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利用空间向量求角和距离


3.2.2 利用空间向量求角和距离

1.会利用向量求解线面角的大小. 2.会利用向量求点到点、点到线、点到面的距离. 3.会利用向量求线到线、线到面、面到面的距离.

? π? ?0, ? 1.两条异面直线所成角的取值范围是____________. 2? ? ? ? π ?0, ? 2.直线与平面所成角的范围是____________. 2? ?

3.二面角的平面角的取值范围是____________. [0,π] 4.用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”.

(1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题
向量问题 中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为__________. 向量运算 (2)通过__________,研究点、直线、平面之间的位置关系 以及它们之间距离和夹角等问题. (3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.

【要点1】利用空间向量求角. 【剖析】(1)利用空间向量求线线角、线面角的关键是将其 转化为直线的方向向量之间、直线的方向向量与平面的法向量 之间的角. (2)利用空间向量求二面角的两种方法: ①找到或作出二面角的平面角,然后利用向量去计算其大 小; ②利用二面角的两个平面的法向量所成的角与二面角的平 面角的关系去求,此时需要依据图形特点建立适当的空间直角 坐标系.

【要点2】如何用向量法求点到面的距离?
【剖析】(1)求出该平面的一个法向量; (2)找出从该点出发到平面的任一条斜线段对应的向量; (3)求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值,再除以法 向量的模,即可求出点到平面的距离. 线面距离、面面距离均可转化为点面距离,用点面距离的

方法进行求解.

【常用公式】 1.三种空间角的向量法计算公式(设 a,b 是直线 a,b 的 方向向量): (1)异面直线 a,b 所成的角 θ:cos θ=|cos〈a,b〉|. (2)直线 a 与平面 α(法向量 n)所成的角 θ:sin θ=|cos〈a,n〉|. (3)锐二面角 θ:cos θ=|cos〈m,n〉|,其中 m,n 分别为 两个平面的法向量;钝二面角 θ=π-〈m,n〉 .

2.用向量法求距离的公式(设 a,b 是直线 a,b 的方向向 量). (1)异面直线 a,b 之间的距离: → n| |AB· d= ,其中 n⊥a,n⊥b,A∈a,B∈b. |n| (2)直线 a 与平面 α 之间的距离: → n| |AB· d= |n| ,其中 A∈a,B∈α,n 是平面 α 的法向量.

(3)两平行平面 α,β 之间的距离: → n| |AB· d= |n| ,其中 A∈α,B∈β,n 是平面 α 的法向量. (4)点 A 到平面 α 的距离: → n| |AB· d= |n| ,其中 B∈α,n 是平面 α 的法向量. 另:设点 A(x0,y0,z0),平面 Ax+By+Cz+D=0, |Ax0+By0+Cz0+D| 则 d= . 2 2 2 A +B +C

(5)点 A 到直线 a 的距离: d=
?→ ? → a |AB|2-?AB·?2,其中 ? ? |a| ? ?

B∈a.

(6)两平行直线 a,b 之间的距离: d= 向向量.
?→ ? → a |AB|2-?AB·?2,其中 ? ? |a| ? ?

A∈a,B∈b,a 是直线 a 的方

题型1 利用空间向量求角

例1:正三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面边长为 a,侧棱长为 2a,

求 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角.
思维突破:设直线 l 与平面 α 所成的角为 θ,l 的方向向量 |a· n| 为 a,平面 α 的法向量为 n,则 sinθ=|cos〈a,n〉|= . |a||n|

自主解答:建立如图 D18 的空间直角坐标系,则 A(0,0,0), B(0,a,0),A1(0,0,
? 2a),C1?- ? ? ? 3 a ? a,2, 2a?. 2 ?

图 D18

方法一:取 A1B1 中点 M,则

? a M?0,2, ?

? 2a?,连接 ?

AM,

? 3 → =? ? MC1, 有MC1 ?- a,0,0?,→ =(0, AB a,0), →1=(0,0, 2a). AA ? 2 ? ?

→ AB → → AA → ∵MC1· =0,MC1· 1=0, ∴MC1⊥面 ABB1A1. ∴∠C1AM 是 AC1 与侧面 A1B 所成的角 θ.
? 3 a → ? → ?0,a, 2a? ? ? ?, ∵AC1=?- a, , 2a?,AM=? 2 2 2 ? ? ? ?

a2 9a2 → AM → ∴AC1· =0+ 4 +2a2= 4 .

→ 而|AC1|= → |AM|=

3a2 a2 + 4 +2a2= 3a, 4 a2 3 2 4 +2a =2a. 3 → → = 2 .∴〈AC1,AM〉=30° , 3a 3a× 2 9a2 4

→ → ∴cos〈AC1,AM〉=

即 AC1 与侧面 AB1 所成的角为 30° .

→ 方法二:AA1=(0,0, 2a). 设侧面 A1B 的法向量 n=(λ,y,z). → → ∵n· =0 且 n· 1=0.∴ay=0,且 2az=0. AB AA ∴z=y=0,故 n=(λ,0,0).
? 3 a → =? ? ∵AC1 ?- a, , 2a?, ? 2 2 ? ?

3 -λ·2 a → n· 1 AC λ → ∴cos〈AC1,n〉= = =-2|λ|. → | |λ|· 3a |n|· |AC
1

→ ,n〉|=1,∴θ=30° ∴sinθ=|cos〈AC1 . 2

方法三:由方法一可知∠C1AM 即为所求, 9 2 3 2 2 AC1+AM2-MC2 3a +4a -4a 3 1 ∵cos∠C1AM= = =2. 2AC1· AM 3 2· 3a·a 2
2

∴∠C1AM=30° ,即 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角为 30° .

【变式与拓展】 1.直三棱柱 A1B1C1—ABC,∠BCA=90°,D1,F1 分别是 A1B1,A1C1 的中点,BC=CA=CC1,则 BD1 与 AF1 所成角的余 弦值是 ( A )
30 A. 10 1 B.2 30 C. 5 15 D. 10

题型2 利用空间向量求距离 例2:在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,求异面 直线 A1C1 与 B1C 的距离.
思维突破:欲求两条异面直线 l1,l2 之间的距离,可设与公 垂线 AB 平行的向量为 n,C,D 分别是 l1,l2 上的任意两点, → n| |CD· 则 l1,l2 之间的距离为 AB= |n| .

自主解答:如图 D19,以 DA,DC,DD1 所在直线分别为 x 轴, 轴, 轴建立空间直角坐标系 Dxyz, A1(1,0,1), 1(1,1,1), y z 则 B C1(0,1,1),C(0,1,0).

图 D19 → 于是A→ 1=(-1,1,0),B1C=(-1,0,-1). C 1

→ → 设与A1C1,B1C的公垂线平行的向量为 n=(x,y,z), ?n·→ =0, ?-x+y=0, ? A1C1 ? 则? 即? ?-x-z=0, → ? ?n· 1C=0, ? B 取 x=1,得 n=(1,1,-1). 又∵A→ 1=(0,1,0), 1B → |n· 1B1| 1 A 3 ∴A1C1 与 B1C 的距离 d= |n| = = 3 . 3

【变式与拓展】 2.在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,若 AB=2,AA1=1,则

点 A 到平面 A1BC 的距离为( B )
3 A. 4 3 B. 2 3 3 C. 4 D. 3

解析:设 BC 中点为 M,连接 AM,则所求距离为△A1AM A1A· AM 1· 3 3 的 AM 边上的高 =2. 2 2= A1A +AM 1+3

题型3 利用空间向量解决立体几何的综合问题 例3:已知长方体 ABCD-A1B1C1D1,AB=2,AA1=1,直

线 BD 与平面 AA1B1B 所成的角为 30°,AE⊥BD 于点 E,F 为
A1B1 的中点. (1)求平面 BDF 与平面 AA1B1B 所成二面角的余弦值; (2)求点 A 到平面 BDF 的距离.

思维突破:(1)二面角的向量求法:设 n1,n2 分别是平面 α, β 的一个法向量, 则向量 n1, 2 的夹角(或其补角)的大小就是两 n 平面所成二面角的大小. (2)点到平面距离的向量求法:已知 AB 为平面 α 的一条斜 线段(点 A 在平面 α 内),n 为平面 α 的法向量,则 B 到平面 α → n| |AB· → |cos〈AB,n〉|. → 的距离为 d= |n| =|AB|·

自主解答:以点 A 为原点建立如图 D20 所示的空间直角坐 标系, 由已知 AB=2, 1=1, AA 可得 A(0,0,0), B(2,0,0), F(1,0,1).

图 D20 又 AD⊥平面 AA1B1B,从而直线 BD 与平面 AA1B1B 所成的
? 2 3 2 ? 角为∠DBA=30° 又 AB=2, , ∴AD= 3 .从而易得 D?0, ?

3 ? ? ,0?. 3
?

(1)易知平面 AA1B1B 的一个法向量为 m=(0,1,0), n=(x, z) 设 y, 是平面 BDF 的一个法向量, → → BF=(-1,0,1),BD= 2 -2, 3 3 ,0 , x=z, 3x=y. 令 z=1,可得 n=(1, 3,1), m·n 15 ∴cos〈m,n〉= = . |m||n| 5 即平面 BDF 与平面 AA1B1B 所成二面角的余弦值为 15 . 5

→ (2)∵点 A 到平面 BDF 的距离即AB在平面 BDF 的法向量 n → 上的投影的绝对值,且AB=(2,0,0), → |AB· 2×1+0× 3+0×1 2 5 n| ∴距离 d= |n| = = 5 . 5 2 5 ∴点 A 到平面 BDF 的距离为 5 .

【变式与拓展】 3.如图 3-2-4,长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AD=AA1=1, AB=2,点 E 是 CC1 的中点. (1)求锐二面角 D-B1E-B 的余弦值; (2)试判断 AC 与平面 DB1E 的位置关系,并说明理由; (3)设点 M 是棱 AB 上一点,若点 M 到平面 DB1E 的距离为 21 7 ,试确定点 M 的位置.

图 3-2-4

解:建立如图 D21 所示的空间直角坐标系 Dxyz, 则有 D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,2,0),B(1,2,0), A1(1,0,1),D1(0,0,1),C1(0,2,1),B1(1,2,1),

图 D21 由中点坐标公式,得
? 1? E?0,2,2?. ? ?

→ → ?0,2,1? ?,设平面 DB1E 的法向量 (1)DB1=(1,2,1),DE=? 2
? ?

n=(x,y,z), ?x+2y+2z=0, ?n·→ =0, ? ? DB1 由? ?? 1 → =0 ?n· ?2y+2z=0. ? DE ? 令 y=1,则得 n=(2,1,-4). → 而DC=(0,2,0)为平面 BB E 的法向量.
1

设二面角 D-B1E-B 为

? π? θ,θ∈?0,2?. ? ?

→ ? n· ? DC ? 21 → 〉|=? cos θ=|cos〈n,DC = . ? → |? 21 |DC ?|n|· ?

→ → (2)AC=(-1,2,0),从而AC· n=0. → → ∴AC⊥n.∴AC∥面 DB1E. (3)设点 M(1,a,0)(0≤a≤2), → ∵点 M 到平面 DB1E 的距离为 d,且DM=(1,a,0),则 → n| |DM· 21 2+a 21 d= |n| = 7 ? = 7 ?a=1. 21 即 M(1,1,0),M 为 AB 的中点.


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