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2.1.2指数函数的概念 - 副本


2.1.2指数函数及其性质
重点:指数函数的图像和性质

导入新课
问题1 某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4 个,…,一个这样的细胞分裂x次以后,得到的细胞个数y与x 有怎样的关系?

第1次: 2个 第2次:4个

2

2

1
2



………… ……

第3次:8个

23
x

第x次:

y?2

导入新课
问题2 一种放射性物质不断衰减为其它物质,每经 过一年剩留量约为原来的84%,则这种物质经过x年后的 剩留量是多少?
分析:

设该物质经过x年后的剩留量为y 若设该物质原有量为1 则经过一年剩留量为: y ? 1? 0.84% 2 经过二年剩留量为: y ? 1? 0.84% ? 0.84% ? 0.84 经过三年剩留量为: y ? 1? 0.84% ? 0.84% ? 0.84% ? 0.843 …… 即经过x年后的剩留量是 y ? 0.84x

问题探究
y?2
x
x

y ? 0.84

思考:(1)它们是否构成函数?
(2)这两个解析式有什么共同特征? 分析: 对于这两个关系式,每给自变量x的一个 值,y都有唯一确定的值和它对应。

两个解析式都具有 y ? a 的形式,其中自变量x是 指数,底数a是一个大于0且不等于1的变量。
x

讲授新课
1. 指数函数的定义
x

定义:形如y ? a (a ? 0且a ? 1)的函数称为指数函数; 其中x是自变量,函数的定义域为R.

讲授新课
1. 指数函数的定义

系数为1
y=1 ·a
x

讲授新课
1. 指数函数的定义

系数为1
y=1 ·a
x

自变量

讲授新课
1. 指数函数的定义

系数为1
y=1 ·a
x

自变量

常数(a>0且a≠1)

探究:为什么要规定

y ? a (a ? 0且a ? 1)
x
x

探讨:若不满足上述条件 y ? a 会怎么样? x (1)若 a ? 0 则当x > 0时, a ?0 当x≤0时, a 无意义.
(2)若
x

a?0

1 x 1 1 如 ( ? ) ,这时对于 x ? , x ? ……等等, 2 2 4

则对于x的某些数值,可使 a 无意义.

x

在实数范围内函数值不存在.

(3)若

a ? 1 则对于任何 x ? R x a ? 1 是一个常量,没有研究的必要性

练习
判断下列哪些函数是指数函数.
(1)y ? x , x ? R
2

(×) (× ) (× )

(2)y ? 2 ? 4 x , x ? R (3)y ? (?4) x ,x ? R
x

1 (4)y ? (2a ? 1) (a ? , a ? 1), x ? R (√ ) 2 (5)y ? ? x , x ? R (√ ) (6)y ? 42 x , x ? R (√ )

在同一坐标系中分别作出如下函数的图像:

y?2
x …

x


-3

1 x y?( ) 2
-2 -1 0.5 -0.5 0.71 0 1

y?2
0.5 1.4

?x

1 2

2 4

3 8

… …

2x 2
?x

… 0.13 0.25



8

4

2

1.4

1

0.7 1

0.5 0.25 0.13 …

y

x … -3 -2

y=2x … 0.13 0.25

x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …

y=(1/2)x … 8.00 4.00 2.00

8

-1
0 1 2 3 …

0.50
1.00 2.00 4.00 8.00 …

1 x y?( ) 1.00 2 0.50
0.25 0.13 … -3 -2 -1 1

4

y?2
x 1 2 3

x

2

在同一坐标系中分别作出如下函数的图像:

y?2
x … -3

x



1 x y?( ) 2
-0.5
0.71 1.4

y?2
0.5
1.4 0.7 1

?x
3
8

-2

-1
0.5 2

0
1 1

1
2

2
4




2x 2
?x

… 0.13 0.25 … 8 4

0.5 0.25 0.13 …

y ?3
x … … … -2.5 0.06 15.6

x


-2 0.1 9

1 x y?( ) 3
-1 0.3 3 -0.5 0.6 1.7 0 1 1 0.5 1.7 0.6

y ?3
1 3 2 9

?x

2.5 … 15.6 …

3x 3? x

0.3 0.1 0.06 …

1 x y?( ) 10 1 x y?( ) 3 1 x y?( ) 2

y 8

y ? 10
y ?3
x

x

7
6

5
4 3 2 1

y?2

x

y ? 10

x

-4

-3 -2

-1 0

x 1 2 3 4

a ?1

y 8

y ? 10
y ?3
x

x

7
定义域: R 值域:(0, ??) 恒过点: (0,1) 即x= 0 时, y= 1 在R上是增 函数 -4 -3 -2 -1 0 6

5
4 3 2 1

y?2

x

x 1 2 3 4

1 x y?( ) 10 1 x y?( ) 3 1 x y?( ) 2

y 8

0 ? a ?1
定义域: R 值域: (0, ??)

7
6

5
4 3 2 1

(0,1) 恒过点: 即x= 0 时, y= 1
在R上是减 函数 x 1 2 3 4

-4

-3 -2

-1 0

归纳
函数 y=ax (a>1) y=ax (0<a<1)

图 指 数 象 函 定义域 数 R 性 (0,? ?) 没有最值 值 域 质 没有奇偶性 定 点 ( 0, 1 ) 一 性 在R上是增函数 在R上是减函数 览 质 表 单调性 若x>0, 则y>1 若x>0, 则0<y<1 若x<0, 则0<y<1 若x<0, 则y>1

口诀

左右无限上冲天,
永与横轴不沾边. 大 1 增,小 1 减,

图象恒过(0,1)点.

1 . 已知函数f ? x ? ? a (a ? 0, 且a ? 1)的
x

图像经过点( 3 , ? ) , 求f ? 0 ? , f ? 1? , f ? ?3 ? 的值.

例2、指数函数

y ?a ,y ?b ,y ?c ,y ?d
x x x

x

的图象如下图所示,则底数
y

a, b, c, d

与正整数 1

共五个数,从大到小的顺序是 :

0 ? b ? a ?1? d ? c

.

y ? bx y?a
x
1

y?c y?d
x

x

x 0

例3 、比较下列各题中两个值的大小: (1)

1.7

2.5

, 1.7

3

解 :利用指数函数单调性

1.7

2.5

1.7 ,
x

3

的底数是1.7,它们可以看成函数 y ? 1.7
y

当x=2.5和3时的函数值;
因为1.7>1,所以函数 y ? 1.7
x

在R上是增函数,而2.5<3,
所以,

1

1.7

2.5

? 1.7

3
x 0

(2)

0.8

?0.1

, 0.8

?0.2

解:利用指数函数单调性

0.8

?0.1

,0.8

?0.2

x 的底数是0.8,它们可以看成函数 y ? 0.8

当x=-0.1和-0.2时的函数值;
x y ? 1.7 因为0<0.8<1,所以函数

y

在R上是增函数,而-0.2<-0.1, 所以, ?0.1 ?0.2

1 x

0.8

? 0.8

0

(3)

1.7 ,0.9

0.3

3.1

解: ∵1.70.3>1,而0.93.1<1

?1.7

0.3

? 0.9

3.1

比较指数幂大小的方法:
①同底异指:构造函数法(一个), 利用函数的单 调性,若底数是参变量要注意分类讨论。 ②异底同指:构造函数法(多个),利用函数图象在 y轴左右两侧的特点。 ③异底异指:寻求中间量

迁移变式 3 已知

=3, 求

的值.


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