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2013届高三新课标数学配套月考试题一


2013 届高三新课标数学配套月考试题一 A
适用地区:新课标地区 考查范围:集合、逻辑、函数、导数 建议使用时间:2012 年 8 月底 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.考生作答时,将答案答在答题卡上.在 本试卷上答题无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码

上的姓名、准 考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;非选择题 答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效. 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损. 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题 目要求的.) 1. (2012·郑州质检)集合 A={0,1,2} ,B={ x ? 1 ? x ? 2 },则 A ? B ? ( A.{0} B.{1} C.{0,1}
2x ?1 log
2

C. x | ? 3 ? x ? ? 3

?

?

D. x | 1 ? x ?

?

3

?

图1 6.(2012·哈尔滨第六中学三模)命题“ ? x ? R , x ? 2 x ? 4 ? 0 ”的否定为(
2



A. ? x ? R , x ? 2 x ? 4 ? 0
2

B. ? x ? R , x ? 2 x ? 4 ? 0
2

C. ? x ? R , x ? 2 x ? 4 ? 0
2

D. ? x ? R , x ? 2 x ? 4 ? 0
2

7. [2012· 山东卷]设命题 p:函数 y ? sin 2 x 的最小正周期为 线x
? π 2

π 2

;命题 q:函数 y ? cos x 的图象关于直



对称,则下列判断正确的是( B. ? q 为假

) D. p ? q 为真
2

D.{0,1,2} 的定义域为( )

2. (2012·郑州质检)函数 f ? x ? ? A. ?0 , ?? ? B. ?1, ?? ?

A. p 为真

C. p ? q 为假
x ? ?1 ? a
2

x

C. ? 0 ,1 ?

D. ?0 ,1 ? ? ?1, ?? ? )

8. (2012· 昆明第一中学一摸) 函数 f ? x ? ? 等于( A.0 ) B.-1

?x?a

x

是奇函数,且在 ? 0, ? ? ? 上单调递增,则 a

3. (2012·山东卷)已知全集 U ? ? 0,1, 2, 3, 4 ? ,集合 A ? ?1, 2, 3? , B ? ? 2, 4 ? ,则 ? ?U A ? ? B 为( A. ?1, 2, 4 ? B. ? 2, 3, 4 ?
?
4

C.1

D. ? 1

C. ? 0, 2, 4 ?

D. ? 0, 2, 3, 4 ? )

9.(2012·大连沈阳联考)设 a , b 是平面 ? 内两条不同的直线,是平面 ? 外的一条直线,则“ l ? a ,
l ? b ”是“ l ? ? ”的(

) B.充分而不必要的条件 D.既不充分也不必要的条件 )

4.[2012·湖南卷]命题“若 α= A.若 α≠
?
4

,则 tanα=1”的逆否命题是( B. 若 α=
?
4

A.充要条件 C.必要而不充分的条件

,则 tanα≠1
?
4

,则 tanα≠1
?
4

10. (2012· 昆明第一中学一摸) 函数 f ? x ? ? lg x 与 g ? x ? ? 7 ? 2 x 图象交点的横坐标所在区间是 ( A. (1,2) B. (2,3) C. (3,4) D. (1,5)

C. 若 tanα≠1,则 α≠

D. 若 tanα≠1,则 α=

11.(文) (2012·哈尔滨第六中学三模)函数 y ? f ( x ) 在点 ( x , y ) 处 0 0 的切线方程为 y ? 2 x ? 1 ,则 lim A. ? 4 B. ? 2
f (x0 ) ? f (x0 ? 2?x) ?x

5. (2012·太原模拟)已知集合 M ? x | y ? 1 中阴影部分表示的集合为( A. x | ? 3 ? x ? 1 )

?

3? x

2

? 0 , N ? ? x | x ? 1 ? 2 ? ,全集 I ? R ,则图

?

?x? 0

等于(



?

?

C. 2

D. 4

B. ? x | ? 3 ? x ? 1?
-1-

12. (文) (2012· 昆明第一中学一摸) 已知 x ? [ ? 1,1] , 则方程 2 A.2 B.3

? x

? co s 2 π x 所有实数根的个数为 (



18.(本小题满分 12 分)
? x ? 2, ? 2 已知 f ( x ) ? ? x , ? 2 x, ? x ? ? 1, ? 1 ? x ? 2, x ? 2,

C.4 D.5 第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在答题卷相应位置上. 13. (2012·唐山二模)

且 f ( a ) ? 3 ,求实数 a 的值.

14.(2012·郑州质检)定义在 R 上的函数 f ? x ? 是增函数,则满足 f ? x ? ? f ? 2 x ? 3 ? 的取值范围 是 . 15.[2012·上海卷]若集合 A ? { x | 2 x ? 1 ? 0} , B ? { x || x ? 1 |? 2} ,则 A ? B ? 16. ( 2012 · 保 定 二 模 ) 设 集 合
? 2 x ? x ? A ?, ? f (x ) ? ? x 0 ? A且 f 4 -2 x ? x ? B ? , ? ?

. 函 数

A ? { x 0 ? x <1}, B ? ? x | 1 ? x ? 2 ? ,

? f (x 0 ) ? ?

A , 则 x0 取值区间是

.

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.) 17. (本小题满分 10 分) 已知集合 A ? ?x | 3 ? x ? 7 ? , B ? ?x | 2 ? x ? 10 ? , C ? ?x | 5 ? a ? x ? a ? . (1)求 A ? B , ? ?R A ? ? B ; (2)若 C ? ? A ? B ? ,求 a 的取值范围. 19.(本小题满分 12 分) [2012· 陕西卷](1)如图 3,证明命题“ a 是平面 ? 内的一条直线, b 是 ? 外的一条直线( b 不垂 直于 ? ) c 是直线 b 在 ? 上的投影,若 a ? b ,则 a ? c ”为真. , (2)写出上述命题的逆命题,并判断其真假(不需要证明) .

图3

-2-

20.(本小题满分 12 分) 时下,网校教学越来越受到广大学生的喜爱,它已经成为学生们课外学习的一种趋势,假设某网 校的套题每日的销售量 y (单位:千套)与销售价格 x (单位:元/套)满足的关系式
y ? m x?2 ? 4 ? x ? 6 ? ,其中 2 ? x ? 6 , m 为常数.已知销售价格为 4 元/套时,每日可售出套题
2

21 千套. (1)求 m 的值; (2)假设网校的员工工资,办公等所有开销折合为每套题 2 元(只考虑销售出的套数) ,试确定销 售价格 x 的值,使网校每日销售套题所获得的利润最大.(保留 1 位小数)

22. (本小题满分 12 分)
2 B (文) [2012· 广东卷]设 0 ? a ? 1 , 集合 A ? { x ? R | x ? 0} , ? { x ? R | 2 x ? 3(1 ? a ) x ? 6 a ? 0} ,

D ? A? B .

(1)求集合 D (用区间表示). (2)求函数 f ( x ) ? 2 x ? 3(1 ? a ) x ? 6 ax 在 D 内的极值点.
3 2

21. (本小题满分 12 分) (文)[2012·北京卷]已知函数 f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx. (1)若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求 a,b 的值; (2)当 a=3,b=-9 时,若函数 f(x)+g(x)在区间[k,2]上的最大值为 28,求 k 的取值范围.

-3-

试卷类型:A 2013 届高三新课标原创月考试题一答案 数学 1. C【解析】 A ? B ? ? 0,1? . 2. D【解析】由 ,得 x ? 1 ,又 x ? 0 ,故函数 lo g 2 x ? 0

? 0, ? ? ? 上单调递增.综上, a

?1.

9. C【解析】由线面垂直的定义可知 l ? ? ? l ? a , l ? b ,反之只有当 a 与 b 是两条相交直线时才成 立,故“ l ? a , l ? b ”是“ l ? ? ” 必要而不充分的条件.

f

?x? ?

的定义域为 ?0 ,1 ? ? ?1, ?? ? . 2x ?1
lo g 2 x

10. C【解析】设 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? lg x ? 2 x ? 7 ,因为 h ? 3 ? ? lg 3 ? 1 ? 0, h ? 4 ? ? lg 4 ? 1 ? 0 ,
?
4

( ? 4} 3. C【解析】 ?U A ? {0, 4} ,所以 ?U A) B ? {0, 2, ,选 C.

所以 h ? 3 ? h ? 4 ? ? 0 .又函数 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? lg x ? 2 x ? 7 的图象是连续不断的,所以由零 ,则 tanα=1”的 点存在定理得, h ? x ? 的零点在区间 ? 3, 4 ? 内,即函数 f ? x ? ? lg x 与 g ? x ? ? 7 ? 2 x 图象交点的横 坐标所在区间是 ? 3, 4 ? . 11. ( 文 ) D 【
? 1 2

4. C【解析】因为“若 p ,则 q ”的逆否命题为“若 ? q ,则 ? p ” ,所以 “若 α= 逆否命题是“若 tanα≠1,则 α≠
?
4

”.
2

5. C 【解析】由题意,集合 M ? ? x | 3 ? x ? 0 ? ? x | ? 3 ? x ? 部分为 ? ?I M ? ? N ? x | x ? ? 3或 x ?

?

3 , N ? ? x | ? 3 ? x ? 1? ,所以阴影

?


? lim












? 2,

定 所



得 以

?

3 ? ? x | ? 3 ? x ? 1? ? x | ? 3 ? x ? ? 3 .
f ? ( x 0 ) ? lim
2
?x? 0

?

?

?

f ( x0 ) ? f ( x0 ? 2 ? x ) 2?x

f ( x0 ) ? f ( x0 ? 2 ? x ) ?x

? 6. B 解析】 【 全称性命题的否定一要否量词, 二要否结论, 所以原命题的否定为: x ? R , x ? 2 x ? 4 ? 0 .

?x? 0

7. C 【解析】函数 y ? sin 2 x 的最小正周期为

2π 2



,所以命题 p 为假;函数 y ? cos x 的对称轴为

?x ? 0

lim

f ( x0 ) ? f ( x0 ? 2 ? x ) ?x

? 4

.

x ? k π , k ? Z ,所以命题 q 为假,所以 p ? q 为假.

12.(文)D【解析】设 f ? x ? ? 2

? x

, g ? x ? ? co s 2 ? x .易知函数 f ? x ? ? 2
? x

? x

的图象关于 y 轴对称,函

8. C【解析】方法一:由函数 f ? x ? 是奇函数,得 f ? ? x ? ?
x ? ?1 ? a
2 2

??x?

2

? ?1 ? a ?x

2

???x? ? a
2

? ? f

?x? ?

数 g ? x ? ? co s 2 π x 的最小正周期为 1,作出函数 f ? x ? ? 2 示).数形结合易知函数 f ? x ? ? 2
? x

与函数 g ? x ? ? co s 2 π x 的图象(如下图所
? x

?

?x?a

对一切实数 R 恒成立,即

x ? ?1 ? a
2

2

?x?a

x

?x

?

x ? ?1 ? a
2

?x?a

与函数 g ? x ? ? co s 2 π x 的图象有 5 个交点,故方程 2

? co s 2 π x

?x

对一切实数 R 恒

所有实数根的个数为 5.

2 成 立 , 所 以 ? ?1 ? a 2 ? x ? ?1 ? a 2 ? x 对 一 切 实 数 R 恒 成 立 , 故 1 ? a ? 0 , 解 得 a ? ? 1 . 当 a ? ? 1

时, f ? x ? ?

x ?1
2

? x?

1 x

x

不 满 足 在 ? 0, ? ? ? 上 单 调 递 增;当 a ? 1 时 , f ? x ? ?
?1.
2

x ?1
2

? x?

1 x

满足在

x

? 0, ? ? ? 上单调递增.综上, a
方法二: f ?x? ? x ? 时, f ? x ? ?
x ?1
2

a x

? ?1 ? a

?

2 , 若 函 数 f ? x ? 是 奇 函 数 , 则 1 ? a ? 0 , 解 得 a ? ?1 . 当 a ? ?1

? x?

1 x

x

不 满 足 在 ? 0, ? ? ? 上 单 调 递 增;当 a ? 1 时 , f ? x ? ?

x ?1
2

? x?

1 x

满足在
-4-

x

13. 14.

? lg 2, ? ? ? 【解析】由 1 0 x

? 2 ? 0 ,得 x ? lg 2 .

③当 a ? 2 时, f ( a ) ? 2 a ? 3 ,解得 a ?
? 3.
? 1 ? ? ? 1? 0 ? ? x? } 2?

3 2

,这与 a ? 2 前提矛盾;

? 3, ? ? ? 【解析】由函数 f ? x ? 是增函数,得 x ? 2 x ? 3 ,解得 x
? 1 ? ? ? ,3? ? 2 ?

综上所述,实数 a 的值为 3 .
?x

15.

















A ?{

x 2 ?

, x |

B ? { x x ? 1 ? 2 } ? { x ? 1 ? x ? 3} ,所以 A ? B ?

19. 解: (1)证法一:如下图,过直线 b 上任一点作平面 π 的垂线 n,设直线 a,b,c,n 的方向向量 分别是 a,b,c,n,则 b,c,n 共面.根据平面向量基本定理,存在实数 λ,μ 使得 c=λb+μn,则 a· c =a· (λb+μn)=λ(a· b)+μ(a· n),

1 ? ? ? 1 ? ? x | ? ? x ? 3 ? ,即 ? ? , 3 ? . 2 ? ? ? 2 ?

16. ? lo g 2
?

?

? x 因为 0 ? x 0 ? 1 , 所以 1 ? 2 0 ? 2 .所以 f ,1 ?【解析】 2 ? 3
x0

? x 0 ? ? B .所以

f ?f ?

? x0 ?? ?

? 4 ? 2?2

x0

.

由题知 0 ? 4 ? 2 ? 2

? 1 ,可得

3 2

? 2

x0

? 2 ,解得 lo g 2

3 2

? x 0 ? 1 .又 0 ? x 0 ? 1 ,所以 lo g 2

3 2

? x0 ? 1 .

17.解: (1) A ? B ? ?x | 2 ? x ? 10 ? , 因为 ?R A ? ? x | x ? 3或 x ? 7 ? , 所以 ? ?R A ? ? B ? ? x | 2 ? x ? 3或 7 ? x ? 1 0 ? . (2)由(1)知 A ? B ? ?x | 2 ? x ? 10 ? , c. ①当 C= ? 时,满足 C ? ? A ? B ? ,此时 5 ? a ? a ,得 a ?
5 2

因为 a⊥b,所以 a· b=0, 又因为 a ? π,n⊥π,所以 a· n=0, 故 a· =0,从而 a⊥c. c 证法二:如图,记 c∩b=A,P 为直线 b 上异于点 A 的任意一点,过 P 作 PO⊥π,垂足为 O,则 O∈ ; 因为 PO⊥π,a ? π,所以直线 PO⊥a, 又 a⊥b,b ? 平面 PAO,PO∩b=P, 所以 a⊥平面 PAO. 又 c ? 平面 PAO,所以 a⊥c.

?5 ? a ? a , 5 ? ②当 C≠ ? 时,要 C ? ? A ? B ? ,则 ? 5 ? a ? 2, 解得 ? a ? 3 . 2 ? a ? 10 , ?

由①②得, a ? 3 .

18.解:由已知 f ( a ) ? 3 , ①当 a ? ? 1 时, f ( a ) ? a ? 2 ? 3 ,解得 a ? 1 ,这与 a ? ? 1 前提矛盾; ②当 ? 1 ? a ? 2 时, f ( a ) ? a ? 3 ,解得 a ? ? 3 ,由于 ? 1 ? a ? 2 ,则有 a ?
2

3;

-5-

(2)逆命题为:a 是平面 π 内的一条直线,b 是 π 外的一条直线(b 不垂直于 π),c 是直线 b 在 π 上的投影,若 a⊥c,则 a⊥b. 逆命题为真命题. 20. 解: (1)因为 x ? 4 时, y ? 2 1 , 代入关系式 y ? 解得 m ? 10 . (2)由(1)可知,套题每日的销售量 y ? 所以每日销售套题所获得的利润
2 ? 2 ? 10 3 2 f (x) ? ? x ? 2 ? ? ? 4 ? x ? 6 ? ? ? 10 ? 4 ? x ? 6 ? ? x ? 2 ? ? 4 x ? 56 x ? 240 x ? 278 ? 2 ? x ? 6 ? , ?x?2 ?

当-3<k<2 时,函数 h(x)在区间[k,2]上的最大值小于 28. 因此,k 的取值范围是(-∞,-3]. 22. (文)解: (1)x∈D?x>0 且 2x2-3(1+a)x+6a>0. 令 h(x)=2x2-3(1+a)x+6a,Δ=9(1+a)2-48a=3(3a-1)(a-3).

m x?2

? 4 ? x ? 6 ? ,得
2

m 2

? 16 ? 21 ,

1 ①当 <a<1 时,Δ<0,所以?x∈R,h(x)>0,所以 B=R. 3 于是 D=A∩B=A=(0,+∞).

10 x?2

? 4? x ? 6? ,
2

1 3?1+ ? 3?1+a? ? 3? 1 ②当 a= 时,Δ=0,此时方程 h(x)=0 有唯一解 x1=x2= = =1, 3 4 4 所以 B=(-∞,1)∪(1,+∞).于是 D=A∩B=(0,1)∪(1,+∞). 3+3a- 3?3a-1??a-3? 1 ③ 当 0<a< 时 , Δ>0 , 此 时 方 程 h(x) = 0 有 两 个 不 同 的 解 x1 = , x2 = 3 4 3+3a+ 3?3a-1??a-3? . 4 因为 x1<x2 且 x2>0,所以 B=(-∞,x1)∪(x2,+∞). 又因为 x1>0?a>0,所以 D=A∩B=(0,x1)∪(x2,+∞). (2)f′(x)=6x2-6(1+a)x+6a=6(x-1)(x-a). 当 0<a<1 时,f(x)在(0,+∞)上的单调性如下: x (0,a) + ? a 0 极大值 (a,1) - ? 1 0 极小值 (1,+∞) + ?

从而 f ' ? x ? ? 1 2 x 2 ? 1 1 2 x ? 2 4 0 ? 4 ? 3 x ? 1 0 ? ? x ? 6 ? ? 2 ? x ? 6 ? . 令 f '? x ? ? 0 , x ? 得
10 3

,且在 ? 2,
?

?

10 ? ? 10 ? ' ' , 6 ? 上, f ( x ) ? 0 , 函数 f ( x ) 单调递增; ? 在 ? 上, f ( x ) ? 0 , 3 ? 3 ? ?

函数 f ( x ) 单调递减, 所以 x ?
10 3

是函数 f ( x ) 在 ? 2, 6 ? 内的极大值点,也是最大值点,
10 3 ? 3 .3 时,函数 f ( x ) 取得最大值.

f′(x) f(x)

所以当 x ?

故当销售价格为 3.3 元/套时,网校每日销售套题所获得的利润最大. 21. (文)解: (1)f′(x)=2ax,g′(x)=3x2+b. 因为曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,所以 f(1)=g(1) ,且 f′ (1)=g′(1) , 即 a+1=1+b,且 2a=3+b,解得 a=3,b=3. (2)记 h(x)=f(x)+g(x).当 a=3,b=-9 时,h(x)=x3+3x2-9x+1,h′(x)=3x2+6x-9. 令 h′(x)=0,得 x1=-3,x2=1. h(x)与 h′(x)在(-∞,2]上的情况如下:

1 ①当 <a<1 时,D=(0,+∞).由表可得,x=a 为 f(x)在 D 内的极大值点,x=1 为 f(x)在 D 内的极小 3 值点. 1 1 ②当 a= 时,D=(0,1)∪(1,+∞).由表可得,x= 为 f(x)在 D 内的极大值点. 3 3 1 ③当 0<a< 时,D=(0,x1)∪(x2,+∞). 3 3+3a- 3?3a-1??a-3? 3+3a- ?3-5a?2-16a2 1 3+3a 因为 x1= = ≥ [3+3a-(3-5a)]=2a>a 且 x1< 4 4 4 4 <1, x2= 3+3a+ 3?3a-1??a-3? 3+3a+ ?1-3a?2+?8-24a? 3+3a+?1-3a? = > =1, 4 4 4

x h′(x) h(x)

(-∞,-3) + ?

-3 0 28

(-3,1) - ?

1 0 -4

(1,2) + ?

2

所以 a∈D,1?D. 3 由表可得,x=a 为 f(x)在 D 内的极大值点.

由此可知:当 k≤-3 时,函数 h(x)在区间[k,2]上的最大值为 h(-3)=28;
-6-


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