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2.2.1、对数与对数运算(第一课时)


对数与对数运算(一)

对数的发明者 约翰· 纳皮尔
(John Napier, 1550~1617) 苏格兰数学家、

神学家

回顾指数 ?
? ? ? ? ? 22 = 4 25 = 32 2x = 26

X=

问题1:假设1995年我国国民生产总值为a亿 元,如果每年平均增长8%,那么,经过多 少年国民生产总值是1995年时的2倍?
分 析:
X 年 1995年生产总值 1996年生产总值 1997年生产总值 1998年生产总值 … … ? -----a(1+8%)x =2a ------a ------a(1+8%) -----a(1+8%)(1+8%)=a(1+8%)2 -----a(1+8%)2(1+8%)=a(1+8%)3

∴1.08x=2

怎样求出这个x?

定义:一般地,如果 的b次幂等于N, 就是

a?a ? 0, a ? 1?
,那么数 b叫做

a ?N
b

以a为底 N的对数,记作 loga N ? b a叫做对数的底数,N叫做真数。

指数

b∈R

对数

b∈R

ab=N
幂 N>0

解出b 解出N

b= logaN
真数
N>0

底数 a>0且a≠1

底数 a>0且a≠1

常用对数: 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。 为了简便,N 的常用对数 log10 N ,简记作 lgN 自然对数: 在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……

为底的对数叫做自然对数.
为了简便,N 的自然对数loge N , 简记作 lnN

例1 将下列指数式转化为对数式,对数式转化为指数式。 (1)

5 ? 625
4
m

(2)

1 2 ? 64
?6
2

1? (3) ? ? ? ? 5.73 ?3?

(4)log 1 16 ? ?4 (6) ln10 ? 2.303
x

(5)log 0.01 ? ?2

关键

当a ? 0, a ? 1时,a ? N ? x ? loga N

(1)54=62 5?2?2-6 ? 1 64
?1? ?3?? ? ? 5.73 ? 3? ?4?log1 16 ? ?4
m

log5 625 ? 4
1 log 2 ? ?6 64
log1 5.73 ? m
?1? ? ? ? 16 ?2? 10-2 ? 0.01
3 -4

?5?lg0.01 ? ?2
?6?ln10 ? 2.303

2

e

2.303

? 10

例题巩固
例2 求下列各式中x的值

(1) log 64

2 x?? 3

(2) log x 8 ? 6 (4) ? ln e ? x
2

(3) lg100 ? x
关键

1)解题的关键是利用对数函数的定义 2)对数函数和指数函数之间的关系:
当a ? 0, a ? 1时,a x ? N ? x ? loga N

学习探究 探究任务:对数的性质 1、求下列各式的值:
(1) (2)

log 1 1 ? ____ 0
2

0 log2 1 ? ____ loga 1 ? 0 (3) lg1 ? ____ 0 (4) ln1 ? ___ 0 思考:你发现了什么?如何用对数式表示?

2、求下列各式的值:

1 1 (1) log 1 ? ____ 2 2

(2) log2 2 ? ____ 1 1 lg10 ? ____ (3) (4)

loga a ? 1

ln e ? ___1

思考:你发现了什么?如何用对数式表示?

3、求下列各式的值: (1) (2) (3) (4) 5 log0.9 0.9 ? ___
5

3 log2 2 ? ___
3

2 lg10 ? ___
2

ln e

?1

loga a N ? N

-1 ? ____

思考:你发现了什么?如何用对数式表示?

4、求下列各式的值: (1)

2

log2 3

3 ? ___ 0.6 ? ___ 100 ? ___

(2)

5

log5 0.6

a

log a N

?N

(3) 0.8

log0.8 100

思考:你发现了什么?如何用对数式表示?

x a 1、对数的定义: ? N (a ? 0且a ? 1), x ? loga N

2、指数式与对数式的互化:

a ? N ? loga N ? x(a ? 0, a ? 1, N ? 0)
x

3、对数的性质: (a ? 0, a ? 1)


(1)1的对数为0: (2)底的对数为1: (3) log a

log a 1 ? 0

a ?N
N

loga a ? 1
log a N

(4)对数恒等式

a

?N

比较指数式、根式、对数式:
表 达形式

a

b

N

对应的运算

ab=N
b

底数 方根 底数

指数



乘方, 由a,b求N 开方, 由N,b求a 对数, 由a,N求b

N =a

根指数 被开方数 对数 真数

logaN=b

(1)开方运算、对数运算都是指数运算的逆运算。 (2)弄清对数式与指数式的互换是掌握对数意义及运算的关键



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