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全称量词与存在量词课件ppt(北师大版选修2-1)


知识点一

理解教材 新知

知识点二 知识点三 考点一

第 一 章

§ 3

把握热点 考向

考点二 考点三

应用创新演练

在某个城市中有一位理发师,他的广告词是这样写的:
“本人的理发技艺十

分高超,誉满全城.我将为本城所有不 给自己刮脸的人刮脸,我也只给这些人刮脸.我对各位表示 热诚欢迎!”来找他刮脸的人络绎不绝,自然都是那些不给 自己刮脸的人.可是,有一天,这位理发师从镜子里看见自

己的胡子长了,他本能地抓起了剃刀,你们看他能不能给他
自己刮脸呢?如果他不给自己刮脸,他就属于“不给自己刮 脸的人”,他就要给自己刮脸,而如果他给自己刮脸呢?他 又属于“给自己刮脸的人”,他就不该给自己刮脸.

这就是著名的“罗素理发师悖论”问题.
问题1:文中理发师说:“我将给所有的不给自己刮脸的

人刮脸”.对“所有的”这一词语,你还能用其它词语代替吗?
提示:任意一个 全部 每个.

问题2:上述词语都有什么含义? 提示:表示某个范围内的整体或全部.

全称量词与全称命题 (1)“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指定

范围内,表示 整体 或 全部 的含义,这样的词叫作全称量词.
(2)含有全称量词 的命题,叫作全称命题.

观察语句(1)(2): (1)存在一个x∈R,使3x+1=5; (2)至少有一个x∈Z,x能被2和3整除.

问题1:(1)(2)是命题吗?若是命题,判断其真假.
提示:是 都为真命题.

问题2:(1)(2)中的“存在一个”,“至少有一个”有什么含义? 提示:表示总体中“个别”或“一部分”. 问题3:你能写出一些与问题2中具有相同意义的词语吗?

提示:某些

有的

有些.

存在量词与特称命题

(1)“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”都有表示
个别 或 一部分 的含义,这样的词叫作存在量词.

(2)含有 存在量词 的命题,叫作特称命题.

观察下列命题: (1)被7整除的整数是奇数;

(2)有的函数是偶函数;
(3)至少有一个三角形没有外接圆. 问题1:命题(1)的否定:“被7整除的整数不是奇数”对吗? 提示:不对,命题(1)是省略了量词“所有”的全称命题,其 否定应为“存在被7整除的整数不都是奇数”.

问题2:命题(2)的否定:“有的函数不是偶函数”对吗? 提示:不对,应为每一个函数都不是偶函数. 问题3:判断命题(3)的否定的真假. 提示:命题(3)的否定:所有的三角形都有外接圆,是 真命题.

全称命题与特称命题的否定 全称命题的否定是 特称命题 ;特称命题的否定 是 全称命题 .

1.判断一个命题是全称命题还是特称命题时,首 先要分析命题中含有的量词,含有全称量词的是全称 命题,含有存在量词的是特称命题. 2.要说明一个全称命题是错误的,只需找出一个

反例即可,实际上就是说明这个全称命题的否定是正
确的;要说明一个特称命题是错误的,就要说明所有 的对象都不满足这一性质,即说明这个特称命题的否 定是正确的.

[例1] 判断下列命题哪些是全称命题?哪些是特称命题? (1)对任意x∈R,x2>0;

(2)有些无理数的平方也是无理数;
(3)正四面体的各面都是正三角形; (4)存在x=1,使方程x2+x-2=0; (5)对任意x∈{x|x>-1},3x+4>0成立; (6)存在a=1且b=2,使a+b=3成立.

[思路点拨]

先观察命题中所含的量词,根据量词的

意义来判断命题的类别.不含量词的命题要注意结合命题
的语境进行分析. [精解详析] (1)(5)含全称量词“任意”,(3)虽不含有量

词,但其本义是所有正四面体的各面都是正三角形.故 (1)(3)(5)为全称命题;

(2)(4)(6)为特称命题,分别含有存在量词“有些”、“存
在”、“存在”.

[一点通]

判断一个命题是全称命题还是特称命题

时需要注意以下两点: (1)若命题中含有量词则直接判断所含量词是全称 量词还是存在量词; (2)若命题中不含有量词,则要根据命题的实际意

义进行判断.

1.下列命题为特称命题的是

(

)

A.偶函数的图像关于y轴对称
B.正四棱柱都是平行六面体 C.不相交的两条直线是平行直线 D.存在实数不小于3 解析:A、B、C均为全称命题,而D中含有存在量词.

答案:D

2.下列命题中全称命题的个数是

(

)

①任意一个自然数都是正整数;
②所有的素数都是奇数; ③有的等差数列也是等比数列; ④三角形的内角和是180°. A.0 B.1

C.2

D.3

解析:命题①②含有全称量词,而命题④可以叙述为“每一 个三角形的内角和都是180°”,故有三个全称命题. 答案:D

[例2]

指出下列命题中,哪些是全称命题,哪些是特称

命题,并判断其真假. (1)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应 一点;

(2)存在一个实数,它的绝对值不是正数;
(3)对任意实数x1,x2,若x1<x2,都有tan x1<tan x2; (4)存在一个函数,既是偶函数又是奇函数. [思路点拨] 本题可由命题中所含量词的特点或命题的

语境判断命题的类别,再结合相关知识判断真假.

[精解详析]

(1)(3)是全称命题,(2)(4)是特称命题.

(1)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)与平面 直角坐标系中的点是一一对应的,所以该命题是真命题. (2)存在一个实数零,它的绝对值不是正数,所以该命题

是真命题.
(3)存在x1=0,x2=π,x1<x2,但tan 0=tan π,所以该 命题是假命题. (4)存在一个函数f(x)=0,它既是偶函数又是奇函数,所 以该命题是真命题.

[一点通] (1)要判断一个全称命题是真命题,必须对限定条件中 的每一个元素x,验证命题成立.而要判断它是假命题,只

要能举出限定条件中的一个x,使命题不成立即可.
(2)要判断一个特称命题是真命题,只要在限定条件中, 至少能找到一个x,使命题成立即可,否则这一特称命题就 是假命题.

3.下列命题的假命题是
A.有些不相似的三角形面积相等 B.存在一个实数x,使x2+x+1≤0

(

)

C.存在实数a,使函数y=ax+b的值随x的增大而增大 D.有一个实数的倒数是它本身 解析:以上 4 个均为特称命题,A、C、D 均可找到符合
条件的特例;对 B,任意 x∈R,都有 x 3 + >0.故 B 为假命题. 4 答案:B
2

? 1 ?2 +x+1=?x+2? ? ?

4.判断下列命题的真假. (1)有一个实数x,使x2+2x+3=0; (2)存在两个相交平面垂直于同一条直线; (3)有些整数只有两个正因数; (4)所有质数均为奇数.

解:(1)因为x2+2x+3=(x+1)2+2≥2,因此使x2+2x+3 =0的实数不存在,所以此命题为假命题.

(2)由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的,因此
不存在两个相交平面垂直于同一条直线,所以此命题为假 命题. (3)存在这样的整数,如3只有两个正因数1和3,所以此命 题为真命题.

(4)2为质数,但2为偶数.故此命题为假命题.

[例3]

(12分)判断下列命题的真假,并写出这些命题的

否定.
(1)三角形的内角和为180°; (2)每个二次函数的图像都开口向下; (3)有些实数的绝对值是正数; (4)某些平行四边形是菱形.

[思路点拨]
题否定.

先判断是全称命题还是特称命题,再对命

[精解详析]

(1)是全称命题且为真命题.

命题的否定:三角形的内角和不全为180°,即存在一个三

角形的内角和不等于180°.
) (2)是全称命题且为假命题.

(3分

命题的否定:存在一个二次函数的图像开口不向下.(6分) (3)是特称命题且为真命题.

命题的否定:所有实数的绝对值都不是正数.
(4)是特称命题,且为真命题. 命题的否定:每一个平行四边形都不是菱形.

(9分)

(12分

[一点通]
(1)全称命题的否定为特称命题,特称命题的否定为全 称命题. (2)写全称(特称)命题的否定时,先把全称(存在)量词 改为存在(全称)量词,然后再否定结论.

5.命题“对任意的x∈R,都有x3-x2+1≤0”的否定是 (
A.不存在x∈R,使x3-x2+1≤0 B.存在x∈R,使x3-x2+1≤0 C.存在x∈R,使x3-x2+1>0 D.对任意的x∈R,都有x3-x2+1>0

)

解析:原命题为全称命题,其否定为特称命题,即为:存 在x∈R,使x3-x2+1>0.

答案:C

6.命题“所有可以被5整除的整数,末位数都是0”的否定
为________. 解析:含有量词的命题在进行否定时,除了对结论否 定,还要注意把量词进行转换,即全称量词应变为存 在量词,存在量词应变为全称量词.

答案:有些可以被5整除的整数,末位数不是0

7.命题“对任意x∈R,都有x2+ax+1≥0”.

(1)若命题为真,求实数a的取值范围;
(2)写出命题的否定. 解:(1)若“对任意x∈R,都有x2+ax+1≥0”是真命题, 则Δ=a2-4≤0,∴-2≤a≤2. (2)命题的否定为“存在x∈R,使x2+ax+1<0”.

1.判断命题是全称命题还是特称命题主要是看命题中

含有的量词.有些命题没有明显的量词或省略了量词,可以
根据命题的实际含义作出判断. 2.对含有一个量词的命题的否定要注意以下几个问题: (1)确定命题类型,是全称命题还是特称命题. (2)改变量词; (3)否定结论; (4)无量词的全称命题要先补上量词再否定.


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