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定积分计算用原函数(不定积分)


引子
定积分计算:用原函数(不定积分)

?

b a

f ( x ) d x ? F ( b ) ? F ( a ),

F ?( x ) ? f ( x )

无法找到原函数F(x)
f (x) ? 1 ln x

sin x x

/>
e

?x

2

怎么办?

第五章 数值微积分
§5.1 数值积分公式 §5.2 数值积分的余项 §5.3 复化求积法与步长的选取 §5.4 数值微分法

§5.1 数值积分公式
机械求积 Newton-Cotes公式 代数精度 Gauss求积公式

1. 机械求积
原理:定积分——曲边梯形的面积

? f ( x ) dx 理论基础:积分中值定理
I( f ) ?
a

b

f(? )=?

I ( f ) ? ( b ? a ) f (? )

矩形公式与梯形公式
左矩形 右矩形
I ( f ) ? G a ( f ) ? (b ? a ) f ( a )
I ( f ) ? G b ( f ) ? (b ? a ) f (b )
I ( f ) ? G c ( f ) ? (b ? a ) f (
b?a 2

中矩形 梯形

a?b 2

)

I( f ) ? T( f ) ?

[ f ( a ) ? f ( b )]

机械求积一般公式
问题
I( f ) ?

?
0

b

f ( x ) dx

a

适当取求积节点 x , x , ? , x ? [ a , b ] 和求积系数 A0, …, An,计算函数值 f(x0),…, f(xn), 近似解
1 n

I( f ) ? Q( f ) ?

?

n

Ai f ( x i )

i?0

误差 T(f ) - Q(f )

2. Newton-Cotes公式
插值型求积公式: P(x)是f(x)的一个插值函数 (linear, Lagrange, Hermite, spline等)
?
b a

f ( x)dx ?

?

b

P ( x )dx
a

Newton-Cotes公式: 采用等距节点Lagrange i ? 0 ,1, ? , n 插值 h ? b ? a x ? a ? ih
n
I( f ) ?
b a
i

?
a

b a

f ( x)dx ?
n

?

b a

Ln ( x ) d x ?

?

n

Ai f ( x i )

i?0

Ai ?

?

li ( x ) d x ?

? ?

b

x ? xj xi ? x j

d x ? (b ? a )

j?i j?0

? ? (t ? n ? i !( n ? i ) !
0 j?i j?0

( ? 1)

n?i

n

n

j )d t

Cotes系数Ci (仅依赖于 n, i)
变量代换x=a+th

低阶Newton-Cotes公式
梯形公式 (n=1)
I( f ) ? T( f ) ? b?a 2 [ f ( a ) ? f ( b )]

Simpson公式 (n=2)

b?a ? a?b ? I( f ) ? S( f ) ? f (a ) ? 4 f ( ) ? f (b ) ? 6 ? 2 ? ?

Cotes公式 (n=4)
I( f ) ? C( f ) ? b?a ? 3a ? b a?b a ? 3b ? 7 f (a ) ? 32 f ( ) ? 12 f ( ) ? 32 f ( ) ? 7 f (b ) ? 90 ? 4 2 4 ? ?

数值稳定性: n<8时,Cotes系数非负且和为1
? Q ( f ) ? ( b ? a ) m ax ? f ( x i )
0?i? n

3 代数精度
定义: 若机械求积公式 I ( f ) ? Q ( f ) 对所有 幂函数f(x)=1,x,x2…xm准确,则称它具有m次 代数精度。 性质:具有m次代数精度?对所有次数不超 过m次的多项式准确。 代数精度:梯形公式 (n=1)1次, Simpson公 式 (n=2)3次,Cotes公式 (n=4)5次。
n为奇数时,n阶Newton-Cotes公式的代数精度为 n; n为偶数时,n阶Newton-Cotes公式的代数精度为 n+1。

用代数精度构造插值公式
例题 求A1, A2及x2,使求积公式

?

1

0

f ( x ) dx ? A1 f ( 0 ) ? A 2 f ( x 2 )

代数精度尽量高. 解: f ( x ) ? 1 ? 1 ?
2

A1 ? 1 ? A 2 ? 1

f ( x ) ? x ? 1 / 2 ? A1 ? 0 ? A 2 x 2 f ( x ) ? x ? 1 / 3 ? A1 ? 0 ? A 2 x 2
2 2



A1=1/4, A2 =3/4,x2 =2/3

4 Gauss求积公式
考虑将节点也视为待定参数,此时机械求积公式 n
I( f ) ? Q( f ) ?

?

Ai f ( x i )

的待定参数达2n+2个,从而可期望代数精度达到2n+1, 称此类高精度的求积公式为Gauss公式,而对应节 点称为Gauss点。

i?0

一点Gauss (n=0) (中矩形公式)
I ( f ) ? G c ( f ) ? (b ? a ) f (

a?b 2
)

)

[-1,1]上的两点Gauss公式
?
1 ?1

f ( x ) dx ? f ( ?

1 3

)? f(

1 3

[-1,1]上的Gauss点
n次Legendre多项式
d dx
n n

[( x ? 1) ]
2 n

定理5.1 [-1,1]上n-1阶Gauss点恰为n次 Legendre多项式的根。
阶 0 1 2 Gauss点 0
? 1/ 3, 1/ 3

?
1 ?1

3 / 5 , 0,

3/5

求积系数 2 1,1 5/9,8/9,5/9
f (? 3 5 )? 8 9 f (0 ) ? 5 9

代数精度 1 3 5
f( 3 5 )

三 点 G a u ss ?

f ( x )dx ?

5 9

Matlab命令quadl使用Lobatto积分
Lobatto积分公式为Gauss公式的修正,总将 上下端点作为节点,n阶Lobatto积分公式的 代数精度达到2n-1, 比Gauss公式略低.
??1 f ( x ) dx
1

?

2 n ( n ? 1)

[ f ( ? 1) ? f (1)] ?

?

n ?1

Ak f ( x k )

k ?1

Lobatto积分求积系数恒正(P131)。

一般区间[a,b]上的Gauss积分
变换到[-1,1]
?
b

x ? f ( x ) dx

b?a 2

t?

a?b 2

a

?

1

?1

f(

b?a 2

t?

a?b b?a ) dt 2 2

一般区间[a,b]上的两点Gauss公式
I( f ) ?

?

b

f ( x ) dx ?

b?a 2

[ f (?

b?a 2 3

?

a?b 2

)? f(

b?a 2 3

?

a?b 2

)]

a

§5.2数值积分的余项
引理5. 1 (积分中值定理)若f(x), g(x)均在 [a,b]上连续且不变号,则存在??[a,b] 使
? f ( x ) g ( x ) dx ? f (? ) ? g ( x ) dx 左矩形公式余项(证明: 用Taylor公式)
a a b b

RG ( f ) ?
a

?

b a

f ( x ) d x ? f ( a )( b ? a ) ?

(b ? a ) 2

2

f ?(? )

中矩形公式余项(证明: 用Taylor公式)
RG ( f ) ?
c

?

b a

f ( x)dx ? f (

a?b 2

)( b ? a ) ?

(b ? a ) 24

3

f ??(? )

低阶情形
梯形公式余项(证明: 用积分中值定理)
RT ( f ) ?

?

b a

f ( x)dx ?

b?a 2

[ f ( a ) ? f ( b )] ? ?

(b ? a ) 12

3

f ??(? )

Simpson公式余项(证明: 用积分中值定理 +Hermite插值)
RS ( f ) ?

?

b a

f ( x)dx ?

b?a 6

[ f (a ) ? 4 f (

a?b 2

) ? f ( b )] ? ?

1 90

(

b?a 2

) f

5

(4)

(? )

一般情况
Newton-Cotes系列公式余项 (证明略)
( n ? 1) ? f (? ) b ? ?a ? ( x ) d x ( n ? 1) ! ? R( f ) ? I ( f ) ? Q( f ) ? ? (n?2) (? ) b a?b ? f (x ? )? ( x ) d x ? ( n ? 2 ) ! ?a 2 ?

( n为 奇 数 )

( n为 偶 数 )

Gauss系列公式余项
R( f ) ? I( f ) ? Q( f ) ? f
(2n?2)

(? )

( 2 n ? 2 )!

?

b

? ( x ) dx
2

a

证明:类似Simpson余项,利用2n+1次Hermite 插值余项.

§5.3 复化求积法与步长的选取
复化求积原理
I( f ) ?

?a

b

f ( x ) dx ?

? ?x
i ?1

n

xi
i ?1

f ( x ) dx

a ? x 0 ? x1 ? ? ? x n ? b

定步长梯形法
Tn ( f ) ?

h ?

b?a n

, x i ? a ? ih , i ? 0,1, ? , n

?

n

h

i ?1

n ?1 h? ? ? f ( x i ?1 ) ? f ( x i ) ? ? ? f ( a ) ? f ( b ) ? 2 ? f ( x i ) ? 2 2? i ?1 ?

I ( f ) ? Tn ( f ) ? ?

h

2

2阶收敛性
( b ? a ) f ?? (? )

12

条件: f’’(x)在[a, b]连续

定步长Simpson法
Sn ( f ) ?

h ?

b?a n

, x i ? a ? ih , i ? 0,

1 2

,1, ? , n

?

n

h

i ?1

? f (x ) ? f (x ) ? 4 f (x 1 )? i ?1 i i? 2 ? 6?

n ?1 n h? ? ? ? f ( a ) ? f (b ) ? 2 ? f ( xi ) ? 4 ? f ( xi ? 1 ) ? 2 6? i ?1 i ?1 ?

4阶收敛性

b?a h 4 I ( f ) ? Sn ( f ) ? ? ( ) f 180 2

(4)

(? )

条件: f(4)(x)在[a, b]连续
P119 例5.13(Simpson法精度高)

变步长梯形法
Tn ( f ) ?

? 2 ? f (x
i ?1

n

h

i ?1

) ? f ( xi ) ?

递推关系
xi-1 xi-1/2

T2n ( f ) ?

1 2

Tn ( f ) ?

h

? 2

n

xi

i ?1

f ( x i? 1 )
2

逐级计算而在增加新节点时, 不浪费原先的计 算量, 并且可由|T2n(f)? Tn(f)|?? 控制计算精度。

Romberg公式
Sn( f ) ?
Cn( f ) ?
Rn ( f ) ?

4 3
16 15 64
63

T2n ( f ) ?
S 2n ( f ) ?
C 2n ( f ) ?

1 3
1 15 1
63

Tn ( f )
Sn( f )
Cn( f )

由|R2n(f)? Rn(f)|?? 控制计算精度

j ?1 T i ?1

(f)? 4

4
j

j

?1

T i ?1 ( f ) ?
j

1 4
j

?1

Ti ( f )

j

j? i= 1,2,?由|Tii (f)? Ti- 1 i-1 (f)| ?? 控制计算精度.
,

自适应步长法(略)
根据被积函数的陡缓自动选择局部步长 考虑某区间[ak,bk], 记hk= bk? ak, I ?S
S1 ? hk 6 ( f (ak ) ? 4 f (ak ? 1 2 h k ) ? f ( b k ))
2

?

1 15

( S 2 ? S1 )

S2 ?

hk 12

( f (ak ) ? 4 f (ak ?

1 4

hk ) ? 2 f ( a k ?

1 2

hk ) ? 4 f ( a k ?

3 4

h k ) ? f ( b k ))

从[a, b]开始按?=|0.1(S2-S1)|? ? 检查精度?, 若满足精度则以S2为计算结果,否则分成两个 小区间各自重复逐步上述过程,每个小区间精 度用?/2。这样重复下去,直至每个分段部分 达到相应精度(步长为h=(b-a)/2k时精度?/2k) 不同段的步长可能是不一样的,积分结果为每 一小段积分的总和。

例5 .15
2.5

这里共使用了6个区间,调用函数13次,如 果用等步长Simpson法达到该精度,需要调 用函数17次。主要原因是自适应步长利用 了函数的陡缓自动选择局部步长,变化快 的地方细分,变化慢的地方粗分

2

1.5

?

5

1 ln x

d x , ? ? 0 .5 ? 1 0

?2

1 .5

1

0.5 1.5 ?

?

? 2.375 ?
? 8 8

?

? 3.25
8

?

?
4

?

?
4

? ?

5

8

§5.4 数值微分法
1 差商法 向前差商公式 向后差商公式
f ?( a ) ? f (a ? h) ? f (a ) h
f ?( a ) ? f (a ) ? f (a ? h) h

中心差商公式

f ?( a ) ?

f (a ? h) ? f (a ? h) 2h

差商公式比较

a-h

a

a+h

中心差商精度比较高

插值型求导公式
? f ?( x ) ? L n ( x )
? f ?( x i ) ? L n ( x i )
( n ? 1)

? R ( x ) ? f ?( x i ) ? L n ( x i ) ?

f

(? )

( n ? 1) !

? ?( x )

x ? xi

两点公式与三点公式
f ?( a ) ? f ?( a ) ? f (a ? h ) ? f (a ) h f (a ) ? f (a ? h) h
f ?( a ) ? f (a ? h) ? f (a ? h) 2h

? ?

h 2 h 2
?

f ?? (? ) f ?? (? )
h
2

差商公式+余项

f ??? ( ? )

6

f ?( a ) ? f ?( a ) ?

?3 f (a ) ? 4 f (a ? h) ? f (a ? 2h) 2h 3 f (a ) ? 4 f (a ? h) ? f (a ? 2h) 2h

? ?

h

2

f ??? ( ? ) f ??? (? )

3 h
2

3

习题P134
ex1, ex2 ex3, ex4 ex6, ex7 ex11, ex12


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