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合情推理用


2.1.1合情推理

已知的判断

确定

新的判断

根据一个或几个已知的判断来确定一个 新的判断的思维过程就叫推理.

合情推理 推理

演绎推理 推理与证明
直接证明 证明 间接证明

数学皇冠上璀璨的明珠——哥德巴赫

猜想
3+7=10 3+17=20 13+17=30

10= 3+7 20= 3+17 30= 13+17
一个规律: 偶数=奇质数+奇质数

6=3+3, 8=3+5, 10=5+5, ?? 1000=29+971, 1002=139+863, ??

猜想任何一个不小于6的 偶数都等于两个奇质数的和.

归纳推理的过程: 哥德巴赫猜想的过程:
具体的材料 观察分析 猜想出一般性的结论

由某类事物的部分对象具有某些特征, 推出该类事物的 全部对象都具有这些特征 的推理,或者由个别事实概括出 一般结论 的推理,称为归纳推理(简称归纳).

1,3,5,7,…,由此你猜想出第 个数是_______. 2n ? 1

n

这就是从部分到整体,从个别到一般的归纳推理.

统计初步中的用样本估计总体 通过从总体中抽取部分对象进 行观测或试验,进而对整体做出推断. 成语“一叶知秋”

意思是从一片树叶的凋落,知道秋
天将要来到.比喻由细微的迹象看出整体 形势的变化,由部分推知全体.

1.已知数列{an}的第一项 a1 =1, an 且 an ?1 ? ( n =1,2,3,· · · ), 1 ? an

1 an ? 请归纳出这个数列的通项公式为________. n

2.数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E,然 后探求面数F、顶点数V和棱数E之间的关系.

四棱柱

三棱锥

八面体

三棱柱

四棱锥

尖顶塔

凸多面体
四棱柱 三棱锥 八面体

面数(F)

顶点数(V)

棱数(E)

三棱柱
四棱锥 尖顶塔

四棱柱

凸多面体
四棱柱 三棱锥 八面体

面数(F)
6

顶点数(V)
8

棱数(E)
12

三棱柱
四棱锥 尖顶塔

四棱柱

三棱锥

凸多面体
四棱柱 三棱锥 八面体

面数(F)
6 4

顶点数(V)
8 4

棱数(E)
12 6

三棱柱
四棱锥 尖顶塔

四棱柱

三棱锥

八面体

凸多面体
四棱柱 三棱锥 八面体

面数(F)
6 4 8

顶点数(V)
8 4 6

棱数(E)
12 6 12

三棱柱
四棱锥 尖顶塔

四棱柱

三棱锥

八面体

三棱柱

凸多面体
四棱柱 三棱锥 八面体

面数(F)
6 4 8 5

顶点数(V)
8 4 6 6

棱数(E)
12 6 12 9

三棱柱
四棱锥 尖顶塔

四棱柱

三棱锥

八面体

三棱柱

凸多面体
四棱柱 三棱锥 八面体

面数(F)
6 4 8 5 5

顶点数(V)
8 4 6 6 5

棱数(E)
12 6 12 9 8 四棱锥

三棱柱
四棱锥 尖顶塔

四棱柱

三棱锥

八面体

三棱柱

凸多面体
四棱柱 三棱锥 八面体

面数(F)
6 4 8 5 5

顶点数(V)
8 4 6 6 5

棱数(E)
12 6 12 9 8 16 四棱锥

三棱柱
四棱锥 尖顶塔

9

9

尖顶塔

凸多面体 四棱柱 三棱锥 八面体 三棱柱 四棱锥 尖顶塔

面数(F) 6

顶点数(V) 8

棱数(E) 12

4
8 5 5

4
6 6 5 9

6
12 9 8 16

9

猜想凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E之间的关系式为:

F+V-E=2

欧拉公式

练习
(2004春季上海)根据图中5个图形及相应点的个数
的变化规律,试猜测第n个图形中有

n ? n ? 1个点.
2

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

归纳推理 归纳推理的基础 归纳推理的作用 注意

由部分到整体、 个别到一般的推理 观察、分析 发现新事实、 获得新结论

归纳推理的结论不一定成立

在创造发明中, 人们经常应用 类比

地球

火星

行星、围绕太阳运行、绕 行星、围绕太阳运行、绕 轴自转 轴自转 有大气层 有大气层 一年中有四季的变更 一年中有四季的变更 大部分时间的温度适合地 球上某些已知生物的生存

温度适合生物的生存

有生命存在

可能有生命存在

火星与地球类比的思维过程:
存在类似特征

地球

火星

地球上有生命存在

猜测火星上也可能有生命存在

由两类对象具有某些类似特征和其中

一类对象的某些已知特征,推出另一类对
象也具有这些特征的推理称为类比推理.

我们已经学习过“等差数列”与“等比数 列”.

你是否想过“等和数列”、“等积数 列” ?

从第二项起,每一项与其前一项的 差等于一个常数的数列是等差数列.
类 推

从第二项起,每一项与其前一项的 和等于一个常数的数列是等和数列.

试根据等式的性质猜想不等式的性质. 等式的性质:
(1) a ? b ? a ? c ? b ? c ; (2) a ? b ? ac ? bc ; (3) a ? b ? a 2 ? b 2;等等.

类比推理的结论不一定成立.
课本26页例3

试将平面上的圆与空间的球进行类比

.

.

圆的定义:平面内到一个定点的距离等于定 长的点的集合. 球的定义:到一个定点的距离等于定长的点 的集合.


弦 直径 周长 面积

截面圆 大圆 表面积 体积



圆的概念和性质

球的类似概念和性质

圆心与弦(非直径)中点连线垂直 球心与截面圆(不经过球心的截面圆) 圆心连线垂直于截面圆. 于弦. 与圆心距离相等的两弦相等;与圆 与球心距离相等的两截面圆面 心距离不等的两弦不等,距圆心较 积相等;与球心距离不等的两 截面圆面积不等,距球心较近 近的弦较长. 的截面圆面积较大. 以点P(x0,y0)为圆心,r为半径的圆 以点P(x0,y0,z0)为球心,r为半径 的球的方程为 的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2. (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2.

例题4:请同学们看课本P26 (3分钟)
B

P S1 S2 D S3 F

C

A

E

类比推理

由特殊到特殊的推理

类比推理

以旧的知识为基础,推测新 的结果,具有发现的功能

注意 类比推理的结论不一定成立

归纳推理
由部分到整体、特殊到一般的推理; 以观察分析为基础,推测新的结论; 具有发现的功能; 结论不一定成立.

类比推理
由特殊到特殊的推理; 以旧的知识为基础,推测新的结果; 具有发现的功能; 结论不一定成立.

小结

?
观察、分析、 比较、联想 归纳、 类比 提出 猜想

归纳推理和类比推理的过程
从具体问 题出发

归纳推理 合情推理 类比推理
通俗地说,合情推理是指“合乎情理”的推理.


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