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21.3.4二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质


21.3.4

2 二次函数y=ax +bx+c

图象和性质

一般地,抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2 的 形状 相同, 位置 不同. 上加下减 y=ax 左加右减
2

y=a(x-h) +k

2

抛物线y=a(x-h)2+k有如

下特点:
1.当a﹥0时,开口

向上 当a﹤0时,开口 向下
; 。

, ,

2.对称轴是 直线X=h
3.顶点坐标是 (h ,k)

二次函数
y=2(x+3)2+5 y = -3x(x-1)2 -2

开口方向

对称轴

顶点坐标
(-3,5) (1,-2)

向上 直线x=–3

向下 直线x=1
向下 直线x=2

y = 4(x-3)2 +7
y = -5(2-x)2 - 6

向上 直线x=3 (3,7 )
(2,-6)

1 2 如何画出 y ? x ? 6 x ? 21的图象呢? 2

我们知道,像y=a(x-h)2+k这样的函数,

容易确定相应抛物线的顶点为(h,k), 二次函 1 2 数 y ? x ? 6 x ? 21也能化成这样的形式吗? 2

函数y=ax?+bx+c的图象
1 2 怎样把函数 y ? x ? 6 x ? 21 转化成 2

y=a(x-h)2+k的形式? 用配方法。

1 2 y ? x ? 6 x ? 21 2

你知道是怎样配 方的吗?

配 方

(1)―提”:提出二次项系数; (2)“配”:括号内配成完全平方; (3)“化”:化成顶点式。

2 1 y= — (x―6) +3 2

老师提示:

配方后的表达 式通常称为配 方式或顶点式

1 二次函数 y= —x2-6x +21图象的画法:
2 (1)“化” :化成顶点式 ;

(2)“定”:确定开口方向、对称轴、顶 点坐标; (3)“画”:列表、描点、连线。

x
1 y ? ( x ? 6) 2 ? 3 2



3

4
5

5
3.5

6
3

7
3.5

8
5

9
7.5

… …

… 7.5

y
10

5

O

5

10

x

2 b 4 ac ? b ? ? 公式为:y ? a ? x ? ? ? . 2a ? 4a ?

2

函数y=ax?+bx+c的顶点是
求次函数y=ax? +bx+c的对称轴和顶点坐标.

?配方:

y ? ax2 ? bx ? c
c? ? 2 b ? a? x ? x ? ? a c? ? 2
提取二次项系数

这个结果通常 称为求顶点坐 标公式.

? 2 b ? b ? ? b ? 2 c ?配方:加上再 ? a? x ? x ? ? ? ? ? ? ? ?减去一次项系 ? ?数绝对值一半 a 2 a 2 a a ? ? ? ? ? ? 的平方 2 2? ?? b ? 4ac ? b ? a ?? x ? ? ? ? 整理:前三项化为平方形 2 2a ? 4a ? ? ?? ? 式,后两项合并同类项
b ? 4ac ? b2 ? ? a? x ? ? ? . 化简:去掉中括号 2a ? 4a ?
2

函数y=ax?+bx+c的对称轴、顶 点坐标是什么? b 2 y ? ax ? bx ? c的对称轴是:x ? ? 2a 2 b 4ac ? b 顶点坐标是:(? , ) 2a 4a
1. 说出下列函数的开口方向、对称轴、顶 点坐标:

y ? 3x ? 4 x ?1 y ? ?2 x ? x ? 3
2 2

2. 抛物线y = 2x + bx + c的顶点坐标

2

为( - 1,2) ,则b = ______,c = ______ .

例1:指出抛物线: y ? ? x ? 5x ? 4 的开口方向,求出它的对称轴、顶点坐 标、与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐 标。并画出草图。
2

对于y=ax2+bx+c我们可以确定它的开口 ∵a=-1<0, ∴开口向下,顶点坐标(2.5, 方向,求出它的对称轴、顶点坐标、与 y 9/4),与y轴交点坐标为 轴的交点坐标、与x轴的交点坐标(有交 (0,- 4),与x轴交点为(1,0)、(4,0), 点时),这样就可以画出它的大致图象。

方法归纳
1

配方法

2

公式法

求下列二次函数图像的开口、顶点、对称轴
1 2

①y=2x2-5x+3②y=-
请画出草图:

x2+4x-9 ③y=(x-3)(x+2)

3

-9

-6

抛物线位置与系数a,b,c的关系:

⑴a决定抛物线的开口方向: a>0 开口向上 a<0 开口向下 ⑵ a,b决定抛物线对称轴的位置: b (对称轴是直线x = -— 2a ) ① a,b同号<=> 对称轴在y轴左侧; ② b=0 <=> 对称轴是y轴; ③ a,b异号<=> 对称轴在y轴右侧

【左同右异】

⑶ c决定抛物线与y轴交点的位置: ① c>0 <=>图象与y轴交点在x轴上方; ② c=0 <=>图象过原点; ③ c<0 <=>图象与y轴交点在x轴下方。 2 b 4 ac ? b ⑷顶点坐标是( ? , )。 2a 4a (5)二次函数有最大或最小值由a决定。 b

当x=- — 2a 时,y有最大(最小)值
2 4ac-b

y=

______________________

4a

例2、已知函数y = ax2 +bx +c的图象如 下图所示,x= 1 为该图象的对称轴,根
3

据图象信息你能得到关于系数 a,b,c的 一些什么结论? y
=

-1

.

1 3 .

1

x

1 例2、已知函数y = ax2 +bx +c的图象如下图所示,x= 为该图象的 3 对称轴,根据图象信息你能得到关于系数a,b,c的一些什么结论?

b ( 9 )由 得2a=-3b而a>0 解:(1)顶点在第四象限 故b<O 2ab (2)与x轴有两个交点 (10)由a>O,b<O, (3)与y轴交于负半轴 y >O c<0得abc (4)-1<c<0 1 (5)当x< 时,y随x的增大而减小
3 (6)当x> 1 时, 3 .

y随x的增大而增大

-1

1 3 .

1

x

( 7) a> O (11)当x=-1时y>0且a-b+c>0 (8)抛物线开口向上 (12)当x=l时,y=0即a+b+c=0

1.抛物线y=2x2+8x-11的顶点在 (C ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.不论k 取任何实数,抛物线y=a(x+k)2+k(a≠0) 的顶点都在 (B) A.直线y = x上 B.直线y = - x上 C.x轴上 D.y轴上 3.若二次函数y=ax2 + 4x+a-1的最小值是2,则a的 值是 (A ) ? A 4 B. -1 C. 3 D.4或-1

4.若二次函数 y=ax2 + b x + c 的图象如下,与x 轴的一个交点为(1,0),则下列各式中不成立 y 的是 (B) b 2 A.b -4ac>0 B. 2a <0 -1 1 o x 4ac-b2 C.a+b+c=0 D. 4a >0 5.若把抛物线y = x2 - 2x+1向右平移2个单位,再向 下平移3个单位,得抛物线y=x2+bx+c,则( B ) A.b=2 c= 6 B.b=-6 , c=6 C.b=-8 c= 6 D.b=-8 , c=18

6.若一次函数 y=ax+b 的图象经过第二、三、四 2+bx-3 的大致图象是 象限,则二次函数 y=ax y y y y (C )
o

A 7.在同一直角坐标系中,二次函数 y=ax2+bx+c 与 一次函数y=ax+c的大致图象可能是 ( C)
y y y y o x o x o x o x

-3

x

o -3 B

x

o -3 C

x

o -3 D

x

A

B

C

D

二次本节课我们学习了哪些知识? 函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
1.顶点坐标与对称轴

2.位置与开口方向
3.增减性与最值 根据图形填表: 抛物线

y=ax2+bx+c(a>0)
? b 4ac ? b 2 ? ? ? ? 2a , 4a ? ? ? ? b 直线 x ? ? 2a

y=ax2+bx+c(a<0)
? b 4ac ? b 2 ? ? ? ? 2a , 4a ? ? ? b? 直线 x ? ? 2a

顶点坐标
对称轴 位置 开口方向

由a,b和c的符号确定

由a,b和c的符号确定

向上
b 4ac ? b 2 当x ? ? 时, 最小值为 2a 4a

向下
b 4ac ? b 2 当x ? ? 时, 最大值为 2a 4a

增减性

在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.

最值 你还有哪些困惑?

1.用配方法求二次函数 2 y=-2x -4x+1的顶点坐标. 2.用两种方法求二次函数 y=3x2+2x的顶点坐标.

(五)、学习回顾:
填写表格:
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标

y=ax2(a>0)
y=ax2+k(a>0)

y=a(x-h)2(a>0)
y=a(x-h)2 +k(a>0)

y= ax2 +bx+c(a>0)

小结

拓展

回味无穷

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与=ax? 的关系
?1.相同点: ?(1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同). ?(2)都是轴对称图形. ?(3)都有最(大或小)值. (4)a>0时, 开口向上, 在对称轴左侧,y都随x的增大而减小, 在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大. a<0时,开口向下, 在对称轴左侧,y都随x的增大而增大, 在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .

驶向胜利 的彼岸

小结

拓展

回味无穷

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与=ax? 的关系
2.不同点: (0,0).

驶向胜利 的彼岸

? b 4ac ? b 2 ? ? ? 2a , 4a ? ?和 (1)位置不同(2)顶点不同:分别是? ? ?

(3)对称轴不同:分别是 和 y轴 . ?b (4)最值不同:分别是 4ac4a 和0. 3.联系: y=a(x-h)?+k(a≠0) 的图象可以看成 y=ax? 的图象 b b ? ? 先沿x轴整体左(右)平移| |2个单位 (当 >0 时,向右 a 2 a b ? 平移;当 <0 2a 时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平 4ac ? b 4ac ? b 4ac ? b 移| | 个单位 ( 当 >0 时向上平移 ; 当 <0时, 4a 4a 4a 向下平移)得到的.
直线x ? ?
2 2 2 2

b 2a


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