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江苏省扬州市宝应县曹甸高级中学2013届高三10月第二次效益检测(数学)


曹甸高级中学 2013 届高三第二次效益检测 数学试题(普通类)
命题:张爱珍 2012.10.13 审核:李兆江

试卷共 4 页, 包括填空题(第 1 题~第 14 题)、 解答题 (第 15 题~第 20 题)两部分. 本 试卷满分为 160 分,考试时间为 120 分钟. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答

案填写在答卷纸相应位置 ....... 上. 1、已知集合 A={x∈R|3x+2>0﹜,B={x∈ R|(x+1)(x-3)>0﹜则 A∩B= 2、设 a、b∈R,“a=O”是“复数 a+bi 是纯虚数”的 3、阅读右侧程序框图,该程序输出的结果是 ▲ ▲ . . ▲ .

4、用分层抽样的方法从某高中学校学生中抽取一个容量为 55 的样 本参加问卷调查, 其中高一年级、 高二年级分别抽取 10 人、 人. 25 若 该校高三年级共有学生 400 人,则该校高一和高二年级的学生总数 为 ▲ 人.

5、用 3 种不同的颜色给右图中的 3 个矩形随机涂色,每个矩形 只涂一种颜色,则 3 个矩形中有且仅有两个矩形颜色相同的概 率是 ▲ .

6、函数 f ( x) ? cos( x ?

?

) ? cos( x ? ) 的最小正周期为 2 6

?


2 2

. ▲ .

7、已知两个非零向量 a与b, a ? b ? (?3,6), a ? b ? (?3,2), 则a ? b = 8、已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a5 ? 7, a9 ? ?7 . 则下列四个命题中真命题是 ⑴ S5 ? S 7 ⑵ S6 ? S8 ▲ .(填写序号) ⑶ S 4 ? S5 ⑷ S5 ? S7 ? S6 ? S8

9、在 ?ABC中 CD ? ? DB(? ? 0),设AD ? m AB ? n AC(m, n为实数), 则 , 值为 ▲ .

1 1 ? 的最小 m n

, 10、已知角 ? 的终边经过点 P ?1 ? 2? ,函数 f ( x) ? sin ?? x ? ? ? ?? ? 0 ? 图象的相邻两条对称

轴之间的距离等于

π ,则 3

? π? f ? ?= ? 12 ?





11、设 m, n 为空间的两条直线, ? , ? 为空间的两个平面,给出下列命题: (1)若 m∥ ? ,m∥ ? , 则 ? ∥ ? ; (3)若 m ∥ ? , n ∥ ? ,则 m ∥ n ; 上述命题中,所有真命题的序号是 ▲ (2)若 m ⊥ ? , m ⊥β,则 ? ∥ ? ; (4)若 m ⊥ ? , n ⊥ ? ,则 m ∥ n ; .

12、设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为 a ,顶点都在一个球面上,则该球的表面积 为 ▲ .

13、已知函数 f ( x) ? 2x ( x ? R) ,且 f ( x) ? g ( x) ? h( x) ,其中 g ( x) 为奇函数, h( x) 为 偶函数.若不等式 2a ? g ( x) ? h(2 x) ? 0 对任意 x ? [1, 2] 恒成立,则实数 a 的取值范围 是 ▲ .
P

14 、 如 图 , 在 三 棱 锥 P ? ABC 中 , PA 、 PB 、 PC 两 两 垂 直 , 且

PA ? 3, PB ? 2, PC ? 1 . 设 M 是 底 面 ABC 内 一 点 , 定 义 f ( M) ? (m , n ,其中 m 、 n 、 p 分别是三棱锥 M ? PAB 、三棱锥 ,p )

A M B
第 14 题

C

1 1 a M ? PBC 、 三棱锥 M ? PCA 的体积.若 f ( M ) ? ( , x, y ) ,且 ? ? 8 2 x y
恒成立,则正实数 a 的最小值为 ▲ .

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答卷纸指定区域内作答,解答时应写出文 ........ 字说明、证明过程或演算步骤. 15、(本小题满分 14 分) 设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,且 a ? 2b sin A . (1)求 B 的大小; (2)求 cos A ? sin C 的取值范围. 16、(本小题满分 14 分) 如图, 直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,D 、E 分别是棱 BC 、

AB 的中点,点 F 在棱 CC1 上,已知 AB ? AC , AA1 ? 3 , BC ? CF ? 2 .
(1)求证: C1 E // 平面 ADF ; (2)设点 M 在棱 BB1 上,当 BM 为何值时,平面 CAM ? 平面 ADF ?

17、(本小题满分 15 分) 某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒, 现准备在该厂附近建一职工宿舍, 并对宿舍进行防辐 射处理,建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关.若建造宿舍的所有费用 p (万元) 和宿舍与工厂的距离 x(km) 的关系为: p ?

k (0 ? x ? 8) ,若距离为 1km 时,测算宿 3x ? 5

舍建造费用为 100 万元.为了交通方便,工厂与宿舍之间还要修一条道路,已知购置修路设 备需 5 万元,铺设路面每公里成本为 6 万元,设 f ( x ) 为建造宿舍与修路费用之和. (1)求 f ( x ) 的表达式; (2)宿舍应建在离工厂多远处,可使总费用 f ( x ) 最小,并求最小值.

18、(本题满分 15 分) 如图,半径为 1 圆心角为

︵ 3? 圆弧AB上有一点 C. 2 C

︵ (1) C 为圆弧 AB中点时, 为线段 OA 上任一点, | OC ? OD | 的 当 D 求 最小值; ︵ (2)当 C 在圆弧 AB 上运动时,D、E 分别为线段 OA、OB 的中点,

D E

A

求 CE · DE 的取值范围.

B

19、(本小题满分 16 分) 已知实数 q ? 0 ,数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn , a1 ? 0 ,对于任意正整数 m , n 且 m>n ,

Sn ? Sm ? qm Sn?m 恒成立.
(1)证明数列 ?an ? 是等比数列; (2)若正整数 i,j,k 成公差为 3 的等差数列, S i , S j , Sk 按一定顺序排列成等差数列,

求 q 的值.

20、(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? x ln x . (1)求函数 f ( x ) 的单调递减区间; (2)若 f ( x) ? ? x 2 ? ax ? 6 在 (0, ??) 上恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)过点 A(?e?2 ,0) 作函数 y ? f ( x) 图像的切线,求切线方程.

参考答案
1、?3,??? 2、必要不充分条件 3、729 4、700 5、

2 3
2

6、?

7、21

8、 (1) (2)

(4)

9、4 10、 ?

10 10

11、(2)(4) 12、 ?a

7 3

13、 a ? ?

17 12

14、1

15. 解:(1)

? 3 3 ……7 分(2) ( , ) ………14 分 6 2 2

16、解:(1)连接 CE 交 AD 于 O ,连接 OF . 因为 CE,AD 为△ABC 中线, 所以 O 为△ABC 的重心,
CF CO 2 ? ? . CC1 CE 3

从而 OF//C1E.………………………………………………3 分 OF ? 面 ADF, C1 E ? 平面 ADF , 所以 C1 E // 平面 ADF .…………………………………………6 分 (2)当 BM=1 时,平面 CAM ? 平面 ADF . 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, 由于 B1 B ? 平面 ABC,BB1 ? 平面 B1BCC1,所以平面 B1BCC1 ? 平面 ABC. 由于 AB=AC, D 是 BC 中点,所以 AD ? BC .又平面 B1BCC1∩平面 ABC=BC, 所以 AD ? 平面 B1BCC1. 而 CM ? 平面 B1BCC1,于是 AD ? CM.…………………9 分

因为 BM =CD=1,BC= CF=2,所以 Rt?CBM ≌ Rt?FCD ,所以 CM ? DF. …11 分 DF 与 AD 相交,所以 CM ? 平面 ADF . CM ? 平面 CAM,所以平面 CAM ? 平面 ADF .………………………13 分 当 BM=1 时,平面 CAM ? 平面 ADF .…………………………………14 分 17.(Ⅰ)根据题意得 100 ?

k ? k ? 800 3 ?1 ? 5

?3 分 ?7 分 ? 11 分 ? 14 分 ? 15 分

800 ? 5 ? 6 x, 0 ? x ? 8 3x ? 5 800 ? 2(3x ? 5) ? 5 ? 80 ? 5 (Ⅱ)? f ( x) ? 3x ? 5 800 ? 2(3 x ? 5) 即 x ? 5 时 f ( x)min ? 75 . 当且仅当 3x ? 5 ? f ( x) ?
答:宿舍应建在离厂 5km 处可使总费用 f ( x ) 最小为 75 万元.

18.(15 分)解:(1)以 O 为原点,以 OA 为 x 轴正方向,建立图示坐标系, 设 D(t,0)(0≤t≤1),C( ? ∴ OC ? OD =( ?

2 2 , )………………………2′ 2 2

2 2 ? t, ) 2 2 1 1 2 2 ∴ | OC ? OD | 2 = ? 2t ? t ? = t ? 2t ? 1 (0≤t≤1)…5′ 2 2
当t ?

2 2 时,最小值为 …………………………7′ 2 2
3 π) 2

(2)设 OC =(cosα ,sinα )(0≤α ≤

1 1 )—(cosα ,sinα )=( ? cos ?,? ? sin ? )………9′ 2 2 1 1 0 又∵D( , ),E(0, ? ) 2 2 1 1 ∴ DE =( ? ,? )…………………………11′ 2 2

CE ? OE ? OC =(0, ?

∴ CE · DE = ∵

1 1 2 ? 1 (cos ? ? ? sin ? ) = sin(? ? ) ? …………13′ 2 2 2 4 4

? ? 7? ≤? ? ≤ …………………………14′ 4 4 4
1 2 1 2 ? , ? ]…………………………15′ 4 2 4 2

∴ CE · DE ∈[

19..解;(1)令 m=1, Sn ? a1 ? qSn?1 , Sn?1 ? a1 ? qSn ,两式相减得: an?1 ? qan (n ? 2) ,

令 n=2, a2 ? qa1 ,所以数列 ?an ? 是等比数列, (2)不妨设 i, i ? 3, i ? 6 ,若 Si , Si ?3 , Si ?6 成等比数列, 2Si ?3 ? Si ? Si ?6 , qi S3 ? qi ?3 S3 , q=1, 若 Si ?3 , Si , Si ?6 成等比数列, 2Si ? Si ?3 ? Si ?6 , qi S3 ? qi S6 ? 0 , q ? ? 3 2 ,, 若 Si ?3 , Si ?6 , Si 成等比数列, 2Si ?6 ? Si ?3 ? Si , qi ?3 S3 ? qi S6 ? 0 , q ? ?

1 , 3 2

20.(Ⅰ)? f '( x) ? ln x ? 1 ? f '( x) ? 0 得 ln x ? ?1

?2 分

1 1 ? 函数 f ( x) 的单调递减区间是 (0, ) ; e e 6 (Ⅱ)? f ( x) ? ? x2 ? ax ? 6 即 a ? ln x ? x ? x ?0 ? x ?

?4 分

x 2 ? x ? 6 ( x ? 3)( x ? 2) 6 ? 设 g ( x) ? ln x ? x ? 则 g '( x) ? x x2 x2
当 x ? (0, 2) 时 g '( x) ? 0 ,函数 g ( x) 单调递减; 当 x ? (2, ??) 时 g '( x) ? 0 ,函数 g ( x) 单调递增;

?7 分

? g ( x) 最小值 g (2) ? 5 ? ln 2 ? 实数 a 的取值范围是 (??,5 ? ln 2] ; ? 10 分
(Ⅲ)设切点 T ( x0 , y0 ) 则 k AT ? f '( x0 ) ?

x0 ln x0 ? ln x0 ? 1 即 e2 x0 ? ln x0 ? 1 ? 0 1 x0 ? 2 e

2 设 h( x) ? e x ? ln x ? 1 ,当 x ? 0 时 h '( x) ? 0 ? h( x) 是单调递增函数 ? 13 分

? h( x) ? 0 最多只有一个根,又 h(

1 1 1 1 ) ? e2 ? 2 ? ln 2 ? 1 ? 0 ? x0 ? 2 2 e e e e 1 ? 16 分 由 f '( x0 ) ? ?1 得切线方程是 x ? y ? 2 ? 0 . e


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