2 x? y x? y x? y cos ? 1 ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1? ? ? 4 cos 2 2 2

即? 4? cos

视上式为关于 cos

x? y 的一元二次方程有解则⊿≥0 2
2

得 ? ? 16? cos

x? y ? ? 16 ≥0 2
2

则 ? cos

x? y ? ? 1 因为三角形内角得 x ? y 同理 y ? z , z ? x 所以 x = y = z = 60? 。 2
2 x1 是实数,则 S=1+ x2

6. 设 x1 、 x2 是 实 系 数 一 元 二 次 方 程 ax 2 ? bx ? c ? 0 的 两 个 根 , 若 x1 是 虚 数 ,

? x2 x2 ? x2 ? ? x2 ? ? x2 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?x ? ?x ? ?x x1 ? x ? 1? ? 1? ? 1? ? 1
3

2

4

8

? ? ? ?

21999

的值为_____0_____.

x 2 ?1 ? 3i ? x2 ? 解析:算出 ? ? ? ? ? 1 ,再由等比数列求和公式易得。 x1 2 ? x1 ?
7. 在四面体ABCD 中,AB ? AC ? AD ? 5 ,BC ? 3 ,CD ? 4 ,DB ? 5 , 则该四面体的体积为 ______ 5 3 .

备铺设一段2m ? 10m的走廊,共有六种颜色 的 1m ? 1m的瓷砖可供选用 8. 假期,附中的施工队准

30 ? 21 种铺设方法。 (每种都超过10 块) , 要求相邻边界的瓷砖必 须是不同颜色的,那么 共有 ______
解析:简单的递推。 a n?1 ?

6

21a n ,易得 a1 ? 30 ,结果 30 ? 21

6



二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
9.(本小题满分 16 分)是否存在一个等差数列{an},使得对任何自然数 n,等式: a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2) 都成立,并证明你的结论. 解析:将 n=1,2,3 分别代入等式得方程组.

?a1 ? 6 ? , ?a1 ? 2a 2 ? 24 ?a ? 2a ? 3a ? 60 2 3 ? 1
解得 a1=6,a2=9,a3=12,则 d=3. 故存在一个等差数列 an=3n+3,当 n=1,2,3 时,已知等式成立。`````````````````````````````````````````````(4 分) 下面用数学归纳法证明存在一个等差数列 an=3n+3,对大于 3 的自然数,等式 a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)都成立. 因为起始值已证,可证第二步骤.```````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````(8 分)

假设 n=k 时,等式成立,即 a1+2a2+3a3+…+kak=k(k+1)(k+2) 那么当 n=k+1 时, a1+2a2+3a3+…+kak +(k+1)ak+1 = k(k+1)(k+2)+ (k+1)[3(k+1)+3] =(k+1)(k2+2k+3k+6) =(k+1)(k+2)(k+3) =(k+1)[(k+1)+1][(k+1)+2]```````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````12 分 这就是说,当 n=k+1 时,也存在一个等差数列 an=3n+3 使 a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)成立. 综合上述,可知存在一个等差数列 an=3n+3,对任何自然数 n,等式 a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)都成立. `````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````16 分 10.(本小题满分 20 分)对于直线系 (x ? 1) cos? ? (y ? 2) sin? ? 3 ( 0 ? ? ? 2? ) 找出其中三条直线围成含有 30° 锐角的直角三角形,求这些三角形的面积的最大值。 9 3 ? 2 3

?

?

11.(本小题满分 20 分)有一个 m ? n ? p 的长方体盒子,另有一个 (m ? 2) ? (n ? 2) ? (p ? 2) 的长方体盒子,其中

m , n , p 均为正整数 (m ? n ? p) ,并且前者的容积是后者的一半,求 p 的最大值。 130

二试。1.(本题满分 40 分)已知 ABC的三 边长分别为 O1、 O2、 O3 13 , 14 , 15 . 有四个半径同为r 的圆 O、

放在三角形ABC中,并且圆O1与边AB、AC相切,圆O2与边BA、BC

相切,圆O3与边CB、 CA相切,圆O与圆O1、 O2、 O3相切,则圆O的半径r是多少?
4(3 x 2 ? 4) 2. (本题满分 40 分)设 f ( x ) ? 3 ,又实数列 ?a n? 满足 a n?1 ? f (a n), 且a 1 ? 3 。 x ? 12 x

260 129

53 ? ( ?1) 2 ? (1)求数列 ?a n? 的通项公式; n?1 n ?1 5 3 ? ( ?1)
( 2 ) 数 列

n?1

n ?1

?a n?

是 否 有 极 限 ? 如 果 有 , 请 求 出 lim a n ; 如 果 没 有 , 请 证 明 。
x ??

由数列通项可知有极限,且极限是2.
3.(本题满分 50 分)设正整数 a ,b 互质,证明:

? a ? ? 2a ? ?b? ? ? b ? ? ? ? ? ?
这里 x 表示 x 的整数部分。

? (b ? 1)a ? (a ? 1)(b ? 1) 。 ?? ?? 2 ? b ?

? ?

解析:构造 y =

a ? x ,等式左右均等于它和 y ? b 以及 x 轴 y 轴围成的三角形中整点的个数。 b

4.(本题满分 50 分)对一个边长互不相等的凸 n( n ? 3 ) 边形的边染色,每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种, 但是不允许相邻的边有相同的颜色,问:共有多少种不同的染色方法? 解析:设不同的染色法有 pn 种.易知 p3 ? 6 .………………………………………………………………(10 分) 当 n ? 4 时,首先,对于边 a1 ,有 3 种不同的染法,由于边 a2 的颜色与边 a1 的颜色 不同,所以,对边 a2 有 2 种不同的染法,类似地,对边 a3 ,…,边 an ?1 均有 2 种染法.对 于边 an ,用与边 an ?1 不同的 2 种颜色染色,但是,这样也包括了它与边 a1 颜色相同的情 况,而边 a1 与边 an 颜色相同的不同染色方法数就是凸 n-1 边形的不同染色方法数的种

an a1

an-1

a2 a3

数 pn?1 ,于是可得………………………………………………………………………………………………(20 分)

pn ? 3? 2n?1 ? pn?1 ,
pn ? 2n ? ? ? pn ?1 ? 2n ?1 ? .

………………………………………………(30 分)

于是

pn ? 2n ? (?1) n ?3 ? p3 ? 23 ? ? (?1) n ? 2 ? 2 ,

pn ? 2n ? (?1)n ? 2 , n ? 3 .……………………………………………………(40 分)
综上所述,不同的染色方法数为 pn ? 2n ? (?1)n ? 2 . ………………………………………………(50 分)


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