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高二数学函数的极值与导数综合测试题


选修 2-2
一、选择题

1.3.2 函数的极值与导数
)

1.已知函数 f(x)在点 x0 处连续,下列命题中,正确的是( A.导数为零的点一定是极值点

B.如果在点 x0 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,那么 f(x0)是极小值 C.如果在点 x0 附近的左侧

f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,那么 f(x0)是极大值 D.如果在点 x0 附近的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0,那么 f(x0)是极大值 [答案] C [解析] 导数为 0 的点不一定是极值点,例如 f(x)=x3,f′(x)=3x2,f′(0)=0,但 x=0 不是 f(x)的极值点,故 A 错;由极值的定义可知 C 正确,故应选 C. 2.函数 y=1+3x-x3 有( A.极小值-2,极大值 2 B.极小值-2,极大值 3 C.极小值-1,极大值 1 D.极小值-1,极大值 3 [答案] D [解析] y′=3-3x2=3(1-x)(1+x) 令 y′=0,解得 x1=-1,x2=1 当 x<-1 时,y′<0,函数 y=1+3x-x3 是减函数, 当-1<x<1 时,y′>0,函数 y=1+3x-x3 是增函数, 当 x>1 时,y′<0,函数 y=1+3x-x3 是减函数, ∴当 x=-1 时,函数有极小值,y 极小=-1. 当 x=1 时,函数有极大值,y 极大=3. 3.设 x0 为 f(x)的极值点,则下列说法正确的是( A.必有 f′(x0)=0 B.f′(x0)不存在 C.f′(x0)=0 或 f′(x0)不存在 D.f′(x0)存在但可能不为 0 [答案] C [解析] 如:y=|x|,在 x=0 时取得极小值,但 f′(0)不存在. 4.对于可导函数,有一点两侧的导数值异号是这一点为极值的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ) ) )

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [答案] C [解析] 只有这一点导数值为 0,且两侧导数值异号才是充要条件. 5.对于函数 f(x)=x3-3x2,给出命题: ①f(x)是增函数,无极值; ②f(x)是减函数,无极值; ③f(x)的递增区间为(-∞,0),(2,+∞),递减区间为(0,2); ④f(0)=0 是极大值,f(2)=-4 是极小值. 其中正确的命题有( A.1 个 C.3 个 [答案] B [解析] f′(x)=3x2-6x=3x(x-2), f′(x)>0, x>2 或 x<0, f′(x)<0,得 0<x<2, 令 得 令 ∴①②错误. 1 6.函数 f(x)=x+ 的极值情况是( x ) ) B.2 个 D.4 个

A.当 x=1 时,极小值为 2,但无极大值 B.当 x=-1 时,极大值为-2,但无极小值 C.当 x=-1 时,极小值为-2;当 x=1 时,极大值为 2 D.当 x=-1 时,极大值为-2;当 x=1 时,极小值为 2 [答案] D 1 [解析] f′(x)=1- 2,令 f′(x)=0,得 x=± 1, x 函数 f(x)在区间(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增,在(-1,0)和(0,1)上单调递减, ∴当 x=-1 时,取极大值-2,当 x=1 时,取极小值 2. 7.函数 f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数 f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函 数 f(x)在开区间(a,b)内有极小值点( )

A.1 个 C.3 个

B.2 个 D.4 个

[答案] A [解析] 由 f′(x)的图象可知,函数 f(x)在区间(a,b)内,先增,再减,再增,最后再减, 故函数 f(x)在区间(a,b)内只有一个极小值点. 8.已知函数 y=x-ln(1+x2),则函数 y 的极值情况是( A.有极小值 B.有极大值 C.既有极大值又有极小值 D.无极值 [答案] D 1 [解析] ∵y′=1- (x2+1)′ 1+x2 =1- (x-1)2 2x = 2 x2+1 x +1 )

令 y′=0 得 x=1,当 x>1 时,y′>0, 当 x<1 时,y′>0, ∴函数无极值,故应选 D. 9.已知函数 f(x)=x3-px2-qx 的图象与 x 轴切于(1,0)点,则函数 f(x)的极值是( 4 A.极大值为 ,极小值为 0 27 4 B.极大值为 0,极小值为 27 4 C.极大值为 0,极小值为- 27 4 D.极大值为- ,极小值为 0 27 [答案] A [解析] 由题意得,f(1)=0,∴p+q=1① f′(1)=0,∴2p+q=3② 由①②得 p=2,q=-1. ∴f(x)=x3-2x2+x,f′(x)=3x2-4x+1 =(3x-1)(x-1), 1 1 4 令 f′(x)=0,得 x= 或 x=1,极大值 f?3?= ,极小值 f(1)=0. ? ? 27 3 10.下列函数中,x=0 是极值点的是( A.y=-x3 C.y=tanx-x ) )

B.y=cos2x 1 D.y= x

[答案] B 1+cos2x [解析] y=cos2x= ,y′=-sin2x, 2 x=0 是 y′=0 的根且在 x=0 附近,y′左正右负, ∴x=0 是函数的极大值点. 二、填空题 2x 11.函数 y= 2 的极大值为______,极小值为______. x +1 [答案] 1 -1 2(1+x)(1-x) [解析] y′= , (x2+1)2 令 y′>0 得-1<x<1,令 y′<0 得 x>1 或 x<-1, ∴当 x=-1 时,取极小值-1,当 x=1 时,取极大值 1. 12.函数 y=x3-6x+a 的极大值为____________,极小值为____________. [答案] a+4 2 a-4 2

[解析] y′=3x2-6=3(x+ 2)(x- 2), 令 y′>0,得 x> 2或 x<- 2, 令 y′<0,得- 2<x< 2, ∴当 x=- 2时取极大值 a+4 2, 当 x= 2时取极小值 a-4 2. 13.已知函数 y=x3+ax2+bx+27 在 x=-1 处有极大值,在 x=3 处有极小值,则 a= ______,b=________. [答案] -3 -9 [解析] y′=3x2+2ax+b,方程 y′=0 有根-1 及 3,由韦达定理应有

14.已知函数 f(x)=x3-3x 的图象与直线 y=a 有相异三个公共点,则 a 的取值范围是 ________. [答案] (-2,2) [解析] 令 f′(x)=3x2-3=0 得 x=± 1, 可得极大值为 f(-1)=2,极小值为 f(1)=-2, y=f(x)的大致图象如图 观察图象得-2<a<2 时恰有三个不同的公共点.

三、解答题 15.已知函数 f(x)=x3-3x2-9x+11. (1)写出函数 f(x)的递减区间; (2)讨论函数 f(x)的极大值或极小值,如有试写出极值. [解析] f′(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3), 令 f′(x)=0,得 x1=-1,x2=3. x 变化时,f′(x)的符号变化情况及 f(x)的增减性如下表所示: x f′(x) f(x) (-∞,-1) + 增 -1 0 极大值 f(-1) (1)由表可得函数的递减区间为(-1,3); (2)由表可得,当 x=-1 时,函数有极大值为 f(-1)=16;当 x=3 时,函数有极小值为 f(3)=-16. 16.设函数 f(x)=ax3+bx2+cx,在 x=1 和 x=-1 处有极值,且 f(1)=-1,求 a、b、c 的值,并求出相应的极值. [解析] f′(x)=3ax2+2bx+c. ∵x=± 是函数的极值点,∴-1、1 是方程 f′(x)=0 的根,即有 1 (-1,3) - 减 3 0 极小值 f(3) (3,+∞) + 增

又 f(1)=-1,则有 a+b+c=-1,

1 3 此时函数的表达式为 f(x)= x3- x. 2 2 3 3 ∴f′(x)= x2- . 2 2 令 f′(x)=0,得 x=± 1. 当 x 变化时,f′(x),f(x)变化情况如下表:

x f′(x) f(x)

(-∞,-1) + ?

-1 0 极大 值1

(-1,1) - ?

1 0 极小 值-1

(1,+∞) + ?

由上表可以看出,当 x=-1 时,函数有极大值 1;当 x=1 时,函数有极小值-1. 17.已知函数 f(x)=ax3+bx2-3x 在 x=± 处取得极值. 1 (1)讨论 f(1)和 f(-1)是函数 f(x)的极大值还是极小值; (2)过点 A(0,16)作曲线 y=f(x)的切线,求此切线方程. [解析] (1)f′(x)=3ax2+2bx-3,依题意,

f′(1)=f′(-1)=0,即 解得 a=1,b=0. ∴f(x)=x3-3x, f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1). 令 f′(x)=0,得 x1=-1,x2=1. 若 x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),则 f′(x)>0,故 f(x)在(-∞,-1)上是增函数, f(x)在(1,+∞)上是增函数. 若 x∈(-1,1),则 f′(x)<0,故 f(x)在(-1,1)上是减函数. ∴f(-1)=2 是极大值;f(1)=-2 是极小值. (2)曲线方程为 y=x3-3x.点 A(0,16)不在曲线上.
3 设切点为 M(x0,y0),则点 M 的坐标满足 y0=x0-3x0.

∵f′(x0)=3(x2-1),故切线的方程为 0 y-y0=3(x2-1)(x-x0). 0 注意到点 A(0,16)在切线上,有 16-(x3-3x0)=3(x2-1)(0-x0). 0 0 化简得 x3=-8,解得 x0=-2. 0 ∴切点为 M(-2,-2), 切线方程为 9x-y+16=0. a 18.(2010· 北京文,18)设函数 f(x)= x3+bx2+cx+d(a>0),且方程 f′(x)-9x=0 的两 3 个根分别为 1,4. (1)当 a=3 且曲线 y=f(x)过原点时,求 f(x)的解析式;

(2)若 f(x)在(-∞,+∞)内无极值点,求 a 的取值范围. [解析] 本题考查了函数与导函数的综合应用. a 由 f(x)= x3+bx2+cx+d 得 f′(x)=ax2+2bx+c 3 ∵f′(x)-9x=ax2+2bx+c-9x=0 的两根为 1,4.

(1)当 a=3 时,由(*)式得 解得 b=-3,c=12. 又∵曲线 y=f(x)过原点,∴d=0. 故 f(x)=x3-3x2+12x.



a (2)由于 a>0,所以“f(x)= x3+bx2+cx+d 在(-∞,+∞)内无极值点”等价于“f ′(x) 3 =ax2+2bx+c≥0 在(-∞,+∞)内恒成立” 由(*)式得 2b=9-5a,c=4a. 又∵Δ=(2b)2-4ac=9(a-1)(a-9)

解 即 a 的取值范围[1,9].

得 a∈[1,9],


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