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江苏省历届高等数学竞赛试卷(1991-2010)


江苏省第一届(1991 年)高等数学竞赛 本科竞赛试题(有改动)
一、填空题(每小题 5 分,共 50 分)

1.函数

y ? sin x sin x

x ?
(其中

? 2 )的反函数为________________________。
n

>2.当 x ? 0 时, 3 x ? 4sin x ? sin x cos x x 与 x 为同阶无穷小,则 n ? ____________。 3.在 x ? 1 时有极大值 6,在 x ? 3 时有极小值 2 的最低幂次多项式的表达式是 _____________________________________。

p ( x) ?
4.设
?
2

d n (1 ? x m ) n m, n 是正整数,则 p(1) ? ________________。 dx n ,
2

5.

? ? [ x ? cos(x )]sin xdx ?
? 2

_______________________________。
?t 2

6. 若函数 x ? x(t ) 由

t ? ? e dt ? 0
1

x

所确定的隐函数,则

d 2x dt 2

?
t ?0



y? ?
7.已知微分方程

x y y y? ??( ) ln x x x 有特解 ,则 ? ( x) ? ________________________。

?x ? 2z ? y ? 1 绕 z 轴旋转,得到的旋转面的方程为_______________________________。 8.直线 ?
9.已知 a 为单位向量, a ? 3b 垂直于 7a ? 5b , a ? 4b 垂直于 7a ? 2b ,则向量 a 、b 的夹 角为____________。

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?? 12 lim ?? 1? 2 n ?? ? n ? ? 10.
二、 (7 分) 设数列

?? 2 2 ? ?? ?1 ? 2 ?? n

? ? n 2 ?? n ? ??? ?1 ? 2 ? ?? ? ? ? n ??

1



?an ?满足 an ? ?2,

an?1 ? an ? 2 , n ? 1

,求 n ??

lim a n



三、 (7 分)求 c 的值,使

?

b a

( x ? c) cos(x ? c) ? 0

,其中 b ? a 。

四、 (12 分)求由曲面 x ? y ? cz, x ? y ? ?a , xy ? ?b 和 z ? 0 所围区域的体积(其中
2 2 2 2 2 2

a, b, c 为正实数) 。

五、 (12 分)一点先向正东移动 a m,然后左拐弯移动

aq m(其中 0 ? q ? 1 ) ,如此不断重复

左拐弯,使得后一段移动距离为前一段的 倍,这样该点有一极限位置,试问该极限位置与 原出发点相距多少米?

q

? 六、 (12 分)已知 f ( x ) 在 [0, 2] 上二次连续可微, f (1) ? 0 ,证明
其中

2 0

1 f ( x )dx ? M 3 ,

M ? max f ??( x)
x?[ 0 , 2 ]

.

江苏省第二届(1994 年)高等数学竞赛 本科一级竞赛试题(有改动)
一、填空题(每小题 5 分,共 50 分)

1.

? ? lim ? ? 4n ? 1 4n ? 2
n ??

?

1

1

?

1 ? ?? 4n ? 2n ? ________________.

? x ? (t ? 1) cos z ?z ? ? y ? t sin z 2.设 z 是由方程组 ? 确定的隐函数,则 ?x ____________________。
f ( x) ? ( x ? 3x ? 2) cos
2 n

? x2

3.设

( n) 16 ,则 f (2) ? ________________。

4. 设四阶常系数线性齐次微分方程有一个解为

y1 ? xex cos 2x , 则通解为_______________。

x2 y 2 ? 2 ?1 2 ( A, B ? 0) 相交成的椭圆面积为____。 b 5. 平面 Ax ? By ? Cz ? 0 (C ? 0) 与柱面 a

6.已知 a, b 是非零常向量

b ?2

( a, b) ?


?

?

x?0 3, 则

l i m

a ?x b ? a x

?
___________________。

7.

?

?

2 0

1 dx ? 1 ? (cot x)3 _______________________。
2 2 2

8.椭球面 x ? 2 y ? 4 z ? 1与平面 x ? y ? z ? 7 ? 0 之间的最短距离为______________。 二、 (8 分)试比较 ? 与 e 的大小。
e

?

? 三、 (10 分)已知 a , b 满足

b a

x dx ?

1 2 2, (0 ? a ? b) ,求曲线 y ? x ? ax 与直线 y ? bx 所

围区域的面积的最大值与最小值。

四、 (10 分)设区域 D : x ? y ? t , (t ? 0) , f ( x, y) 在 D 上连续。求证:
2 2 2

lim
t ?0

1 t2

?? f ( x, y)dxdy ? f (0, 0)
D



五、 (10 分)求不定积分

? x(1 ? xe

1 ? x cos x
sin x

)

dx


? 2u ? 2u ? 2u ?6 ?4 2 ?0 2 ?x?y ?y 六、 (10 分)通过线性变换 ? ? x ? ay,? ? x ? by 将方程 ?x 化简成

? 2u ?0 ???? ,求 a , b 的值。

七、 (12 分)已知 f ( x ) 在 [0,1] 上具有二阶连续导数,且 f (0) ? f (1) ? 0, f ( x) ? 0 ,

证明:

?

1 0

f ??( x) dx ? 4max f ( x)
x?[0,1]



江苏省第三届(1996 年)高等数学竞赛 本科三级、专科竞赛试题(有改动)
一、填空题(每小题 5 分,共 40 分)

lim

1.若 a ? 0 ,

x ?0

1 t2 ? dt ? lim[sin( ? x) tan 3 x] ? ? x ? sin x?? 0 a ? t 6 x? 6
x

,则 a ? ____________.

2. 若 f ( x) ? x(2 x ? 1)(3x ? 2)??(100 x ? 99), 则 f ?(0) ? ________________.

1 1 1 a ( x ? )b 2 为等价无穷小,则 3.已知当 x 大于 2 且趋向于 2 时, ? -3arccos x 与

a ? _____________, b ? _______________.
4. ?
2 ?1

xe?| x|dx ?

___________________________.

? x ? 2 y ? 3z ? 2 ? 2 x ? y ? z ? 3 在平面 z ? 1 上的投影为直线 L ,则点 (1, 2,1) 到直线 L 的距离为 5. 直线 ?
____________.

6.设?与?均为单位向量,其夹角为 ,则以? +?? 与?? +? 为邻边的平行四边形的 6 面积为______________.

?

7.设当x ? 0时

d d 2 f (sin x) ? f (sin x), f ? (0) ? 0,则f (0) ? _______ . dx dx
3 3

8.设函数 y ? y ( x) 是由 x ? y ? 3axy ? 0 ( a ? 0 )确定,则

x ? ??

lim

y ? x



二、 (10 分)

?x x ? y ? f ( x) ? ? ? ? 0 设

,x ?0 ,x ?0

;讨论 f ( x ) 的连续性,求单调区间、极值与渐近线。

三、 (10 分)

设f(x)=x2 ( x ?1)2 ( x ? 3)2 .

(1)(本科三级考生做)试问曲线y ? f ( x)有几个拐点,证明你的结论.
(2)(专科考生做)试问f ? ( x) ? 0在区间(0,3)上有几个实根,证明你的结论.

四、 (10 分)

若f(u)是连续函数,证明? xf(sinx)dx=
0

?

?

2?

?

0

f (sin x)dx, 并求?

?

0

x sin x dx. 3sin x ? 4 cos 2 x
2

五、 (10 分)

设f ( x)在区间[0,1]上可积,当0 ? x<y ? 1时, |f(x)-f(y)| ? |arctanx-arctany|,又f(1)=0, 1 1 求证: |? f ( x)dx |? ln 2. 0 2

六、(10 分)

? x? y ?0 ?x ? 3 y ? 1 ? 0 L1 : ? L2 : ? ?x ? y ? z ? 4 ? 0 、 ? y ? z ? 2 ? 0 相交的直线方 求过点 (11, 9, 0) ,而与两直线
程。

七、 (10 分) 设 f (t ) 连续函数,求证

?? f ( x ? y)dxdy ? ?
D

A ?A

f (t )( A ? t )dt, D : x ?

A A ,y? 2 2。

江苏省第四届(2002 年)高等数学竞赛 本科三级、专科竞赛试题(有改动)
一、填空题(每小题 5 分,共 40 分)

lim
1.
x ?0

1? x ? 1? x ? 2 1 ? x2

? ____________

2. 函数 f(x)=

?x

2

? 3x ? 2 ? x 2 ? x

的不可导点的个数为___________.

? 1 ? x2 , x ? 0 ? ? 1 3 ,x 0 ? 2 f ( x ? 2)dx 3.设 f(x)= ? 1 ? x ,则 ?1 =_______________.

dy 4.(本三考生做)设变量 x,y,t 满足 y=f(x,t)及 F(x,y,t)=0,函数 f,F 的一阶偏导数连续,则 dx
=_______________.

1 1 f ( xt ) dt ? ________ x ? 0 x ?0 (专科考生做)设 f(x)的导数连续,且 f(0)=0,则 lim

? 2x ? z ? 1 ? l x ? y ? 3z ? 5 和 5 (本三考生做)已知直线 l 过点 M ( 1 , -1 , 0 )且与两条直线 1 : ?
? x ? ?2 ? t , ? l2 : ? y ? 1 ? 4t , ? z ?3 ?
6.

垂直,则 l 的参数方程为_______________________.

? ln x dx ? _____________________.
f ( x) ? lim x 2 n?1 ? ax2 ? bx x 2n ? 1
n ??

(n ? N )

7. 设

, 极限 x?1

lim f ( x) 与 lim f ( x)
x??1

都存在.,则

a ? ______________________、 b ? ___________________________.
? ? 8. 设 f ( x) 为偶函数, g ( x) 为奇函数,且 f (a) ? 2, g (a) ? 3 (a ? 0) ,那么 f ?(?a) ? g ?(?a) ?


二、 (9 分)求 n??

lim sin(? n2 ? n )
.

? x 三、 (9 分) ? 为正常数,使得不等式 x ? e 对任意正数 x 成立,求 ? 的最大值.

四、设函数 f (x)在[a,b]上二阶可导,对于[a,b]内每一点 x, f ( x) f ( x) ? 0 ,且在[a,b]的子区
''

间上 f ( x ) 不恒等于零.试证 f ( x ) 在[a,b]中至多有一个零点.

x?x 五、 (9 分)设连续函数 f ( x ) 满足 f ( x ) =

2

?

1

0

f ( x)dx ? x3 ? f ( x)dx, 求f ( x).
0

2

1 x f ( x)dx x ? ?? x ? 0 f ( x ) ? x ? [ x ] [ x ] x 六、 (9 分)设 ( 表示不超过 的最大整数) ,求极限 。 lim

七 、( 9

分 ) 有 一 形 状 为 直 角 三 角 形 的 薄 铜 片 , 其 密 度

f ( x, y) ? k (1 ? x ? 2 y), x ? 0, y ? 0,1 ? x ? 2 y ? 0, k为常数.今 从中截取一矩形铜片(该
矩形两条邻边位于三角形的两条直角边上) 使其质量最大, 求该矩形铜片质量与原直角三角 形铜片质量之比。

八、 (6 分)地面虽然不太平坦,但请证明一张小方凳经过适当旋转总可以放平稳.这里假设 小方凳四条腿的端点 A,B,C,D 为正方形四个顶点。

江苏省第五届(2000 年)高等数学竞赛 本科三级、民办本科竞赛试题(有改动)
一、填空题(每小题 3 分,共 15 分)

d 1 [ f ( x3 )] ? ,则f ?( x) ? ______________ . x 1. 已知 dx lim (tan x) ln x ? ______________ . ?
1 x2 ?1 dx ? _______________ .
1

2.

x ?0

3.

?x

4. 设 z ? z ( x, y ) 由方程 F ?x ? y, y ? z, z ? x ? ? 0 所确定, F 为可微函数,则

?z ?z ? ? ?x ?y



5.

?

?a

?a

[ f ( x) ? f (? x)]sin xdx ? ________________ .

二、选择题(每小题 3 分,共 15 分)

f ( x) ?
1.函数 A、 x ? 0,1

e2 x ? 1 x( x ? 1) 的可去间断点为(
C、 x ? 0
1? y y ?1

) D、无可去间断点

B、 x ? 1

2. 改变积分次序 A、

?

1

0

dy ? 2 f ( x, y)dx ?

(

) B、 ?1

?

1

?1 1

dx?

1? x

? 1? x 1? x

f ( x, y)dy f ( x, y)dy

?

0

dx ?

1? x

0 1? x 1? x

f ( x, y)dy ? ? dx?
0

1

1? x

0

f ( x, y)dy

? dx? C、
0

? 1? x

? D、

1

?1

dx ?

f ( x, y)dy
)

F ( x) ? f ( x)(1 ? sin x ) 3.设 f ( x ) 可导, ,欲使 F ( x) 在 x ? 0 处可导,则必有(
A、 f ?(0) ? 0 C、 f (0) ? f ?(0) ? 0 B、 f (0) ? 0 D、 f (0) ? f ?(0) ? 0

?f 4.若 ?x

( x0 , y0 )

,

?f ?y

( x0 , y0 )

?x , y ? 都存在,则 f ( x, y) 在 0 0 是(

)

A、连续且可微 C、可微但不一定连续

B、连续但不一定可微 D、不一定可微也不一定连续
2

?1 ? , ?1? ? ? 处取( 5. f ( x, y) ? e ( x ? y ? 2 y) 在点 ? 2
2x

)

e A、极大值 2 ?
C、不取得极值

e B、极小值 2 ?
D、极小值 e

lim
x ?0

ln(1 ? x) ? (ax ? bx 2 )

三、 (8 分)设

?

x

2

0

et dt

2

??

??

e

dx x(ln x)2

,求常数 a , b 。

四、 (6 分)设 z ? (1 ? xy) ,求 dz (1,1) 。
y

a, b 五、 (6 分)设 f ( x), g ( x) 在 上连续,在 ( a, b) 内可导,且对于 ( a, b) 内的一切 x 均有
f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ? 0 ,证明:若 f ( x) 在 ( a, b) 内有两个零点,则介于这两个零点之
间, g ( x) 至少有一个零点。

?

?

六、 (6 分)计算二重积分

?? |y ? x
D

2

| dxdy
,其中积分区域

D : x ? 1,0 ? y ? 2.

七、 ( 8 分)过抛物线 y ? x 上一点 (a , a ) 作切线,问 a 为何值时所作切线与抛物线
2 2

y ? ? x2 ? 4 x ? 1所围成的图面积最小?

八、 (6 分)当 x ? 0 时,

F ( x) ? ? ( x2 ? t 2 ) f ?(t )dt
0

x

2 ? 的导数与 x 为等价无穷小,求 f (0) 。

九、 (8 分)计算

?

?? 0 2

1 (1 ? x )(1 ? x 2 )

dx


?y ? x ? 3 ? y ? 2x ? ? z ? x ? 1 和 ?z ? x 十、 (8 分)求两直线 ? 之间的最短的距离。

x5 ? x ? 8 dx 十一、 (6 分)求 x ? 1 。

十二、 (8 分)设 f ( x ) 在 (??, ??) 上连续,且满足

f (t ) ? 2

x 2 ? y 2 ?t 2

??

( x 2 ? y 2 ) f ( x 2 ? y 2 )dxdy ? t 4
,求 f ( x ) 。

江苏省第六届(2002 年)高等数学竞赛 本科三级,民办本科竞赛试题
一、填空题(每小题 5 分,共 40 分)

1.设 lim

ex ? e x ?0 xk

x

? c(c ? 0),则k ? _____, c ? ____ .

2.设f(x)在[1,+?)上可导,下列结论中成立的是______. A. 若 lim f ? ( x) ? 0, 则f(x)在[1,+?)上有界
x ?+ ?

B. 若 lim f ? ( x) ? 0, 则f(x)在[1,+?)上无界
x ?+ ?

C. 若 lim f ? ( x)=1, 则f(x)在[1,+?)上无界
x ?+ ?

3.设由e? y ? x( y ? x) ? 1 ? x确定y=y(x),则y? (0) ? _______.
4.? (arcsin x ? arccos x) dx ? ____________ .

5.?

??

4

1 dx ? ________________ . x(1 ? x)

y ?2z 6.z ? f ( ) ? g (e x ,sin y), f 的二阶导数连续,g的二阶偏导数连续,则 ? ______________ . x ?x?y
7.交换积分次序? dx ? 2 f ( x, y)dy ? ____________ .
0 x 1 3? x

8.函数f(x,y)=2x-y+1满足方程x2 ? y 2 ? 5的条件极大值为____,条件极小值为____.
二、 (8 分)

+?)上连续且单调减少, 0 ? a ? b ,证明: a ?a f ( x)dx ? b?0 f ( x)dx. 设 f ( x ) 在[0,

b

a

三、 (9 分)

设f(x)=kx+sinx. (1)若k ? 1,求证:f(x)在(-?, +?)上恰有一个零点; (2)若0<k<1,且f(x)在(-?, +?)上恰有一个零点,求常数k的取值范围.

四、 (8 分)

求? 2 e x
0

?

1 ? sin x dx. 1 ? cos x

五、 (9 分)



1 ? , ( x, y ) ? (0, 0) ? y arctan 2 f ( x, y ) ? ? x ? y2 ? 0 , ( x, y ) ? (0, 0) ?

,试讨论 f ( x, y) 在点 (0, 0) 处的连续性、

可偏导性与可微性。

六、 (8 分)

设z ? f ( x, y), x ? ?(y),f 的二阶偏导数连续,?可导,?(y ? ? ?? 求全导数

d 2z . dx 2

七、 (9 分)

设f (u)在u=0可导,f (0)=0,D:x 2 ? y 2 ? 2tx, y ? 0, 求 lim

1 t ?0 ? t 4

?? f (
D

x 2 ? y 2 ) ydxdy


八、 (9 分)

求?? |sin( x ? y) | dxdy, D : x ? 0, y ? 0, x ? y ?
D

?
2

.

江苏省第七届(2004 年)高等数学竞赛 本科三级、民办本科竞赛试题
一、
填空题(每小题 5 分,共 40 分)

4.

lim ? ?
n ??

?

1

2 ? n ?4

?

1 n 2 ? 16
x2

???

? ?? ? n 2 ? 4n 2 ? ________________. 1

2.

lim
x ??

1? ? ? x arctan ? x ? ________________. ?

k 3. 若 x ? 0 时, x ? sin x cos x cos 2 x 与 cx 为等价无穷小,则 c ? ________________.

4. f ?x? ? x ln?1 ? x? ,则 n ? 4 时, f
4

?n ?

?0? ? ________________.

z ? arctan
5. 设函数

x y ,则 dz?1,?1? ? ________________.
dx ?
________________ .

6. 7.

? ?cos x ? x sin x ?
a ?a

x ? sin x cos x

2

? ? f ?? x? ? f ?x??sin xdx ? ________________.

?x 0 ? x ? 1 f ?x ? ? ? f ? y ? f ?x ? y ?dxdy ? ?? 0 其他 ? ? ? y ? ?? ? ? ? ? x ? ?? , 8. 设 D: , 则D
________________.

二、 (10 分)设 f ?x ? 在 ?a, b? 连续,在 ?a, b ? 可导;
'

f ?a ? ? a, ? f ? x ?dx ?
b a

1 2 b ? a2 2 ,求

?

?

证:在 ?a, b ? 内至少存在一点 u ,使得 f ?u ? ? f ?u ? ? u ? 1。

2 2 y ? x 上任意取点 P , 三、 (10 分) 设 D : y ? x ? 4, y ? x, x ? y ? 2, x ? y ? 4. 在 D 的边界

设 P 到原点的距离为 t ,作 PQ 垂直于 求:1)将 P, Q 的距离

y ? x 交 D 的边界 y 2 ? x 2 ? 4 于 Q 。 y ? x 旋转一周所得立体的体积。

PQ

用 t 表示;2)将 D 绕

四、 (10 分)设 f ?x ? 在 ?? ?,??? 上有定义, f ?x ? 在 x ? 0 处连续,且对一切实数 x1 , x 2 有

f ?x1 ? x2 ? ? f ?x1 ? ? f ?x2 ? ,求证: f ?x ? 在 ?? ?,??? 上处处连续。

五、 (10 分)设 k 为常数,方程

kx ?

1 ?1 ? 0 x 在 ?0,??? 上恰有一根,求 k 的取值范围。

f ?1,2? ? 2, f y ?1,2? ? 3, 六、 (10 分)设 f ? x, y ? 可微, f ?1,2? ? 1, x

? ?x? ? f ? f ?x,2 x?,2 f ?x,2 x?? ;求 ? ' ?1?

七、 (10 分)求

?

2?

0

d? ?? ?? 2 ? 1?e ? d?
?
2

2

江苏省第八届(2006 年)高等数学竞赛 本科三级、民办本科竞赛试题
二、
填空题(每小题 5 分,共 40 分)

1.

lim
n ??
x ?0

? 12 22 n2 ? ? ? n 3 ? 12 ? n 3 ? 2 2 ? ? ? n 3 ? n 2 ? ?? ? ? ________________.
x 0

2.

lim ?
x???

1 ?t 2 e ? 1 dt ? x3 ________________.

?

?

lim ? 3. 若

x 2 ? 3x ? 2 ? ax ? b ? 0
2

?

, 则 a ? ________________;b ? ________________.

4. f ?x? ? 1 ? x ? x e

?

?

sin x

,则 f

"

?0? ? ________________.

y? z 5. 设函数由 x ? ze 确定,则 dz?e,0? ? ________________.

6. 函数 f ?x, y ? ? e 其极大值。

?x

?ax ? b ? y ? 中常数 a, b 满足条件________________时, f ?? 1,0? 为
2

7. 交换二次积分的次序

?

2

1

dx?1
x

e x ? e ?1

f ?x, y ?dy ?
________________.

2 2 8. 设 D: 2x ? x ? y , 0 ? y ? x ? 2 ,则

??
D

1 x2 ? y2

dxdy ?
________________.

?ax2 ? b sin x ? c, x ? 0 f ?x ? ? ? x ? 0 问: a, b, c 为何值时,函数在 x ? 0 处一阶 ? ln?1 ? x ?, 二、 (8 分)设
导数连续,但二阶导数不存在?

三、 (9 分)过点 ?1,5? 作曲线 ? : y ? x 的切线 L 。
3

求:1) L 的方程;2) ? 与 L 所围平面图形 D 的面积;3)D 的 x ? 0 部分绕 x 轴 旋转一周所得立体的体积。

f ?x ? ? f ' ?x ? ? 1 ? ? ? ? ? ? f x 0 , ?? f 0 ? 0 四、 (8 分)设 在区间 上有连续的导数, , ;
证明:

f ?x ? ? e x ? 1

, x ? ?0,???

? 五、 (8 分)求 ?1 ? x ?
0

1

arctanx
2

dx

2 六、 (9 分)设圆柱面 x ? y ? 1, ?z ? 0? 被柱面 z ? x ? 2 x ? 2 ,及平面 z ? 0 截下的部分

2

2

为 ? 。为计算 ? 的面积,用铁片制作了 ? 的模型, A?1,0,5?, B?? 1,0,1?, C ?? 1,0,0? 为 ? 上的 三点, 现将 ? 沿线段 BC 剪开并展开为平面图形 D 。 建立平面直角坐标系, 使得 D 位于 x 轴 的正上方,且点 A?1,0,5? 的坐标为 ?0,5? 。求:1) D 的边界方程;

2)求 D 的面积。

2 2 七、 (9 分)用拉格朗日乘数法求函数 f ?x, y ? ? x ? 2 xy ? 2 y 在区域 x ? 2 y ? 4 上的

2

2

最大值与最小值。

八、 (9 分)设 D 为

y ? x; x ?

?
2

;y ?0
所围的平面图形,求

?? cos?x ? y? dxdy
D



江苏省第九届(2008 年)高等数学竞赛 本科三级竞赛试题
三、
填空题(每小题 5 分,共 40 分) 1、若

lim
x ??
n

ax ? 2 x bx ? x
1

arctan x ? ?

?
2
,则 a ? ________________; b ? ________________.

2、

lim ? k ?k ? 3? ?
n ?? k ?1

________________.

' 3、 f ?x ? ? x?x ? 1??x ? 2???x ? 100? ,则 f ?100? ? ________________.

4、常数 a ? ______, b ? ______时, 的阶数最高.

f ? x ? ? ax ? x 2 ?

x 1 ? bx 在 x ? 0 时,关于 x 的无穷小

5、

?

?

2 0

sin 2 x ? cos 3 xdx ?

________________.

? ?1 ? x ? 6、
1

?

x2

2 2

dx ?
________________.
n

z?
7、设

? z x ?2,1? ? x ? y ,则 ?y n ________________.

8、 设 D:由 y ? x, x ? 0 , y ? 1 所围,则

?? arctanydxdy ?
D

________________.

二、 (8 分)设数列

?xn ? 为: x1 ? 1, xn?1 ?

6 ? xn

;求证:数列

?xn ? 收敛,并求极限。

f ?x ?dx ? 0 三、 (8 分)设 f ?x ? 在区间 ?a, b? 上连续, ?a .
b

f ?x ?dx ? ?f ?? ? 证明:存在 ? ? ?a, b ?,使得 ?a 。

?

四、 (8 分)将

xoy 平面上的曲线 ?x ? b?2 ? y 2 ? a 2 , ?0 ? a ? b? 绕直线 x ? 3b

旋转一周所得立体的体积。

? 2 x2 y ? x ? y2 ? 4 f ?x, y ? ? ? x ? y2 ? 0 ? 五、 (8 分)设
续性,可偏导性,可微性。

?x, y ? ? ?0,0? ?x, y ? ? ?0,0? 讨论 f ?x, y ? 在 ?0,0? 处的连

xoy 面上的投影曲 六、 (10 分)已知曲面 4 x ? 4 y ? z ? 1与平面 z ? x ? y ? 0 的交线在
2 2 2

线为一椭圆,求该椭圆的面积.

? x ? 2 y ? 2z ? 1 ? 3x ? y ? 4 z ? 3 七、 (8 分) 在平面 ? :x ? 2 y ? z ? 20 内作直线 ? , 使 ? 过另一直线 L :?
与平面 ? 的交点,且 ? 垂直于 L .求直线 ? 的参数方程.

八、 (10 分)设 D 为 x ? y ? 2 x, 0 ? y ? x ,求
2 2

??
D

x 2 ? y 2 ? 1 dxdy


江苏省第十届(2010 年)高等数学竞赛 本科三级,民办本科竞赛试题
考试时间:2010 年 6 月 5 日 上午 8:30—11:30

一、 填空题(每小题 4 分,共 32 分)

lim
1、 极限
x ?0

sin x ? sin(sin x) ? (sin x)3 _____________________________.
2 x

? 2、 已知 y ? arctan( x ) ? e tan x ,则 y ? __________________.

dy ? 3、 设由 x ? y 确定 y ? y ( x) ,则 dx ________________________.
y x

4、 设 y ? cos x ,则 y
2

( n)

? _______________________________.

? 5、 不定积分
6、 积分

1? x x e dx ? x2 ________________________________.

?

1

0

x ? arctan( x 2 ) dx ? 1 ? x4 ______________________________.

2 x ? 2 y ? z ? 2 ?0 ? ? ? 2 2 2 ? x ? y ? z ?4x ?2 y ? 2z ?19 的面积为________________. 7、 圆 ?
x z ? f (2 x ? y, ) y , f 可微且 8、 已知

f

?
1

(3, 2) ? 2,

f

?
2

(3, 2) ? 3, dz |(2,1) ?

_____________.

2 ax 二、 (10 分)设 a 为正常数,使得 x ? e 对一切正数 x 成立,求常数 a 的最小值。

f ( x)dx ? ? xf ( x)dx 0 三、 (10 分)设 f ( x ) 在 [0,1] 上连续,且 ?0 ;
求证:存在 ? ? (0,1), 使得

1

1

?

?

a

f ( x)dx ? 0。

四、 (12 分)过原点 (0, 0) 作曲线 y ? ? ln x 的切线。求该切线、曲线 y ? ? ln x 与 x 轴所围 成的图形绕 x 轴旋转一周所得的旋转体的体积。

五、 (12 分)

2,E为C1D1的中点,F为侧面 B1BCC1的中心, 已知 正方体ABCD ? A1B1C1D1边长为
(1)试求过点

A1 , E, F 的平面与底面 ABCD 所成的二面角的值; A1 , E, F 的平面的距离。

(2)试求点 D 到过点

六、 (12 分) 已知 ABCD 为等腰梯形, BC / / AD ,其中 AB+BC+CD=8,求 AB, BC , AD 的长,使该梯形 绕 AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。

七、 (12 分)

求二重积分

?? (cos
D

2

x ? sin 2 y)dxdy,

其中 D : x ? y ? 1, x ? 0, y ? 0。
2 2


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