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2011年各地高考线性回归试题评析


2 0 1 1年  第 5 0卷  第 1 O期 

数 学通报 

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2   0   1   1 年 各地高考 线性 回归试题评析 
黄 靖 舒 
( 华南师范大学数学科 学学院 5 1 0 6 3 1 )  

现代社 会 是 一个 信 息 化 的 社会 ,人 们

常 常 需  统 计 与概率 的基 本 思 想 和 基 础 知 识 已经 成 为公 民 
验稿( 下 简称 新 课 标 ) 中 ,最 基 本 的数 据 处 理 、统 

值得 注 意 的是 ,课 标 中对 统 计 部 分 内容 的说 

要 根据 所 获取 的数 据提 取 信息 ,做 出合理 的 决策 ,   明 与建议 中 ,强 调教 学 中要 注意 两点 :   ①鼓 励 学生 使 用 计 算 器 、计 算 机 等 现代 技 术 
②对 于 统计 案 例 内容 ,只要 求 学 生 了解 几 种 

的必备 常识 . 因此 ,在 新 的 高 中数 学 课 程 标 准 实  手段 来处 理 数据 ;  
计 知识 等 成 为 了 新 的 数 学 基 础 知 识 和 基 本 技 能.   统计 方法 的基 本 思 想 及 其 初 步应 用 ,对 于其 理 论 

如 何 评价 学 生 对 这 部 分 内 容 的 掌 握程 度 呢? 在 现  基 础不 做要 求 ,避免 学 生 单 纯 记 忆 和 机 械 套 用 公  有 的评价 体 系 中 ,最 重要 的评 价 手段 是试 题 测试 .   式 进行计 算 .   那 么 ,作 为最 权 威 的高 考 试 题 ,又 是 否 能 检 测 学  那 么 ,2 0 1 1年 的各 地 高考 题 中 ,是 否 能 检 测  生 达 到应 有水 平 呢? 笔 者 将 以 “ 线 性 回归 方 法 ” 为  学 生达 到应 有水 平 呢 ?   例 ,评析 2 0 1 1 年 各地 高 考 的试题 ,对 这 一 问题 进  2 各 地高 考 中“ 线 性 回归方 法” 试题 评析 
行 讨论 .   1 新课标 中“ 线 性 回归 方法” 的 内容 目标 

根 据试 题条 件 呈 现 方 式 的不 同 ,笔 者将 按 三  种 类型 进行 分 析 :只 明确 给 出解 释 变 量 与 预报 变 
出解 释变量 与 预报 变 量 的数 据 ,需 要 考 生 自己分 

要评 价学 生 是 否 达 标 ,应 先 确 立 标 准 . 在 新  量 的数 据 以及 对 应 的符 号 表示 ;没 有 明 确 区分 给 

课 标 中 ,本部 分 的 内容标 准 有 :  

“ 经 历用 不 同估算 方 法描 述两 个 变量 线性 相 关  析 题干 辨别 两 类 数 据 ,也 没有 给 出 回 归方 程 ;直  的过 程. 知道 最小 二 乘 法 的思 想 ,能 根 据 给 出 的  接 给 出 回归方 程或 某个 系数 的值 .  
线 性 回归 方程 系数 公 式 建 立 线 性 回归 方 程 ” ;“ 通  2 . 1 数 据 明 确 

过对 典 型案例 ( 如“ 人 的 体 重 与 身 高 的关 系 ” 等) 的 
应用. ”  

( 2 0 1 1 年 江 西卷 文科 第 8题 ) 为 了解 儿 子 身 高 
数 据如 下 :  
父亲身高 z ( c m)   儿 子 身 高  ( c m)   1 7 4   1 7 5   1 7 6   1 7 5   1 7 6   1 7 6   1 7 6   1 7 7   1 7 8   1 7 7  

探 究 ,进 一步 了解 回归 的基 本 思 想 、方 法 及 初 步  与 其父 亲身 高 的关 系 ,随机 抽 取 5对 父 子 的 身 高  笔 者理解 为 ,要 达 到 以下 四点要 求 :  
① 知道 最小 二 乘 法 思 想 ;② 了 解 线 性 回归 方  法 的基 本思 想 :利用 已有数 据建 立 线性 回归 模 型 ,  

对预 报 变量 进 行 预 测 ;③ 能 正 向使 用 给 出 的线 性 
回归 方 程 系数 公 式 ,建 立 线 性 回归方 程 ;④ 能 利 

则 Y对  的线性 回归方 程为 
A . y —  一 1  
1  

B. Y —  + 1  

用线 性 回归 方法 对变 量 进行 简单 预测 .   前 两点 要求 属 于“ 了解 ” 层 次  ] ,仅 要 求 学 生 

C .y一 8 8+ ÷z  
厶 

D .y一 1 7 6  

能够 回忆 出知 识 的言 语 信 息 ,能 辨 认 出知 识 的常 

本 题可 谓 是第 一 种 类 型题 目的典 型代 表 ,题 

见例 证 ,会 举 例 说 明 知识 的 相关 属性 ,不 宜 利 用  干 以表格 的形 式呈 现解 释 变量 和预 报变 量 的数 据 ,  

考题 考 察. 后两 点要 求 则分 别属 于 “ 掌握 ” 与“ 综 合  并 使用 习惯 符 号 :解 释 变 量 对 应 z ,预 报 变 量对 
运用 ” 水 平 ,它 们都 是 以理解 为 前提 的单 个 知识 的  应  ,考察 学 生能 否 根 据 给 出 的线 性 回归 方 程 系 
运用 水 平.  

数 公式 ,建 立 线 性 回归 方 程. 这 种 题 干 的 呈 现方 

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数 学通报 

2 0 1 1 年  第 5 0卷  第 1 0期 

式 ,可 称为 “ 标准形式” ,在 课 本 例 题 与 练 习 、教  否 “ 能利 用 线 性 回 归 方 法 对 变 量 进 行 简 单 预 测 ” .  

辅 资料 随处 可 以见 . 由于 回归 方程 系数 b的公 式  虽 然 回归方 程 与 一 次 函数 的形 式 和意 义 具 有 相 似  从 整体 来看 ,解 释 变量 与预 报变 量在 一 定范 围  中仅 有 . 2 7 、 Y对应 的样 本点 数 据符 号 ( z   , Y   )以及  性 ( 平均 值 符 号 i 、   ,学 生 将 对 应 符 号 的 数 据 代 人  系数 公 式 ,计算 得 出 b的结 果 ,再 利 用 a一   一  b x, Y— b x+n即可求 出 回归方 程 . 整个 过程 中 ,   学 生可 以不理 解 公 式 中符 号 的 意 义 ,通 过 大 量 的  练 习 ,根据 “ 解题套路” 程 序 性地 完成 试 题 ,得 出  正 确答 案 .这 种会 套用 而不 理 解 的水 平 并 不 属 于 
“ 掌握 ” 水 平 ,而本 题 并 不 能 有 效 区分 学 生 是 掌 握  内大 致满 足 回归 方程 ) ,它 们 仍 有 着 本 质 的 区 别 :  

前 者 是根 据样 本对 总体 所 作 的 “ 估计关系式” ,根  据 方 程估计 的 预报 变 量 不 是 准 确 值 ,而 是 可 能 取  值 的平均 值 ;而 后 者 表示 的 自变量 与 因变 量 的关  系式 是确 定 的 ,根 据 一 定 自变 量求 出 的 因变 量 的 

值是 确定 的.本 题 并 没 有 体 现 这 一 区别 ,将 一 次 
函数 的性 质 迁 移 过 来 ,亦 可 顺 利 解 答. 建 议 问题 

最后 一句 改 为 :“ 若家 庭 年收入 每 增加 1万元 ,可  估计 年 饮食 支 出平 均 增加 
检测 效果 亦不 佳 .   另 外 还 有 陕 西 卷 文 
1  

了方法 还 是机 械 套 用 公 式. 同样 类 型 的 试 题 还 有 
广 东文 科 卷第 1 3题 ,安 徽 文 科 卷 第 2 O题 ,山 东  文理 卷第 8题 .   2 . 2 没 有 明确 数 据与 回 归方程 

万元. ” 本题 的 

( 理) 科 第 9题 ,题 目如 下 :  
设 ( . 2 7 1 , Y1 ), ( z 2 ,Y 2 ) ,  

( 2 0 1 1年 广 东 卷 理 科 第 1 3题 ) 某 数 学 老 师 身  高 1 7 6 c m,他 爷 爷 、父 亲 和 儿 子 的 身 高 分 别 是  1 7 3 c m、1 7 0 c m和 1 8 2 c m.因儿 子 的身 高 与父 亲 的  身 高有关 ,该老 师 用 线 性 回归 分 析 的方 法 预 测 他  孙 子 的身高 为  c m.  

<.  
D 

… ,(   ,Y   ) 是 变 量 z 和  Y 的  个 样 本 点 ,直 线 z  


)  

、、 

一  

是 由这 些样 本 点通过 最 小 二 乘 法 得 到 的 线 性 回归  直线( 如 图) ,以下 结论 中正 确 的是 (   ( A)X和 Y的相关 系 数为 直线 l的斜 率  ( B )X和 Y的相 关 系数在 0到 1之间 

本 题 与上 题 一 样 ,都 是 以必 修 3中 介 绍 “ 回 
归” 一词 时 使 用 的案 例 为 背 景. 但 本 题 的题 干 是 

“ 非 标准 形式 ” 的.学 生 先 要 理 解 公 式 中符 号 意 义 


( c )当  为 偶 数 时 ,分 布 在 1 两 侧 的 样 本 点 
的个 数一 定相 同  ( D )直线 £ 过点( z,3 I )   给 出线性 回归 直 线 ,考 察 学 生 对 相 关 系数 及 

X  ,  

, . 一 2 7

, 一是 解 释 变 量 与 预 报 变 量对 应 的样  Y

本 数据 与平 均值 ” ,再辨 别哪 些数 据是 属 于解 释 变 
量 ,哪些是 属 于 预报 变量 的 ,并 找 出 它们 的对 应  关 系 ,才 能 够 将 数 据 代 入 公 式 ,求 出 回 归 方 程 ,  

其与 回归 直线 的关 系 ,最 小二乘 法 的思 想 的理 解 ,   并 对 预报 变量 进 行 预 测 .机 械 套 用 公 式 并 不 能 解  以及 回归 直线 的 性 质 ( 恒 过点 (   ,Y 一) ) . 整 道 题  决本题 ,因此 ,本 题 虽是 简 单 题 ,却 能 有 效 地 检  偏 向考察 学 生 的 逻 辑 思维 ,与 新课 标 中一 直 强 调  测学 生是 否 能够做 到 “ 建立 线性 回归 方程 并 能利 用  要让 学 生“ 体 会线 性 回归 的基 本 思 想 ” 相 悖 ,亦 不  线性 回归方法 对变 量进 行简 单 预测 ” .  
是好 题 .  

2 . 3 直接 给 出 回归方 程或 方程 系数 

3 小 结 

从 总体 来 看 ,2 0 1 1年 共 有 六 个 省 对 “ 线性 回   若干 户 家庭 的年 收入 z( 单位 :万 元 ) 和 年 饮 食 支  归方 法 ” 进行 了 考察 ,考 察 的方 向主要 有两 个 :建 

( 2 0 ] 1年 辽 宁卷 文 理 科 第 1 4题 ) 调 查 了某 地 

出  ( 单 位 :万 元 ) ,调 查 显示 年 收 入 z与 年 饮 食 

立线 性 方程 并 进 行 预 测 ,对 已有 线 性 方程 的 初 步  支 出 Y具 有线 性 相 关 关 系 ,并 由调 查 数 据 得 到 Y   应 用. 但 大部 分 试 题 未 能切 合 新 课 标 的要 求 ,亦  对 z 的回归 直线 方程 : Y一 0 . 2 5 4 x +0 . 3 2 1 . 由回  没 能有 效 考察 学生 是否 真正 达 到应 有水 平.   归 直线 方程 可知 ,家庭年 收 入 

每 增加 1 万 元 ,年饮 食 支 出平 均 增 加 
万 元.  

参 考 文 献  1 何 小 亚 ,姚 静 .中 学 数 学 教 学 设 计 I - M] .北 京 :科 学 出 版 社 
2 0 09 :2 0~ 22  

题 干 中直接 给 出 回 归方 程 ,意 在 考 察 学 生 是 


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