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定积分的概念


第一节 定积分的概念
一. 曲边梯形的面积 二. 定积分的定义 三. 定积分的性质

一. 曲边梯形的面积
1. 曲边梯形

一. 曲边梯形的面积
2. 求曲边梯形的面积 分割—近似—求和—取极限

然后,引入极限过程,求出曲边梯形的精确值.

y
y ?

f ( x)

设 f ( x) ? 0, f ( x) ? C ([a, b]) .

O

a x1

xi ?1 xi
任意引入分点

b

x
称为区间的一个分法 T

第一步:分割

a ? x0 ? x1 ? ? ? xi ?1 ? xi ? ? ? xn?1 ? xn ? b ,

将 [a, b]分 成 n 个小区间[ xi ?1, xi ] (i ? 1,2,?, n).

用?xi ? xi ? xi?1 表示第 i 个小区间的长度 .

第二步:近似

??i ? [ xi ?1, xi ], 则

小曲边梯形面积 : ?Si ? f (?i )?xi .

?Si 与?i 的选择有关 .

? xi ?1 ? i xi

对每个小曲边梯形均作上述的代替

y
y ? f ( x)

如何求精确值?
极限过程是什么?

O

a x1

xi ?1 xi

b

x

第三步:求和
曲边梯形面积 : S ? ? ?Si ? ? f (?i )?xi .
i ?1 i ?1 n n

S 与分法 T 及点 ?i 的选择有关 .

y
y ? f ( x)

O

a x1

xi ?1 xi

b
1?i ?n

x

第四步:取极限

令 ? ? || ?x || ? max{?xi } , 则
n

曲边梯形面积 : S ? lim ? f (?i )?xi .
? ?0
i ?1

极限存在与否,与分法 T 及点 ?i 的选择无关 .

二. 定积分的定义
设函数 f ( x) 在 [a, b] 上有定义 , 且有界 .
经过分割—近似—求和—取极限
若 lim f (?i )?xi ? ||?x|| ?0 i ?1
n

存在, 且该极限值与对区间 [a, b] 的

分法 及点?i 的选择无关 , 则称函数 f ( x) 在 [a, b] 上可积,
记为 f ( x) ? R( [a, b] ), 极限值称为 f ( x) 在 [a, b] 上 的定
积分值 : f (?i )?xi ? ?a f ( x) d x ? ||?lim x||?0 i ?1
b n

( || x ||? max{?xi }) .
1?i ? n

定积分符号:?a f ( x) d x ? lim

b

f (?i )?xi . ? ||?x||?0 i ?1

n

?a

b

— 定积分号;a — 积分下限; b — 积分上限;
f ( x) — 被积函数;
[a, b] — 积分区间 .

f ( x) d x — 被积表达式;
d x 中的 x — 积分变量;

( 积分变量的取值范围 )

关于定积分定义的几点说明
(1) 定积分 ? f ( x) d x 是一个极限值 (具体的数 ),
a b

它与分法 T 及点 ?i 的选择无关 , 只与f ( x) 及 区间[a, b] 有关.
(2) 定积分与积分变量的记 号无关:

?a f ( x) d x ? ?a f ( y) d y ? ?a f (t ) d t ? ? .

b

b

b

(3) || ?x || ? 0 时, 分点个数 n ? ?, 但是, 当分点 个数 n ? ? 时, 却不一定有 || ?x || ? 0.
(4) 若将非均匀变化的事物 看成是均匀变化时 , 可以表示为两个变量的 乘积形式 , 则该非均 匀变化问题可以用定积 分方法处理: 分划 — 代替 — 求和 — 取极限

定积分的几何意义
y
y ? f ( x)

A3
A1

面积:
c a

a

c

A2 O

d

b

x

A1 ? ? f ( x) d x,
A2 ?

由极限保号性:

?c
b d

d

f ( x) d x ,

?a f ( x) d x ? 0, ?c ?d f ( x) d x ? 0.
b

c

d

f ( x) d x ? 0,

A3 ? ? f ( x) d x.

定积分的几何意义
y
y ? f ( x)

A3
A1

a

c

A2 O

d

b

x

?a f ( x) d x 等于曲线 y ? f ( x) 与直线 x ? a,
及 x 轴所围成的几何图形的 面积的代数和 .

b

x?b

定理 1

若 f ( x) ? C ([a, b]), 则 f ( x) ? R([a, b]) .

若 f ( x) 在 [a, b] 上单调、有界 , 则 f ( x) ? R([a, b]) .
定理 2 f ( x) 在 [a, b] 上有界 , 且仅有有限个 (一类) 间断点, 则 f ( x) ? R([a, b]) . 定理 3 若 f ( x) ? R([a, b]), 则 | f ( x) |? R([a, b]) . 定理 3 的逆不真 .

定理 4 若 f ( x) ? R([a, b]), 则 ? [c, d ] ? [a, b] , f ( x) ? R([c, d ]) . 定理 5
若 f ( x), g ( x) ? R([a, b]), 则

kf ( x), f ( x) ? g ( x), f ( x) ? g ( x) ? R([a, b]) .

(k为常数)

三. 定积分的性质
性质 1 交换积分上、下限 , 定积分反号 :

?a f ( x) d x ? ??b
性质 2 (线性性质)
b b

b

a

f ( x) d x .
b

?a [? f ( x) ? ? g ( x)]d x ? ? ?a f ( x) d x ? ? ?a g ( x) d x ,
式中, ?、? 为常数 .

性质 3 (保号性) 若 f ( x) ? 0, x ? [a, b], 则 f ( x) d x ? 0 . ?
a

b

(小于零的情形类似. )
性质 3 的推论1 (比较性质)

若 f ( x) ? g ( x) x ? [a, b], 则
性质 3 的推论 2
b b

?a f ( x) d x ? ?a g ( x) d x .

b

b

| ? f ( x) d x | ? ? | f ( x) | d x
a a

性质 4 (对区间的可加性 )

?a

b

f ( x) d x ? ? f ( x) d x ? ? f ( x) d x 其中, a ? c ? b .
a c

c

b

性质 5 (估值定理 ) 设 M , m 分别为 f ( x) 在 [a, b] 上的最大 , 最小值, 则

m(b ? a) ? ? f ( x) d x ? M (b ? a) .
a

b

例1 证

设 f ( x) ? C ([a, b]) , 且 f ( x) ? 0 . 若 ? f ( x) d x ? 0 ,
a

b

证明:f ( x) ? 0, x ? [a, b] .

/ 0, x ? [a, b] , 则至少 ?x0 ? [a, b] 使 设 f ( x) ?

?a f ( x) d x ? 0
换成

b

f ( x0 ) ? 0,

由 f ( x) ? C([a, b]) , ?N ( x0 ) , 使
?

f ( x) ? 0 x ? N ( x0 ) .
取 [? , ? ] ? N ( x0 ) , 则

??

f ( x) d x ? 0 .

f ( x) ? / 0
有什么结论?



?? f ( x) d x ? 0, 故 b ? ? b ?a f ( x) d x ? ?a f ( x) d x ? ?? f ( x) d x ? ?? f ( x) d x ? 0 .
f ( x) d x ? 0,

?a

?

b

该矛盾说明:f ( x) ? 0, x ? [a, b] .

例3

若 f ( x) 在下列所出现的区间上 可积, 则

?a f ( x) d x ? ?a f ( x) d x ? ?c ?a f ( x) d x ? ?c
y
b b

b

c

b

f ( x) d x .

f ( x) d x ? ? f ( x) d x .
a

c

y ? f ( x)

O

a

c

b

x

1 sin x 2 2 证明: ? ?? dx ? . 例4 2 4 x 2 sin x ? ? 证 令 f ( x) ? x ? [ , ] , 由 x ? tan x, 则 x 4 2 x cos x ? sin x ( x ? tan x) cos x f ?( x) ? ? ?0 2 2 x x ? ? ? 2 2 ? 2 故 f ( x) ? [ , ] , 且 M ? f ( ) ? , m? f( )? , 4 2 4 ? 2 ? ? ? 由 f ( x) ? 0 , f ( x) ? C ([ , ]) , 运用估值定理 , 得 4 2 ? 1 2 ? ? sin x 2 2 ? ? 2 2 ? ( ? ) ? ?? dx ? ( ? )? . 2 ? 2 4 x ? 2 4 2 4

?

性质 6 (积分中值定理 ) 若 f ( x) ? C ([a, b]), g ( x) ? R([a, b]), 且 g ( x) 在 [a, b] 上保持符号不变 , 则?? ? [a, b] , 使得

?a f ( x) g ( x) d x ? f (? )?a g ( x) d x .
若 g ( x) ? 1 , 则
y
b

b

b

y ? f ( x)

?a f ( x) d x ? f (? )?a d x
? f (? )(b ? a ) .

b

O

a?

?

b x



由于 g ( x) 在 [a, b] 上不变号, 所以, 不妨设 g ( x) ? 0.

又 f ( x) ? C ([a, b]), g ( x) ? R([a, b]), 故有
f ( x) g ( x) ? R([a, b]),

m? g ( x) d x ? ? f ( x) g ( x) d x ? M ? g ( x) d x,
a a a

b

b

b

其中, M , m 为 f ( x) 在 [a, b] 上的最大 , 最小值.

(1) 若 ? g ( x) d x ? 0, 则性质 6 显然成立.
a

b

(2) 若 ? g ( x) d x ? 0, 则由 f ( x) ? C ([a, b]), 及
a

b

f ( x) g ( x) d x ? m? a b ? M, ?a g ( x) d x

b

?? ? [a, b] , 使得

?a f ( x) g ( x) d x ? f (? )?a g ( x) d x .
综上所述 , 性质 6 获证 .

b

b

从证明的过程中,你是否发现性质 6 的 条件可以减弱? 条件减弱后,结论是否也要调整?

积分中值定理的推广 若 f ( x), g ( x) ? R([a, b]), m ? f ( x) ? M , 且 g ( x)

在 [a, b] 上保持符号不变 , 则存在 m ? ? ? M , 使得

?a f ( x) g ( x) d x ? ? ?a g ( x) d x .
要真正把书看懂, 不下点功夫是不行的!

b

b

1 n? p 已知 ? d x ? ln , ( p ? 0, n ? N ), n 例5 x n n ? p sin x 求 lim ? dx. n??? n x 解 由积分中值定理 n ? p sin x n? p 1 n? p ?n x d x ? sin?n ?n x d x ? sin?n ln n , n ? p sin x p 故 lim ? d x ? lim sin ? n ln(1 ? )? lim sin ? n ? p ? 0 . n??? n n??? x n n??? n
n? p

例6 解

求 y ? x 在 [0,1] 上的平均值.
2

1 3 3 (1 ? 0 ) x d x 1 ? 3 0 y? 1 ? ? . 1 3 dx
1 2

?0

若 f ( x), g ( x) ? C([a, b]), 则
b 2 b 2 a a

性质 7 (Schwartz 不等式)
( ? f ( x ) g ( x) d x) ? ? f ( x) d x ? g ( x) d x .
2 a b

证明:??, ( ? f ? g ) ? ? f ? 2? fg ? g ,
2 2 2 2

两边积分得:
?
2

?

b

a

f ( x )dx ?2? ? f(x)g(x)dx ?
2 a

b

?

b

a

g (x)dx ? 0,
2

由二次三项式的判别定 理,可知结论成立。


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