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数列通项


求数列通项解法大全
1.形如 an?1

? an ? f (n) 型
? an ? d ,此时数列为等差数列,则 a n = a1 ? (n ? 1)d .

(1)若 f(n)为常数,即: a n?1

(2)若 f(n)为 n 的函数时,用累加法. 方法如下: 由

an?1

? an ? f (n) 得:

n ? 2 时, an ? an?1 ? f (n ? 1) ,

an?1 ? an?2 ? f (n ? 2) ,
??

a3 ? a2 ? f (2)
a 2 ? a1 ? f (1)
所以各式相加得

an ? a1 ? f (n ? 1) ? f (n ? 2) ? ? ? f (2) ? f (1)
n ?1

即: a n

? a1 ? ? f (k ) .
k ?1

为了书写方便,也可用横式来写:

? n ? 2 时, an ? an?1 ? f (n ? 1) , ? an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1
=

f (n ? 1) ? f (n ? 2) ? ? ? f (2) ? f (1) ? a1 .

①若 f(n)是关于 n 的一次函数,累加后可转化为等差数列求和; ②若 f(n)是关于 n 的二次函数,累加后可分组求和; ③若 f(n)是关于 n 的指数函数,累加后可转化为等比数列求和; ④若 f(n)是关于 n 的分式函数,累加后可裂项求和。 2.形如

a n ?1 ? f ( n) 型 an a n ?1 n ?1 ,此时数列为等比数列, a n = a1 ? q . ? q (其中 q 是不为 0 的常数) an an ? f (n ? 1) , a n ?1

(1)当 f(n)为常数,即:

(2)当 f(n)为 n 的函数时,用累乘法. 由

a n ?1 ? f ( n) 得 an

n ? 2 时,

? an ?

a n a n ?1 a ? ? ? ? 2 ? a1 =f(n)f(n-1) ? ? f (1) ? a1 . a n ?1 a n ?2 a1

3.形如 an?1

? an ? f (n) 型
,则数列{ a n }为“等和数列”,它是一个周期数列,周期为 2,其通项分奇数项和偶数项来讨论; ? an ? d (d 为常数)

(1)若 a n ?1

( 2 )若 f(n) 为 n 的函数(非常数)时,可通过构造转化为 an?1

? an ? f (n) 型,通过累加来求出通项;或用逐差法( 两式相减) 得

an?1 ? an?1 ? f (n) ? f (n ? 1) ,,分奇偶项来分求通项.
4.形如 a n ?1

? a n ? f (n) 型 ? a n ? p (p 为常数),则数列{ a n }为“等积数列”,它是一个周期数列,周期为 2,其通项分奇数项和偶数项来讨论; ? an?1 ? f (n ?1) ,两式相除后,分奇偶项来分求通项.

(1)若 a n ?1

(2)若 f(n)为 n 的函数(非常数)时,可通过逐差法得 a n 5.形如 a n ?1

? can ? d , (c ? 0 ,其中 a1 ? a )型

(1)若 c=1 时,数列{ a n }为等差数列; (2)若 d=0 时,数列{ a n }为等比数列; (3)若 c

? 1且d ? 0 时,数列{ a n }为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.

方法如下:设 a n?1 得 a n?1

? ? ? c(an ? ? ) ,

? can ? (c ? 1)? ,与题设 an?1 ? can ? d , 比较系数得

d , (c ? 0) c ?1 d d ? c(a n ?1 ? ) 所以有: a n ? c ?1 c ?1

(c ? 1)? ? d ,所以 ? ?

因此数列 ?a n ?

? ?

d d ? 为首项,以 c 为公比的等比数列, ? 构成以 a1 ? c ?1 c ? 1?

d d ? (a1 ? ) ? c n ?1 c ?1 c ?1 d d ) ? c n ?1 ? 即: a n ? ( a1 ? . c ?1 c ?1
所以

an ?

规律:将递推关系 a n?1

? can ? d 化为 a n ?1 ?

d d d ? c(a n ? ) ,构造成公比为 c 的等比数列 {a n ? } 从而求得通项公式 c ?1 c ?1 c ?1

a n ?1 ?

d d ? c n ?1 (a1 ? ) 1? c c ?1

有时我们从递推关系 a n?1 为 c 的等比数列 {a n ?1 复杂. 6.形如 a n ?1 ?

? can ? d 中把 n 换成 n-1 有 an ? can?1 ? d ,两式相减有 an?1 ? an ? c(an ? an?1 ) 从而化为公比

? an },进而求得通项公式. an?1 ? an ? c n (a2 ? a1 ) ,再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较

pan ? f (n) 型

.(1)若

f (n) ? kn ? b (其中 k,b 是常数,且 k ? 0 )

方法:列前后再相减 (2)若

f (n) ? q n (其中 q 是常数,且 n ? 0,1)

①若 p=1 时,即: a n?1 ? a n ②若

? q n ,累加即可.

p ? 1 时,即: a n?1 ? p ? an ? q n ,

求通项方法有以下三种方向:i. 两边同除以

p n ?1 .
,则 bn ?1

即:

a n ?1 p
n ?1

?

an q
n

?

an 1 p n ? ( ) ,令 bn ? n p q p

? bn ?

1 p n ?( ) , p q

然后类型 1,累加求通项. ii.两边同除以 q
n ?1

.

即:

a n ?1 q
n ?1

?

p an 1 ? ? , q qn q

令 bn

?

an q
n

,则可化为 bn ?1

?

p 1 ? bn ? .然后转化为类型 5 来解, q q

iii.待定系数法: 设 a n?1 ?? ? q
n ?1

? p(an ? ? ? p n ) .通过比较系数,求出 ? ,转化为等比数列求通项.

7.形如 a n ?1

?

pan ? q 型 ra n ? s pan ?1 ra n ?1 ? s
取倒数法.

(1)

p, r , s ? 0, q ? 0 即 a n ?

2.形如 a n ?1

?

m an ? p (m, p, q为定值) 型 an ? q
m x? p x?q

方法:不动点法: 我 们 设

f ( x) ?

,







f ( x) ? x









x,y,



a n?1 ?

m an ? p an ? q



an?1 ? x ?

m an ? p m x ? p m q ? p an ? x ? ? ? an ? q x?q x ? q an ? q ?y? m an ? p m y ? p m q ? p an ? y an?1 ? x y ? q an ? x ,两式相除有 ,从而得 ? ? ? ? ? an ? q y?q y ? q an ? q an?1? y x ? q an ? y

同理 a n ?1

a n ?1 ? x y ? q n ?1 a1 ? x ,再解出 an 即可. ?( ) ? a n ?1 ? y x?q a1 ? y
8.形如 an?1

? pan ? qan?1 (其中 p,q 为常数)型

(1)当 p+q=1 时 (2)当

用转化法 用待定系数法.

p 2 ? 4q ? 0 时

r (其中 p,r 为常数)型 ? pan (1)p>0, a n ? 0 对数法.

9. 形如 a n ?1 (2)p<0 时

迭代法(忽略).


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