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2014年中国数学奥林匹克试题无解答


第 29届 中国数学奥林匹克
江苏 南京 第一天

o013年 12月 21日

⒏ 00-1⒉ 30,

1。

如图,在 锐角 山愣C中 ,/B>ZC,ZB/C的 平分线与边 BC交 于点 D,

F分 别在边 彳 B、 ,使 得 B、 C、 尸、E四 点共圆。

证 明:ADEF的 'C上 外接圆圆心与 &愣 C的 内切圆圆心重合的充分必要条件是 BE+CF=BC。
点 E、

2。

,定 义集合 对大于 1的 整数 刀
D(⑷ =(曰 -3|刀 〓 D,曰 ,D为 正整数 ,曰 )纣 。 曰

证 明 :对 任 意大于

1的 整 数 乃,总 存在 佬个互不相 同且 大于 1的 整数

? ? ? ,%? ? ,使 得 D(码 )∩ D(饧 )∩ ?∩D(‰ )的 元素个数不小于 2。 ,‰ 码

3。

证 明:存 在唯一 的函数 /∶ Ⅳ → N+满 足
r(1)〓 r(2)〓 1, /(刀 )=/(r(刀

? 一 l,)+歹 (刀 一 /(刀 -D),刀 =3,4,¨
,

2,求 /(2″ )的 值 。 并对每个整数 〃≥

第 29届 中国数学奥林 匹克
江苏 南京 第二天 fz013年 12月 22日 ⒏00-△ 2:30)

4。

〓呼 ? )1,设 刀 」 ¨J卩 是 刀 的标准分解式,定 义 对整数 刀 @(o〓 r,Ω ⒄)=%+… 叶%。

)1,使 得 是否对任意给定的正整数 七 正实数 σ 及 ,',总 存在整数 刀



@(刀 )

>h珊 调

证明你的结论 。

5.设 集合 /=租 ,2,… ,100),函 数 r:X→ /同 时满足
(1)对 任意 石 X,都 有 /(石 )≠ 石 ∈
;

(2)对 X的 任意一个 硐 元子集 Ⅱ ,都 有 彳∩/(')≠ ⑦? 求最小的正整数 庀 得对任意满足上述条件的函数 /,都 存在 X的 庀 元子 ,使 集 B,使 得 B∪ /(B)=/. 〓 注 :对 X的 子集 r,定 义 r(r)=← |存 在 r∈ r,使 得 艿 /⑴ ⒈

6.对 于非空数集 s,Γ ,定 义
s+r〓
(s+川 s∈ s,r∈ Γ 2s=(2s|s∈ s)? ),

设 刀 正整数 ,Ⅱ ,B均 为 o,2,… ,刀 )的 非空子集 ,证 明:存 在 /+B的 子集 为

D,使 得
这里 |X|表 示有限集

≥ "D丑 z+B,,引 丬嘤 。 X的
元素个数

,


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