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辽宁省锦州市锦州中学2016届高三数学上学期期中试题 理


辽宁省锦州市锦州中学 2016 届高三数学上学期期中试题 理
(考试时间 120 分钟,满分 150 分) 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本题共 12 个小题,每题 5 分,共 60 分, 四个选项中只有一个正确) 1. 已知 U ? ? 1,2,3,4,5,6?, M ? ? 1,3,4,5,?, N ? ?2,4,5,6?,则( A. M ? N ?

?4,6? B. M ? N ? U D. (Cu M ) ? N ? N C. (Cu N ) ? M ? U 2.设 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位) ,则 A. ?1 ? i B. 1 ? i )

2 ? z2 ? ( z

) C. ? 1 ? i
2 2

D. 1 ? i
2

3.在 ?ABC 中,角 A,B,C 的对应边分别为 a,b,c,若 a ? b ? c ? 3ab,则角 C 的值为(



? A. 6

? B. 3

? 5? C. 或 6 6

? 2? D. 或 3 3
开 始

4 .已知方程 x 2 ? ?m ? 2?x ? m ? 5 ? 0 有两个正根,则实数 m 的取值范围是 ( ) B. m ? ?4 D. ? 5 ? m ? ?4 A. m ? ? 2 C. m ? ? 5
输入 n,a0,a1,?an

k ?n; S ? an
k>0
Y N

5. 在右侧的框图中,设 x=2,并在输入框中输入 n=4; ai ? i (i ? 0,1,2,3,4) .则 此程序执行后输出的 S 值为( ) A.26 B.49 C.52 D.98 6.给出下列四个命题: (1)若 ? ? ? 且 ? 、 ? 都是第一象限角,则 tan ? ? tan ? ; (2)“对任意 x ? R ,都有 x 2 ? 0 ”的否定为“存在 x0 ? R ,使得 x0 2 ? 0 ”; (3) 已知命题 p: 所有有理数都是实数, 命题 q: 正数的对数都是负数, 则 (?p) ? q 为真命题;

k ? k ?1

S ? ak ? S ? x
S 结 束

3? x (a ? 0, a ? 1) 是偶函数. 3? x 其中真命题的个数是为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4
(4)函数 f ( x) ? log a 7. 设函数 f ( x) ? cos( 3x ? ? )(0 ? ? ? ? ) ,若 f ( x) ? f ?( x) 为奇函数,则 ? = ( A. )

? 2

B.

? 3

C.

? 4

D.

? 6

8.设函数 f(x)= ? A. [-1,2]

?21-x ,x ? 1, 则满足 f(x)≤2 的 x 的取值范围是( ) 1 log x , x > 1 , 2 ?
B. [0,2] C. [0,+ ? ) D. [1,+ ? )
1

9. ?ABC 的三边长度分别是 2,3,x,由所有满足该条件的 x 构成集合 M,现从集合 M 中任取一 x 值,所 得 ?ABC 恰好是钝角三角形的概率为( ) A.

4 ? 13 ? 5 4

B.

5 ? 13 4

C.

3 4

D.

5 ?1 4


10. 一抛物线形拱桥,当水面离桥顶 2m 时,水面宽 4m,若水面下降 1m,则水面宽为( A.2 6 m B.

6m

C.4.5m

D.9m

11.椭圆

x2 x2 2 ? y ? 1 ? y 2 ? 1 ( n ? 0 )有公共焦点 F1 , F2 .P 是两曲线的交点,则 ( m>1 )与双曲线 2 2 m n
) B.2 C.1 D.

S ?F1PF2 ? (
A.4

1 2

12.已知函数 f ( x) ? ? 的取值范围为 ( A. (1,10)

2 x ? ?(2 x ? x )e , x ? 0 , g ( x) ? f ( x) ? m ,若函数 g ( x) 恰有三个不同零点,则实数 m 2 ? ? x ? 6 x ? 1 , x ? 0 ?

) B. (?10,?1) C. (0,

2 2?2 ) e 2

D. (?10,

2 2?2 ) e 2

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 已知某几何体的三视图如图所示, (图中每一格为 1 个长度单位)则该几何体 的全面积为 .

14 .若方程 x ? y ? 6 x ? y ? 3m ? 0 仅表示一条直线,则实数 m 的取值范围 是 .

15.已知Δ ABC,点 A(2,8) 、 B(?4,0) 、 C (4,?6) ,则∠ABC 的平分线所在直线方程 为 .
2

y2 ? 1 ,A、B 是双曲线上关于原点对称的两点,M 是双曲线上异于 A、B 的一点, 16. 已知双曲线 C: x ? 3
直线 MA、 MB 的斜率分别记为 k1 , k 2 ,且 k1 ? [?3,?1] ,则 k 2 的取值范围是 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本题满分 10 分)
2 2 已知 x ? y ? 9 的内接三角形 ABC 中,A 点的坐标是 (?3,0) ,重心 G 的坐标是 ( ? ,?1) ,求:

.

1 2

2

(I)直线 BC 的方程; (II)弦 BC 的长度.

18. (本题满分 12 分) 已知数列 {an } 的首项 a1 ?

2 2an , an ?1 ? , n ? 1, 2,3, ?. 3 an ? 1

(Ⅰ)证明:数列 {

1 2n ? 1} 是等比数列; (Ⅱ)数列 { } 的前 n 项和 Sn . an an

19. (本题满分 12 分) 已知 A,B,C 为锐角 ?ABC 的三个内角,向量 m ? (2 ? 2 sin A, cos A ? sin A) ,

n ? (1 ? sin A, cos A ? sin A) ,且 m ? n .
(Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)求 y ? 2sin 2 B ? cos( 20. (本题满分 12 分) 甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试,面试合格者可正式签约,甲表示只要面试合格就签约.乙、 丙则约定:两人面试都合格就一同签约,否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是 合格互不影响.求: (Ⅰ)至少有 1 人面试合格的概率; (Ⅱ)签约人数 ? 的分布列和数学期望. 21. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ?

2? ? 2 B) 取最大值时角 B 的大小. 3

1 ,且面试是否 2

1 2 x ? a ln x . 2

(Ⅰ)当 a <0 时,若 ?x >0,使 f ( x) ? 0 成立,求 a 的取值范围; (Ⅱ)令 g ( x) ? f ( x) ? (a ? 1) x , a ? (1, e] ,证明:对 ?x1 , x2 ?[1, a] ,恒有 g ( x1 ) ? g ( x2 ) <1. 22. (本题满分 12 分) 已知椭圆 E 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,离心率为

1 ,且椭圆 E 上一点到两个焦点距离之和为 2

4; l1 , l2 是过点 P(0,2)且互相垂直的两条直线, l1 交 E 于 A,B 两点, l2 交 E 交 C,D 两点,AB,CD 的 中点分别为 M,N. (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)求 l1的斜率 k 的取值范围;
3

(Ⅲ)求 OM ? ON 的取值范围.

???? ? ????

4

数学(理科)参考答案 题号 选项 1 B 2 B 3 A 4 D 5 D 6 A 7 D 8 C 9 A 10 A 11 C 12 C

二、填空题: 13. 4 ? 4 5 15. x ? 7 y ? 4 ? 0 三、解答题: 17.解: (I)设 B( x1 , y1 ) , C ( x2 , y2 ) ,则由已知得 x1 ? x2 ? 所以 BC 中点坐标为 ( ,? ) ,故 k BC ? 所以 BC 所在直线方程为: y ? 14. {m | m ? 0 或 m ? 3} 16. [?3,?1]

3 ; y1 ? y2 ? ?3 2

3 4

3 2

1 2
—————5 分

3 1 3 ? ( x ? ) ,即 4 x ? 8 y ? 15 ? 0 2 2 4

(II)由(I)得 圆心到 BC 所在直线的距离为 d ?

| ?15 | 15 ? 16 ? 64 80

所以弦 BC 的长度为 2 9 ?

225 99 3 ?2 ? 11 。— ————10 分 80 16 2

18.: (Ⅰ)? an ?1 ?

2an a ?1 1 1 1 1 ,? ? n ? ? ? , an ? 1 an?1 2an 2 2 an

?

2 1 1 1 1 1 ? 1 ? ( ? 1) ,又 a1 ? ,? ? 1 ? , 3 an ?1 2 an a1 2
1 1 1 ? 1} 是以为 首项, 为公比的等比数列.????6 分 2 2 an

? 数列 {

2 bn ? 1 1 1 1 ? 1 ,则 an ? ? 另解: 设 bn ? ,所以 1 an bn ? 1 bn ?1 ? 1 ?1 bn ? 1
得 2bn?1 ? bn ,而 b1 ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知

1 ,所以命题得证 2

1 1 1 1 1 1 2n ? 1 ? ? n?1 ? n ,即 ? n ? 1 ,? ? 2 n ? 1. an?1 2 2 2 an 2 an

? Tn ? 2n?1 ?1 ? n . ???12 分.
19 解
5

解: (Ⅰ)? m ? n ,

??

?

? (2 ? 2sin A)(1 ? sin A) ? (cos A ? sin A)(cos A ? sin A) ? 0
? 2(1 ? sin 2 A) ? sin 2 A ? cos2 A

1 ? 2cos2 A ? 1 ? 2cos2 A ? cos2 A ? . 4 1 ? ? ?ABC 是锐角三角形,?cos A ? ? A ? . 2 3
(Ⅱ)? ?ABC 是锐角三角形,且 A ?

????6 分

?

3



?

?
6

?B?

?
2

? y ? 2sin 2 B ? cos(

2? 1 3 ? 2B) ? 1 ? cos 2 B ? cos 2 B ? sin 2 B 3 2 2

?

3 3 ? sin 2 B ? cos 2 B ? 1 ? 3 sin(2 B ? ) ? 1 2 2 3

当 y 取最大值时, 2 B ?

?
3

?

?
2

即B ?

5 ?. 12

?????12 分

20.解 : 用 A,B,C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知 A,B,C 相互独立, 且 P(A)=P(B)=P(C)=

1 . 2

(Ⅰ)至少有 1 人面试合格的概率是

1 7 1 ? P( ABC ) ? 1 ? P( A) P( B) P(C ) ? 1 ? ( )3 ? . ????3 分 2 8 (Ⅱ) ? 的可能取值为 0,1,2,3.

P(? ? 0) ? P( ABC) ? P( ABC) ? P( ABC)
= P( A) P( B) P(C) ? P( A) P( B) P(C) ? P( A) P( B) P(C)

1 3 1 2 1 3 3 . 2 2 2 8 P(? ? 1) ? P( ABC) ? P( ABC) ? P( ABC)
=( ) ?( ) ?( ) ? = P( A) P( B) P(C) ? P( A) P( B) P(C) ? P( A) P( B) P(C) =( ) ? ( ) ? ( ) ?
3 3 3

1 2

1 2

1 2

3 . 8

1 P(? ? 2) ? P( ABC ) ? P( A) P( B) P(C ) ? . 8 1 P(? ? 3) ? P( ABC ) ? P ( A) P( B) P(C ) ? . 8 所以, ? 的分布列是
?
P 0 1 2

????10 分

3

3 8

3 8

1 8

1 8
6

3 3 1 1 ? 的期望 E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 1. 8 8 8 8
21.解:当 a <0,由 f `( x) ? x ? 列表:

????12 分

a .令 f ' ( x) ? 0,? x ? ?a x

x
f `( x)

(0, ?a )
?
减函数 0

?a

( ?a , ??)
+ 增函数 ????2 分

f ( x)

极小值

a ? f ( ? a ) ? ? ? a ln ? a . 2 a ∵ ?x >0,使 f ( x) ? 0 成立,∴ ? ? a ln ? a ? 0 ,∴ a ? ? e , 2
这是 f ( x)
min

∴ a 范围为 (??, ?e] . (Ⅱ)法一:因为对对 ?x ?[1, a] , g `( x) ?

????5 分

( x ? 1)( x ? a ) ? 0 ,所以 g ( x) 在 [1, a] 内单调递减 . 所以 x 1 1 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? g (1) ? g (a) ? a 2 ? a ln a ? . 2 2 1 2 1 1 3 要证明 g ( x1 ) ? g ( x2 ) <1,只需证明 a ? a ln a ? <1,即证明 a ? ln a ? <0. 2 2 2 2a 1 3 1 1 3 3 1 1 1 ? ( ? ) 2 ? >0, ????9 分 令 h( a ) ? a ? ln a ? , h`(a) ? ? ? 2 2 2a 2 a 2a 2 a 3 3 1 3 所以 h( a ) ? a ? ln a ? 在 a ? (1, e] 是单调递增函数, 2 2a e 3 (e ? 3)(e ? 1) ? 所以 h(a) ? h(e) ? ? 1 ? <0,故命题成立. ????12 分 2 2e 2e ( x ? 1)( x ? a ) ? 0 , 所 以 g ( x) 在 [1, a] 内 单 调 递 减 . 所 以 法 二 : 因 为 对 对 ?x ?[1, a] , g `( x) ? x 1 1 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? g (1) ? g (a) ? a 2 ? a ln a ? . 2 2 1 2 1 令 h( a ) ? a ? a ln a ? ,则 h`(a) ? a ? ln a ? 1. 2 2 1 令 m(a) ? a ? ln a ? 1 ,则 m`( a) ? 1 ? ,因为 a ? (1, e] ,所以 m`(a) >0,所以 h`( a ) 在 a ? (1, e] 为单调 a
递 增 函 数 , 所 以 h`( a ) > h`(1) =0 , 所 以 h(a) 在 a ? (1, e] 为 单 调 递 增 函 数. 所以 h(a) ? h(e) ? ????9 分

1 1 2 1 1 e ? e ? ? (e ? 1) 2 ? 1 < (3 ? 1) 2 ? 1 ? 1 , 2 2 2 2
????12 分
7

所以 g ( x1 ) ? g ( x2 ) <1,故命题成立.

22. 解: 解: (Ⅰ)设椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

?c 1 ?a ? 2 ?a ? 2 ? ? 得? 由 ? 2a ? 4 ?b ? 3 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? ? x2 y 2 ?1 ???4 分 ? 椭 圆方程为 ? 4 3 (Ⅱ)由题意知,直线 l1 的斜率存在且不为零 1 ? l1 : y ? kx ? 2,? l2 : y ? ? x ? 2. k 2 2 ?x y ?1 ? ? 由? 4 消去 y 并化简整理,得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 16kx ? 4 ? 0 3 ? y ? kx ? 2 ? 1 2 根据题意, ? ? (16k )2 ? 16(3 ? 4k 2 ) ? 0 ,解得 k ? . 4 1 2 1 2 1 1 1 2 同理得 (? ) ? , k ? 4,? ? k ? 4, k ? (?2, ? ) ? ( , 2) ???8 分 k 4 4 2 2 (Ⅲ)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), M ( x0 , y0 ) x ? x2 16k 8k ,? x0 ? 1 ?? 那么 x1 ? x2 ? ? 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2 6 8k 6 y0 ? kx0 ? 2 ? ,? M (? , ) 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 3 ? 4k 2 1 8 8(? ) 6 6 k 同理得 N (? ) , ) ,即 N( k , 4 4 1 2 1 2 3? 2 3? 2 3 ? 4(? ) 3 ? 4(? ) k k k k 8 ???? ? ???? 8k 6 6 28 ??10 分 ? OM ? ON ? ? ? k ? ? ?? 2 2 4 3 ? 4k 4 1 3 ? 4k 2 3? 2 3 2 25 ? 12(k ? 2 ) k k k 4 28 7 1 1 17 ?? ? ? ?? ? ? k 2 ? 4,? 2 ? k 2 ? 2 ? 1 7 19 4 4 k 25 ? 12( k 2 ? 2 ) k ???? ? ???? 4 7 即 OM ? ON 的取值范围是 [ ? , ? ] ???12 分 7 19

8


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