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二项式定理公开课课件


香河一中秦淑霞

(二)、创设情境——引出问题 问题:今天是星期五,

7天后的这一天是星期几呢? 15天后的这一天呢?

算法:用各个数除以7,看余数是多少, 再用五加余数来推算

若今天是星期五,再过8100天后的那一天是星期几?

8 除以7的余数是多少?
10

0

8

100

? (7 ? 1)
?

100

(a ? b) (n ? N )的展开式是什么?
n

(三)、存疑设问——突破难点
推陈出新

(a ? b) ? a ? b
1

(a ? b) ? a ? 2ab ? b
2
2

2

(a ? b) ?
3

?

(a ? b)4 = ?
(a ? b)5 = ?
……

对 (a ? b)2 展开式的分析
(a+b)2是2个(a+b)相乘,即(a+b)2= (a+b)* (a+b) = (a + b)* (a + b)=aa+ab+ba+bb 每个(a+b)在相乘时有两种选择,选a或选b,而且每个 (a+b)中的a或b都选定后,才能得到展开式的一项。由 分步乘法计数原理,在合并同类项之前, (a+b)2的展 开式共有2*2=22项,而且每一项a,b次数和都是2且每一 项都是都是 a2-kbk(k=0,1,2) 的形式。

对(a+b)2展开式的分析
(a+b)2= (a+b) (a+b) 展开后其项的形式为:a2 , ab , b2
这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。考虑b

每个都不取b的情况有1种,即C20 ,则a2前的系 数为C20 恰有1个取b的情况有C21种,则ab前的系数为C21 恰有2个取b的情况有C22 种,则b2前的系数为C22 (a+b)2 = a2 +2ab+b2 =C20 a2 + C21 ab+ C22 b2 (a+b)3=a3 + 3a2b+3ab2 + b3

= C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3

(a+b)4= (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)=?

问题:
1).(a+b)4展开后各项形式分别是什么? a4 a3b a2b2 ab3 b4 2).各项前的系数代表着什么?

各项前的系数 代表着这些项在展开式 中出现的次数
3).你能分析说明各项前的系数吗?

3).你能分析说明各项前的系数吗?
(a+b)4= (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)
项: a4 a3b a2b2 ab3 b4

都 不 取 b 系数:C
0 4

取 一 个 b

取 两 个 b

取 三 个 b

取 四 个 b

C

1 4

C

2 4

C

3 4

C

4 4

(a+b)4=C40a4 +C41a3b +C42a2b2 +C43ab3 +C44b4 结果:

请同学们猜一猜:

(a ? b)
尝试猜想

5

= ?

......(a ? b)

n

= ?

(a ? b) ? ? (n ? N )
n *
知识,只有以我们自主探 索的方式获得才显得更为珍贵。

初步归纳

猜想:(a+b)n展开式又是怎样的呢?
(a ? b) ? ()a ? ()a b ? ?? ()a
n n n?1 n ?k

b ? ?? ()b
k

n

(a ? b) ? C a ? C a b ? ?? C a
n 0 n n k n

1 n?1 n

n ?k

b ? ?? C b
k

n n n

(n? N )

*

证明:
(a+b)n是n个(a+b)相乘,每个(a+b)在相乘时有两种选择选a 或选b,而且每个(a+b)中的a或b都选定才能得到展开的一 项。在合并同类项之前,由分步乘法计数原理,(a+b)n的展 开式共有2n项,而且每一项都是 an-kbk(k=0,1,2,…,n) 的形式. 对应的项an-kbk是由 对于某个k (k∈{ 0,1,2,…,n }), n-k个(a+b)中选a, k个(a+b)中选b得到的.由于b选定后, a的选法也随之确定,

因此, an-kbk出现的次数相当于

k Cn , 这样,(a+b)n的展开式中, 从n个(a+b)中取k个b的组合数 k 将它们合并同类项, 就得到二项展开式: a n?k bk 共有Cn 个,

0 1 k n (a ? b)n ? Cn an ? Cn an?1b ? ?? Cn an?k bk ? ?? Cn bn

(n? N * )

二项式定理(binomial theorem)
0 1 k n (a ? b)n ? Cn an ? Cn an?1b ? ?? Cn an?k bk ? ?? Cn bn

二项式

二项展开式

(n ? N ? )

这个公式叫做 二项式定理,左边的多项式叫做 二项式, 右边的多项式叫做 ? a ? b ? 的二项展开式,
n

Cnk ? k ? 0,1,2 ??? n? 称为二项式系数, 其中各项的系数
k 式中的 Cn a n?k ? bk 叫做二项展开式的通项,它是二项

展开式的第 k

? 1 项,记作: Tk ?1

?C a b
k n

n ?k

k

第 k ? 1 项的二项式系数

通项
n n n

?a ? b?

n

? C a ? C a b ? ??? ? C a b ? ??? ? C b
0 n n

1 n?1 n

k n ?k k n

二项式

二项展开式

0 1 2 n 1.系数规律:C n、C n、C n、? ? 、C n ?

2.指数规律: (1)各项的次数均为n; (2)a的次数按降幂排列,由n降到0, b的次数按升幂排列,由0升到n. 3.项数规律:展开式共有n+1个项

在二项式定理中,令a=1,b=x,则有:

(1 + x) = 1 + C x + C x + ? + C x + ? + C x
在上式中,令 x = 1,则有:

n

1 n

2 2 n

r r n

n n n

2 = C + C + C +?+ C +?+ C

n

0 n

1 n

2 n

r n

n n

例1:求(1? 2 X ) 的展开式
5

解:( ? 2 x)5 ? 1
0 1 3 4 5 C5 (2 x) 0 ? C5 (2 x)1 ? C52 (2 x) 2 ? C5 (2 x)3 ? C(2 x) 4 ? C5 (2 x)5 5

? 1 ? 10x ? 40x 2 ? 80x 3 ? 80x 4 ? 32x 5
( 求 1 ? 2 x) 5 展开式第三项以及其二项式系数,求x3项的系数

T3 ? C52 (?2 x) 2 ? 40x 2 二项式系数为 52 ? 10 C
3 x 3项T4 ? C5 (?2 x)3 ? -80x 3

x 3项系数 - 80

? 引例:今天是星期五,若 8100 天后的这一天是星
期几呢?
0 1 r 解: ?8100 ? 7 ?1 100 ? C100 7100 ? C100 799 ? ?? C100 7100?r ( )
99 100 ?? ? C100 71 ? C100 70

被7除的余数是1,因此 8 一天是星期六.
∴8

100

100

天后的这

1.知识收获:二项式定理;二项式定理的表达 式及展开式的通项、二项式系数与系数的概念。 第 k ? 1 项的二项式系数 通项 二项式定理

? a ? b?
二项式

n

? C a ? C a b ? ??? ? C a b ? ??? ? C b
0 n n k n

1 n ?1 n

n? k k

n n n

二项式展开式

2.方法收获:正确区分“项的系数”和“二项式系 数” 3.思维收获 归纳猜想的数学思想 从特殊 —— 一般 —— 特殊, 类比思想,

P 习题1.3的第2、4(1)(2) 布置作业: 37

课本P31练习: 7 1.写出 ? p ? q ? 的展开式.
2.求 ? 2a ? 3b ? 的展开式的第三项.
6

3.求

? 3b ? 2a ?
3

6

的展开式的第三项.

4. x ? 2 x

?

?

7

3 C7 ?_ , 35 的展开式的第四项的二项式系数是

3 C7 ? 23 ? 280. 第四项的系数是

5、选择题: x ? 1? 的展开式的第 6 项的系数是 D ?
10
6 A C10

.

B

6 ? C10

5 C C10

D

5 ? C10

课堂练习:

1 4 2、(1)求 (2 x ? ) 的二项展开式. x
(2)求

(1 ? 2x)

7

的二项展开式.

(3)求

1 7 (x ? ) x

的展开式中x 项的系数

3


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