当前位置:首页 >> 数学 >>

北京市重点中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学


2014~2015 学年度第一学期期中考试

高 二 数 学 试 卷 2014.11
(考试时间:100 分钟 总分:100 分) 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的.请把答案填在答题卡中相应的位置上 ) ................
1.下列说法正确的是(

A.三点确定一个平面 C.梯形一定是平面图形 ) B.四边形一定是平面图形 D.平面 ? 和平面 ? 有不同在一条直线上的三个交点 )

2.一个几何体的三视图如右图所示,该几何体的体积是( A. 16 ? B. 16

16? 3 16 D. 3
C. 3.圆 C1 : x ? y ? 2 x ? 0 与圆 C2 :
2 2

4
主(正)视图

4
左(侧)视图

x2 ? y 2 ? 4x ? 8 y ? 4 ? 0 的位置关系是(
A.相交 C.内切 B.外切 D.相离

? ) 4
俯视图

4

4.已知 l , m 是两条不同的直线, ? 是一个平面, 则下列命题正确的是( ) B.若 l ? m , m ? ? ,则 l ? ? D.若 l ∥? , m ∥? ,则 l ∥m
2

A.若 l ? ? , m ? ? ,则 l ? m C.若 l ∥? , m ? ? ,则 l ∥m
2

5. 过点 P(? 3, ?1) 的直线 l 与圆 x ? y ? 1有公共点, 则直线 l 的倾斜角的取值范围是 ( A. (0, ]



π 6

B. (0, ]

π 3

C. [0, ]

π 6

D. [0, ]

π 3

x2 y 2 3 6.已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点为 F1 , F2 ,离心率为 ,过 F2 的直线 l a b 3
交椭圆 C 于 A, B 两点.若△ AF1 B 的周长为 4 3 ,则椭圆 C 的方程为( )

第 -1- 页 共 7 页

A.

x2 y 2 ? ?1 3 2 x2 y 2 ? ?1 12 8

B.

x2 ? y2 ? 1 3 x2 y 2 ? ?1 12 4


C.

D.

7.设 A, B, C , D 是空间四个不同的点,在下列命题中,不正确 的是( ...

A.若 AC 与 BD 共面,则 AD 与 BC 共面 B.若 AC 与 BD 是异面直线,则 AD 与 BC 是异面直线 C.若 AB ? AC , DB ? DC ,则 AD ? BC D.若 AB ? AC , DB ? DC ,则 AD ? BC 8. 如图, 定点 A ,B 都在平面 ? 内, 定点 P ? ? ,PB ? ? ,

P

C 是 ? 内异于 A 和 B 的动点,且 PC ? AC .那么,动点 C
在平面 ? 内的轨迹是( )

A. 一条线段,但要去掉两个点 B. 一个圆,但要去掉两个点 C. 一个椭圆,但要去掉两个点 D. 半圆,但要去掉两个点

A α C

B

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分.请把答案填在答题卡中相 ........... 应的位置上 ) .....
9.毛泽东主席在《送瘟神》中写到“坐地日行八万里” .又知地球的体积大约是火星的 8 倍, 那么火星的大圆周长约为______________万里.

10.如图,正四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 (底面是正方形的直棱柱) 的底面边长为 2,高为 4,那么异面直线 BD1 与 AD 所成角的正切值 ______________.

第 -2- 页 共 7 页

11.已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(m ? 0) 的一个焦点是 (0,1) ,则 m ? m 3
1 1 1

;若椭圆上一点 P 与

椭圆的两个焦点 F1 , F2 构成的三角形 PF 1F 2 的 面积为 2 ,则点 P 的坐标是________. 12.直线 l1 : y ? x ? a 和 l2 : y ? x ? b 将单位圆

C : x ? y ?1 分 成 长 度 相 等 的 四 段 弧 , 则
2 2

2
正视图

2
侧视图

a 2 ? b 2 ? ________.
13. 某几何体的三视图如图所示, 则它的侧面积 是 .

2

2
俯视图

1 14 . 已 知 点 A(? , 0) , 点 B 是 圆 F : 2 1 ( x ? ) 2 ? y 2 ? 4 (F 为圆心)上一动点,线段 AB 的垂直平分线交 BF 于 P ,则动点 P 的轨 2
迹方程为______________.

三、解答题(本大题共 4 小题,共 44 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程 或演算步骤.请把答案填在答题卡中相应的位置上 ) ................
15.如图,在底面为平行四边形的四棱锥 P ? ABCD 中,
P

AB ? AC ,PA ? 平面 ABCD , 且 PA ?AB , 点 E 是 PD
的中点. (Ⅰ )求证: AC ? PB ; (Ⅱ )求证: PB // 平面 AEC ; (Ⅲ )若 PA ? 4 ,求点 E 到平面 ABCD 的距离.
D C E A B

16.已知圆 C : x ? y ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 ,直线 l 与圆 C 相交于 A , B 两点.
2 2

(Ⅰ )若直线 l 过点 M ? 4,0? ,且 AB ? 2 5 ,求直线 l 的方程; (Ⅱ )若直线 l 的斜率为 1 ,且以弦 AB 为直径的圆经过原点,求直线 l 的方程.

第 -3- 页 共 7 页

17.如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,四边形 AAC 1 1C 是边长 为 4 的正方形,平面 ABC ⊥平面 AAC 1 1C , AB ? 3, BC ? 5 . (Ⅰ)求证: AA1 ⊥平面 ABC ; (Ⅱ)若点 D 是线段 BC 的中点,请问在线段 AB1 是否存在点

A1 C1

B1

E ,使得 DE / / 面 AAC E 的位置,若 1 1C ?若存在,请说明点
不存在,请说明理由; (Ⅲ) (本小问 只 理科学生做 )求二面角 C ? A 1B 1 ? C1 的大小. ... . .....

A D C

B

18.已知在平面直角坐标系 xOy 中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为 F (? 3,0) ,右 顶点为 D(2, 0) ,设点 A(1, ) . (Ⅰ)求该椭圆的标准方程; (Ⅱ)过原点 O 的直线交椭圆于点 B, C ,求 ?ABC 面积的最大值.

1 2

(草稿纸)

2014~2015 学年度第二学期期中练习

高 二
题号 答案 题号 答案 1 C 9 10 2 C


3 B 11


4 A


5 D 12

案 2014.11.14
6 A 13 7 C 14 8 B

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分)

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分)
4

5

2

(? 2, 0 )

2

16

x2 ?

4 2 y ?1 3

三、解答题(本大题共 4 小题,共 44 分)
15. (本小题满分 12 分)解: (Ⅰ )由 PA ? 平面 ABCD 可得 PA?AC,

第 -4- 页 共 7 页

又 AB ? AC ,所以 AC?平面 PAB, 所以 AC ? PB . ??? 4 分 (Ⅱ )连 BD 交 AC 于点 O,连 EO, 则 EO 是△ PDB 的中位线, 所以 EO // PB. 又因为 PB ? 面 AEC , EO ? 面 AEC , 所以 PB // 平面 AEC . (Ⅲ )取 AD 中点 F ,连接 EF . 因为点 E 是 PD 的中点,所以 EF / / ??? 8 分

P

A E

B

D

C

1 PA . 2

又因为 PA ? 平面 ABCD ,所以 EF ? 平面 ABCD . 所以线段 EF 的长度就是点 E 到平面 ABCD 的距离. 又因为 PA ? 4 ,所以 EF ? 2 . 所以点 E 到平面 ABCD 的距离为 2 . ??? 12 分 16. (本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ )由题设知直线 l 的斜率存在,设其方程为 y ? k ? x ? 4? ,即 kx ? y ? 4k ? 0 .
2 2 圆 C : x ? y ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 ,即 ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 9 ,
2 2

圆心 C ?1, ?2? ,半径为 3 . 由 AB ? 2 5 ,知圆心到直线 l 的距离为 9 ? 于是

? 5?

2

?2,

k ? 2 ? 4k k ?1
2

? 2 ,即 2 ? 3k ? 2 k 2 ? 1 ,
12 . 5

2 整理得 5k ? 12k ? 0 ,解得, k ? 0 或 k ?

所以直线 l 的方程为 y ? 0 或 12 x ? 5 y ? 48 ? 0 .??? 5 分 (Ⅱ )由直线 l 的斜率为 1 ,设直线 l 的方程为 y ? x ? b .

由?

? x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 4 ? 0 ?y ? x ?b
2 2



得 2x ? 2 ?b ? 1? x ? b ? 4b ? 4 ? 0 .

第 -5- 页 共 7 页

令 ? ? 4 ? b ? 1? ? 8 b ? 4b ? 4 ? 0 ,解得 ?3 ? 3 2 ? b ? ?3 ? 3 2 . (1)
2 2

?

?

设 A? x1 , y1 ? ,??B ? x2 , y2 ? ,则 x1 ? x2 ? ? ?b ? 1? , x1 x2 ? 因为以 AB 为直径的圆过原点,所以 OA ? OB .

b 2 ? 4b ? 4 . 2

所以 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即 2x1x2 ? b ? x1 ? x2 ? ? b2 ? 0 . 代入得 b ? 3b ? 4 ? 0 ,解得 b ? 1 或 b ? ?4 ,满足(1) .
2

故直线 l 的方程为 y ? x ? 1 或 y ? x ? 4 .??? 10 分 17. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)因为四边形 AAC 1 1C 为正方形,所以 AA1 ⊥AC. 因为平面 ABC⊥平面 AA1C1C, 且平面 ABC 平面 AAC 1 1C ? AC ,

所以 AA1⊥平面 ABC.??? 4 分(文 6 分) (Ⅱ)当点 E 是线段 AB1 的中点时,有 DE / / 面 AAC 1 1C .

E ,连结 DE . 连结 A 1B 交 AB1 于点 D 是线段 BC 的中点, 因为点 E 是 A 1B 中点,点
所以 DE / / AC . 1 又因为 DE ? 面 AAC ? 面 AAC 1 1C , AC 1 1 1C , 所以 DE / / 面 AAC 1 1C .??? 8 分(文 12 分) (Ⅲ)因为 AA1⊥平面 ABC,所以 AA1⊥ AB . 又因为 AC⊥ AB ,所以 AB ? 面 AAC 1 1C . 所以 A1B1 ? 面 AAC 1 1C . 所以 A1B1 ? AC 1 . 1 1, A 1B 1 ? AC 所以 ?C1 AC 1B 1 ? C1 的平面角. 1 是二面角 C ? A 易得 tan ?C1 A1C ?

A1 C1

B1

A D C

B

C1C ? 1. C1 A1
第 -6- 页 共 7 页

所以二面角 C ? A 1B 1 ? C1 的平面角为 45 ? .??? 12 分 18. (本小题满分 10 分) 解(Ⅰ)由已知得椭圆的半长轴 a ? 2 ,半焦距 c ? 3 ,则半短轴 b ? 1 . 又椭圆的焦点在 x 轴上,∴ 椭圆的标准方程为

x2 ? y 2 ? 1 .??? 4 分 4

(Ⅱ)当直线 BC 垂直于 x 轴时, BC ? 2 ,因此 ?ABC 的面积 S?ABC ? 1. 当直线 BC 不垂直于 x 轴时,该直线方程为 y ? kx ,代入

x2 ? y2 ? 1, 4

解得 B(

2 4k 2 ? 1

,

2k 4k 2 ? 1
2

) ,C(-

2 4k 2 ? 1

,-

2k 4k 2 ? 1
k? 1 2

) ,

则 BC ? 4

1? k

1 ? 4k 2

,又点 A 到直线 BC 的距离 d ?

1? k 2



∴ △ ABC 的面积 S?ABC ?

2k ? 1 1 . BC ? d ? 2 1 ? 4k 2

于是 S?ABC ? 由

4k 2 ? 4k ? 1 4k . ? 1? 2 2 4k ? 1 4k ? 1

1 4k 4 ? ? ?1 ,得 S?ABC ? 2 ,其中当 k ? ? 时,等号成立. 2 2 4k ? 1 4k ? 1 k
??? 10 分

∴S?ABC 的最大值是 2 .

第 -7- 页 共 7 页


相关文章:
北京市重点中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学试题
北京市重点中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学试题_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载 北京市重点中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学...
北京市重点中学2014-2015学年高二上学期期中考试生物
北京市重点中学2014-2015学年高二上学期期中考试生物_高二理化生_理化生_高中...上皮细胞的过程分别是图甲中编号___ (4)若图甲是癌细胞的细胞膜,则膜上...
北京市重点中学2014-2015学年高二下期中考试数学试题(...
北京市重点中学2014-2015学年高二期中考试数学试题(理)及答案_数学_高中教育_教育专区。北京市 2014~2015 学年度第二学期期中考试 高 二数学(理)试卷 (考试时...
北京市重点中学2014-2015学年高二上学期期中考试英语
北京市重点中学2014-2015学年高二上学期期中考试英语_英语_高中教育_教育专区。高考...学而思中学语文推荐书目... 学而思初中数学课程规划 2014年学而思杯英语详解 学而...
...广渠门中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学(理...
北京市广渠门中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学(理)试卷_高中教育_教育专区。高二上学期期中试题 理科 一、选择题 1.直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 1 ? ...
北京市重点中学2014-2015学年高一上学期期中考试数学
北京市重点中学2014-2015学年高一上学期期中考试数学_数学_高中教育_教育专区。2014~2015 学年度第一学期期中考试 高一数学试卷 (考试时间:100 分钟 总分:100 分...
北京市重点中学2014-2015学年高二数学下学期期中试卷 文
北京市重点中学2014-2015学年高二数学下学期期中试卷 文_数学_高中教育_教育专区。北京市 2014~2015 学年度第二学期期中考试 高二文科数学试卷 (考试时间: 100 分...
北京市重点中学20142015学年高二上学期期中考试语文试题
北京市重点中学 2014-2015 学年高二上学期期中 考试语文试题 北京市重点中学 2014-2015 学年高二上学期期中考试语文试题春水碧于天 2014~2015 学年度第一学期期中...
北京市重点中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学(...
北京市重点中学2014-2015学年高二学期期中考试数学(理)试卷_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载 北京市重点中学2014-2015学年高二学期期中考试数学(...
...实验中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学(理)...
北京师范大学附属实验中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学(理)试题_数学_高中教育_教育专区。北师大附属实验中学 2014-2015 学年度第一学期高二年级数学期中考试...
更多相关标签:
高二上学期期中家长会 | 高二上学期期中试卷 | 高二上学期期中考试 | 高二上学期期中数学 | 高二上学期期中总结 | 高二上学期物理期中 | 北京汇文中学高二期中 | 衡水中学高二期中考试 |