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2015世纪金榜理科数学(广东版)10.6


第六节

几 何 概 型

考纲
考情 五年 考题 考情 播报

广东五年0考 2.了解几何概型的意义

高考指数:★☆☆☆☆

1.了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率

无单独命题

1.经常与线性规划、不等式的求解、方程

的根所在
的区间等知识交汇命题,重点考查几何概型概率的求 法

2.多以选择题、填空题的形式出现,属容易题

【知识梳理】
1.几何概型 长度 (1)定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的_____ (面积或体积) 成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简 _____________ 称几何概型. (2)特点:

无限多 个; ①无限性:试验中所有可能出现的结果(基本事件)有_______
②等可能性:试验结果在每一个区域内均匀分布.

2.几何概型的概率公式 P(A)=
构成事件A的区域长度 ? 面积或体积 ? 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

.

【考点自测】

1.(思考)以下对于几何概型的几个结论正确的是(
①随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率;

)

②相同环境下两次随机模拟得到的概率的估计值是相等的;
③几何概型中,每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内 随机地取一点,该区域中的每一点被取到的机会相等; ④在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形 . A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④

【解析】选C.①正确.由随机模拟方法及几何概型可知,该说法 正确.②错误.虽然环境相同,但是因为随机模拟得到的是某一 次的频率,所以结果不一定相等.③正确.由几何概型的定义知, 该说法正确.④正确.由几何概型的定义知,该说法正确.

2.在区间[-3,5]上随机取一个数x,则x∈[1,3]的概率 为(
A. 3 8

)
B. 1 3 C. 1 4 D. 2 5

【解析】选C.记“x∈[1,3]”为事件A, 则由几何概型的计算公式可得P(A)= 3 ? 1 ? 1 .
5?3 4

3.已知在长方形ABCD中,AB=4,BC=1,M为AB的中点,则在此 长方形内随机取一点P,P与M的距离小于1的概率为(
A. ? 4 B.1 - ? 4 C. ? 8 D.1 - ? 8

)

【解析】选C.以M点为圆心,以1为半径在长方形ABCD中作半 圆,则该半圆内的任一点与M点的距离小于1.因此只要算出 该半圆的面积占总面积的比例即为所求概率.因为总面积
? =4×1=4,半圆面积= 1 π×1= ? ,所以所求概率为P= 2 ? ? . 2 4 8 2

4.(2014·北京模拟)在500mL的水中有一个草履虫,现从中随

机取出2mL水样放到显微镜下观察,那么发现草履虫的概率
是 .

【解析】记“从中随机取出2mL水样放到显微镜下观察,发现草 履虫”的事件为A.由题意可得,所求的概率属于几何概型,测度 为体积,所以P(A)= 答案:0.004
2 =0.004. 500

5.(2014·枣庄模拟)如图所示,墙上挂有一块边长为2的正方形 木板,它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心,半径 为1的扇形.某人向此木板投镖,假设每次都能击中木板,则击中 阴影部分的概率是 .

【解析】根据题意,图中正方形的面积为2×2=4, 图中阴影部分的面积为 4-4× 1 ×π×12=4-π, 则击中阴影部分的概率为 P ? 4 ? ? ? 1 ? ? . 答案: 1 ? ?
4 4 4 4

考点1

与长度、角度有关的几何概型问题

【典例1】(1)(2013·湖南高考)已知事件“在矩形ABCD的边 CD上随机取一点P,使△APB的最大边是AB”发生的概率为 1 , 则
A. 1 2
AD =( AB 2

)
1 4 C. 3 2 D. 7 4

B.

(2)(2013·福建高考)利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a, 则事件“3a-1>0”的概率为 .

(3)如图,在直角坐标平面内,射线OT落在60° 角的终边上,任作一条射线OA,OA落在∠xOT 内的概率是 .

【解题视点】(1)找出使△APB的最大边是AB的临界条件,首先 是确定AD<AB,然后作出矩形ABCD,最后分别以A,B为圆心,以AB 为半径作圆弧交CD于F,E,当EF= 1 CD时满足题意.
2

(2)对于几何概型,一个变量是长度,此题涉及一个变量,利用长 度求得概率.

(3)从事件所发生的过程来看,可利用符合题意的图形对应的角
度比,得到所求的事件的概率.

【规范解答】(1)选D.由题意,得如图, 在矩形ABCD中,分别以A,B为圆心,以 AB为半径作圆弧交CD分别于点F,E,当点 P在线段EF上运动时满足题设要求,所以E,F为CD的四等分点, 设AB=4,则DF=3,AF=AB=4,在直角三角形ADF中, AD ? AF2-DF2 = 7 ,所以 AD ? 7 . (2)设事件A:“3a-1>0”,则a∈( 1 ,1],
1 1 - 3 ? 2. 所以P(A)= 1 3 2 答案: 3
3

AB

4

(3)因为周角等于360°,所以任作一条射线OA,它的运动轨迹可 以绕原点旋转一周,所以所有的基本事件对应的图形是360°角 的整个平面区域.因为射线OT落在60°角的终边上,所以若OA落 在∠xOT内,符合题意的事件对应的图形是所成角为60°的两条 射线之间区域,记事件X=“任作一条射线OA,OA落在∠xOT内”, 可得所求的概率为 P ? X ? ? 答案: 1
6 60 1 ? . 360 6

【互动探究】把第(2)题中的“则事件‘3a-1>0’的概率为 ________”改为“则事件‘3a-1<0’发生的概率为______”. 【解析】设事件B:“3a-1<0”,则a∈[0, ),所以P(B)=
1 -0 1 3 ? . 1 3 答案: 1 3
1 3

【规律方法】
1.与长度有关的几何概型

如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示,则其概
率的计算公式为

P(A)=

构成事件A的区域长度 . 试验的全部结果所构成的区域长度

2.与角度有关的几何概型

当涉及射线的转动,扇形中有关落点区域问题时,应以角的大
小作为区域度量来计算概率,且不可用线段的长度代替,这是 两种不同的度量手段.

提醒:有时与长度或角度有关的几何概型,题干并不直接给出, 而是将条件隐藏,与其他知识综合考查.

【变式训练】(2014·保定模拟)在区间[-1,1]上随机取一
个数k.使直线y=k(x+2)与圆x2+y2=1有公共点的概率为_____.

【解析】圆x2+y2=1的半径为1,圆心到直线y=k(x+2)的距离为
2k 1? k2 , 要使直线y=k(x+2)与圆x2+y2=1有公共点.则 2k k2 ?1

≤1,解得 ? 3 ? k ? 3 .所以在区间[-1,1]上随机取一个
3 3 ? (? ) 3 数k,使直线y=k(x+2)与圆x2+y2=1有公共点的概率为: 3 1 ? (?1) 3 ? . 3 答案: 3 3

3

3

【加固训练】 1.两根相距6 m的木杆上系一根绳子,并在绳子上挂一盏灯, 则灯与两端距离都大于2 m的概率为(
A. 1 2 B. 1 3 C. 1 4 D. 1 6

)

【解析】选B.记“灯与两端距离都大于2 m”为事件A,则
P?A? ? 2 1 ? . 6 3

2.若过正三角形ABC的顶点A任作一条直线l,则l与线段BC相 交的概率为(
A. 1 2 B. 1 3

)
C. 1 6 D. 1 12

【解析】选C.∠BAC=60°,所以所求概率为 60 ? 1 .
360 6

3.若在区间[0,8]上随机取一实数,则该实数在区间

[3,6]上的概率是_______.
【解析】由于试验的全部结果构成的区域长度为8-0=8,构成 该事件的区域长度为6-3=3, 所以概率为 答案:3
8 3 .即该实数在区间[3,6]上的概率是 3 . 8 8

考点2

与面积、体积有关的几何概型问题

高频考点 通 关

【考情】从近几年的高考试题来看,几何概型逐渐成为高考的 热点内容,题型以选择题、填空题为主,属容易题,以考查基本 概念为主,兼顾基本运算能力.

【典例2】(1)(2013·陕西高考)如图,在矩形 区域ABCD的A,C两点处各有一个通信基站,假 设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形 区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常).若在 该矩形区域内随机地选一地点,则该地点无信号的概率是(
? 4 ? C.2- 2 A.1- ? B. - 1 2 ? D. 4

)

(2)(2014·上饶模拟)一个长方体空屋子,长、宽、高分别为5 米,4米,3米,地面三个角上各装有一个捕蝇器(大小忽略不计), 可捕捉距其一米空间内的苍蝇,若一只苍蝇从位于另外一角处 的门口飞入,并在房间内盘旋,则苍蝇被捕捉的概率是(
A. ? 180 B. ? 150 C. ? 120 D. ? 90

)

【解题视点】(1)几何概型面积型的概率为随机事件所占有的 面积和基本事件所占有的面积的比值,可求出该几何概型的概 率. (2)以体积为测度,计算三个捕蝇器可捕空间、空屋子体积,即 可得到结论.

【规范解答】 (1)选A.由题设可知,矩形ABCD的面积为2,曲边形DEBF的面积 为2- ? ,故所求概率为
2

2-

? ? 2 ?1 - . 2 4

(2)选C.三个角上各装有一个捕蝇器,可捕捉距其一米空间内
1 个球,一共就 3 个球. 8 8 所以三个捕蝇器可捕空间 3 ? 4 ?? 13 ? 1 ? 立方米. 8 3 2

的苍蝇,故每个就相当于

因为长、宽、高分别为5米,4米,3米, 所以空屋子体积为5×4×3=60立方米,
1 ? 所以苍蝇被捕捉的概率为 2 ? ? . 60 120

【通关锦囊】 高考指数 ◆◆◆ 重点题型 破 解 策 略

根据面积求
几何概型的 概率 根据体积求 ◆◆◆ 几何概型的

确定随机事件所占有的面积和基本 事件所占有的面积,再求出概率 确定随机事件所占有的体积和基本 事件所占有的体积,再求出该几何

概率

概型的概率

【关注题型】 根据题意列出条件,找出试验的 全部结果构成的区域和事件所 构成的区域,利用线性规划确定 面积,再求概率 仔细审题,根据题目提供的信息 构建概率模型,利用概率知识解

根据线性规

◆◇◇

划求几何概
型的概率

◆◇◇

生活中的几 何概型问题

决模型

【特别提醒】1.把每一次试验当作一个事件,看事件是否是等

可能的,且事件的个数是否是无限个,若是则考虑用几何概型.
2.将试验构成的区域和所求事件构成的区域转化为几何图形 ,

并加以度量.

【通关题组】
1.(2014·珠海模拟)在长为10 cm的线段AB上任取一点C.现作 一矩形,邻边长分别等于线段AC,CB的长,则该矩形面积大于 9 cm2的概率为(
A. 1 10 B. 1 5 C. 3 10

)
D. 4 5

【解析】选D.设AC=x,则BC=10-x, S=AC·BC=x(10-x)=10x-x2>9,解得1<x<9. 所以该矩形面积大于9 cm2的概率为 P ? 8 ? 4 .
10 5

2.(2013·四川高考)节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串 彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的4 秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯在 4秒内为间隔闪亮, 那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超 过2秒的概率是(
A. 1 4 B. 1 2 C. 3 4

)
D. 7 8

【解析】选C.由于两串彩灯第一次闪亮相 互独立且在通电后4秒内任一时刻等可能 发生,所以总的基本事件为如图所示的正 方形的面积,而要求的是第一次闪亮的时刻相差不超过 2秒的基 本事件为如图所示的阴影部分的面积,根据几何概型的计算公 式可知它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2秒的概率是 12 ? 3 ,
16 4

故选C.

3.(2013·山东高考)在区间[-3,3]上随机取一个数x,使得
|x+1|- |x-2|≥1成立的概率为 .

【解析】设f(x)=|x+1|-|x-2|,则f(x)=|x+1|-|x-2|=
1 ?-3,-3 ? x ? -, ? 1,- 1 ? x ? 2, ?2x- ?3, 2 ? x ? 3. ?

由2x-1≥1,解得1≤x<2,即当1≤x≤3时,f(x)≥1成立.由 几何概型公式得所求概率为 答案:
1 3

3- 1 2 1 ? ? . 3-?-3? 6 3

【加固训练】 1.(2014·兰州模拟)在半径为1的圆内任取一点,以该点为中 点作弦,则所作弦的长度超过 3 的概率是(
A. 1 5 B. 1 4 C. 1 3 D. 1 2

)

【解析】选B.如图,C是弦AB的中点,在直 角三角形AOC中,AC= 1 AB= 3 ,OA=1,所以 OC=
1 , 2 2

2

所以符合条件的点必须在半径为 1 的圆内.
2

则所作弦的长度超过 3 的概率是 P ? S小圆
S大圆

1 ( )2 ? 1 ? 2 ? . ? 4

2.(2014·九江模拟)如图,设D是图中边长 分别为1和2的矩形区域,E是D内位于函数 y= 1 (x>0)图象下方的区域(阴影部分),
x

从D内随机取一个点M,则点M取自E内的概 率为(
1 ? ln 2 2 ln 2 C. 2 A.

)
B. 1 ? ln 2 2 2 ? ln 2 D. 2

【解析】选B.本题是几何概型问题, 区域E的面积为:S= 2 ? 1 ? ?11 1 dx ? 1 ? ln x |11 ? 1 ? ln 1 ? 1 ? ln 2,
2
2

x

2

2

所以“该点在E中”事件对应的区域面积为1+ln 2, 矩形的面积为2,由几何概型的求解可得 P ? 1 ? ln 2 .
2

【易错误区30】对阴影部分面积计算不准确 【典例】(2014·武汉模拟)如图,在圆心角为 直角的扇形OAB中,分别以OA,OB为直径作两个

半圆.在扇形OAB内随机取一点,则此点取自阴
影部分的概率是(
A.1 ? 2 ? 1 1 B. ? 2 ?

)
C. 2 ? D. 1 ?

【解析】

【误区警示】

【规避策略】

【类题试解】(2014·惠州模拟)设不等式组 ?

?0 ? x ? 2, ?0 ? y ? 2

表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点,则此点到坐标 原点的距离大于2的概率是(
A. ? 4 B. ??2 2 C. ? 6 D.

)
4?? 4

【解析】选D.平面区域D的面积为4,到原点距离大于2的点位 于图中阴影部分,其面积为4-π,所以概率为
4?? . 4


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