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基本初等函数知识点与习题


基本初 等函数 一、指数函数 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果 x ? a , 那么 x 叫做 a 的 n 次方根,其中 n >1,且 n ∈ N *. ? 负数没有偶次方根;0 的任何次方
n

根都是 0,记作 0 ? 0 。 当n 是奇数时, a ? a ,当 n 是偶数时,
n

n<

br />
n

n

?a (a ? 0) a n ?| a |? ? ?? a (a ? 0)

2.分数指数幂
a ? n a m (a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)
a
m ? n

m n



?

1 a
m n

?

1
n

a

m

(a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)

? 0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分 数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质 (1) a 〃 a ? a (a>0) (a ) ? a ( 2 ) (a>0) (3) (ab) ? a a (a,b>0) (二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数 y ? a (a ? 0, 且a ? 1) 叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域为 R. 2、指数函数的图象和性质
r r r ?s

r s

rs

r

r

s

x

二、对数函数 (一)对数 1.对数的概念:一般地,如果 a ? N (a ? 0, a ? 1) ,那么数 x 叫做以 a 为底 N . ..
x

的对数,记作: x ? log N ( a — 底数, N — 真数, log N — 对数式) 说明:两个重要对数: 1 ○ 常用对数:以 10 为底的对数 lg N ; 2 ○ 自然对数:以无理数 e ? 2.71828 ? 为底 的对数 ln N . 2.
a a

(二)对数的运算性质 如果 a ? 0 ,且 a ? 1 , M ? 0 , N ? 0 ,那么: 1 ○ log (M 〃 N ) ? log M + log N ; 2 ○ log M ? log M - log N ;
a a a
a

N

a

a

3 ○

loga M n ? n loga M

(n ? R) .

注意:换底公式 log b ( a ? 0 , 且 a ?1 ; c ? 0 , 且 log b ?
c a

logc a

c ? 1;b ? 0 ) .利用换底公式推导下面的

结论 (1) log

am

bn ?

n (2) loga b ? 1 log a b ; m logb a



(二)对数函数 1 、 对 数 函 数 的 概 念 : 函 数 y ? log x(a ? 0 ,且 a ? 1) 叫做对数函数,其 中 x 是自变量,函数的定义域是(0,+ ∞) . 注意:○ 对数函数的定义与指数函数 1 类似,都是形式定义,注意辨别。 如 : y ? 2 l o g x , y ? log x 都 不 是 对 数 函
a
2
5

5

数,而只能称其为对数型函数. 2 ○ 对数函数对底数的限制: (a ? 0 ,且 a ? 1) . 2、对数函数的性质:



题 基 本初等函数 1、 若指数函数 y ? (a ? 1) 在 (??, ? ?) 上是减函数,
x

那么( A、 D、
a ? ?1


0 ? a ?1

B、

?1 ? a ? 0

C、

a ? ?1

2、函数 ( )

f ( x) ? 2 3? x

在 区 间 (??,0) 上 的 单 调 性 是

A、 增函数 C、 常数 函数有时是减函数 3、函数 f ( x) ? 2 是( ) A 、 ?x x ? 0? D、 ?x x ? 1? 4、函数 值的集合( A、 是 ? B 、 ?x x ? 1?
x

B、 减函数 D、 有时是增

? 1 ,使 f ( x ) ? 0 成立的 x 的值的集合

C 、 ?x x ? 0?

f ( x) ? 2 x ,g( x) ? x ? 2, 使 f ( x ) ? g ( x ) 成立的 x



) B、 有且只有一个元素

C、 有两个元素 5、若函数 y ? a 第二象限,则有 A、 a ? 1 且 b ? 1 C、 0 ? a ? 1 且 b ? 0 6、 函数 y ?
32 ? 2 x
x

D、 有无数个元素

? ( b ?1) ( a ? 0 且 a ? 1 )的图象不经过



) B、 0 ? a ? 1 且 b ? 1 D、 a ? 1 且 b ? 0

的定义域是________。 ,使 f ( x ) 是增函数的 x 的区间

1 7、 函数 f ( x) ? ( 2 )

x ?1

是___ ______ 8.若 2 lg ( x -2y )= lg x + lg y ,则 y 的值为
x

( ) A.4 D. 1
4

B.1 或 1

4

C . 1



4

9.若定义在区间(-1,0)内的函数 f(x)=
log2 a ( x +1)满足

f ( x )>0,则 a 的取值范围为



) A. (0, 1 )
2

B . ( 0 ,

1 2



C. 1 ,+∞) (
2

D. (0,+∞)
a

10.已知 y= log (2-ax)在[0,1]上是 x 的 减函数,则 a 的取值范围是__

11.已知定义域为 R 的偶函数 f(x)在[0, +∞]上是增函数,且 f( 1 )=0,
2

求不等式 f(log4x)>0 的解集


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