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椭圆的定义与标准方程(教案)


2.1.1 椭圆的定义与标准方程
(上杭五中 黄火根)

一、教材分析
圆锥曲线是高中数学中十分重要的内容, 它的许多几何性质在日常 生活、生产和科学技术中都有着广泛的应用。本节是《圆锥曲线与方程》 的第一节课,主要学习椭圆的定义和标准方程。它是本章也是整个解析 几何部分的重要基础知识。 第一,在教材结构上,本节内容起到一个承上启下的重要作用。前 面学生用坐标法研究了直线和圆,而对椭圆概念与方程的研究是坐标法 的深入,也适用于对双曲线和抛物线的学习,更是解决圆锥曲线问题的 一种有效方法。 第二,对椭圆定义与方程的研究,将曲线与方程对应起来,体现了 函数与方程、数与形结合的重要思想。而这种思想,将贯穿于整个高中 阶段的数学学习。 第三,对椭圆定义与方程的探究过程,使学生经历了观察、猜测、 实验、推理、交流、反思等理性思维过程,培养了学生的思维方式,加 强了运算能力,提高了他们提出问题、分析问题、解决问题的能力,为 后续知识的学习奠定了基础。

二、学生情况分析
1.在学习本节内容以前, 学生已经学习了直线和圆的方程, 初步了 解了用坐标法求曲线的方程及其基本步骤, 经历了动手实验、 观察分析、 归纳概括、建立模型的基本过程,这为进一步学习椭圆及其标准方程奠 定了基础。 2.在本节课的学习过程中, 椭圆定义的归纳概括、 方程的推导化简 对学生是一个考验,可能会有一部分学生探究学习受阻,教师要适时加 以点拨指导。

三、教学目标
1.通过观察、实验、证明等方法的运用,让学生更好的理解椭圆 的定义, 掌握椭圆标准方程的两种形式, 会根据条件求椭圆的标准方程。 2.通过对椭圆的认识及其方程的推导,培养学生的分析、探究、

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抽象、概括等逻辑思维能力,加强用坐标法解决圆锥曲线问题的能力。 3.鼓励学生大胆猜想、论证,激发学生的学习热情,使他们获得 成功的体验。

四、教学重点和难点
1.重点:感受建立曲线方程的基本过程,掌握椭圆的标准方程及 其推导方法。 2.难点:椭圆标准方程的推导。

五、教法与学法
1.教法 为了使学生更主动地参加到课堂教学中,体现以学生为主体的探 究性学习和因材施教的原则,故采用自主探究法。按照“创设情境—— 自主探究——建立模型——拓展应用”的模式来组织教学。 2.学法 在教学过程中, 要充分调动学生的积极性和主动性, 为学生提供自 主学习的时间和空间。让他们经历椭圆图形的形成过程、定义的归纳概 括过程、方程的推导化简过程,主动地获取知识。 3.教学准备 (1)学生准备:一支铅笔、两个图钉、一根细绳、一张硬纸板。 (2)教师准备:用 PPT 及几何画板制作的课件。

六、教学过程设计 (一)创设情境,复习引入
借助多媒体生 由嫦娥二号绕月飞行的运动轨迹及现实生活中的多幅椭圆的图片引 动、直观的演示, 入。 (嫦娥二号绕月飞行、行星运行、国家大剧院、鸟巢、亚运场馆沙特 使学生明确学习椭 馆、油罐车等)

(二)动手实验,归纳概念
问:自然界处处存在着椭圆,我们如何用自己的双手画出椭圆呢? 引导:先回忆如何画圆 (学生利用手中的细线画圆,教师再用几何画板画圆) 画圆容易那如果要画椭圆该怎么画呢?(先介绍课前数学实验中的 方法用几何画板作椭圆) 让学生回忆起要画一个圆只要一定点和一定长就可以。现在若把一 点变成两点, 到定点的距离等于定长变成到两定点的距离之和等于定长。 再把笔紧贴细线画图,得到的图形是什么呢? (学生利用手中细线配合同桌共同完成,得到椭圆。我将在黑板上 用同一方法作图,并利用几何画板演示)
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圆的重要性和必要 性。同时,激发他 们探求实际问题的 兴趣, 使他们主动、 积极地参与到教学 中来,为后面的学 习做好准备。

提出问题:“在画图的过程中,哪些量发生了变化,哪些量没有 变?” 让学生根据自己的实验,观察回答:“两定点间的距离没变,绳子 的长度没变,点在运动。” 再问:“你们能根据刚才画椭圆的过程,类比圆的定义,归纳概括 出椭圆的定义吗?” (多媒体给出圆的定义) 先让学生独立思考一分钟,然后同桌交流,再进行全班交流,逐步 完善,概括出椭圆的定义。 椭圆的定义: 平面上到两个定点 F1, F2 的距离之和为固定值 (大于 |F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆. 引导学生对定义中的关键词进行分析理解 注意:椭圆定义中容易遗漏的三处地方: (1)必须在平面内; (2)两个定点---两点间距离确定; (3)绳长---轨迹上任意点到两定点距离和确定 问:“为何‘固定值’要大于两定点间的距离呢?等于、小于又如 何呢?” (学生动手验证并发表自己意见,我再用课件演示) 总结:当大于时 椭圆 当等于时 线段 当小于时 不存在

以活动为载体, 让学生在“做”中 学数学,通过画椭 圆,经历知识的形 成过程,积累感性 经验。

(三)启发引导,推导方程
问:怎么推导椭圆的标准方程呢? 先回顾圆方程推导的步骤,给出求动点轨迹方程的一般步骤: 1、建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M 的坐标; 2、写出适合条件 P(M) ; 3、用坐标表示条件P(M) ,列出方程 ; 4、化方程为最简形式。 ? 探讨建立平面直角坐标系的方案 启发学生类比求圆的方程的建系方法,建立适当的直角坐标系。 探讨几种建系方案。最后采用以下两种方案 方案一:以两定点的连线为 X 轴,其垂直平分线为 Y 轴; 方案二:以两定点的连线为 Y 轴,其垂直平分线为 X 轴。 (原则:尽可能使方程的形式简单、运算简单) (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标 轴.) 体现“对称美”“简洁美”的特点 ? 写出动点 P 满足的条件 设P (x, y)是椭圆上任意一点,
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椭圆的焦距|F1F2|=2c(c>0), 则F1、F2的坐标分别是( c,0)、(c,0) . P 与 F1 和 F2 的距离的和为固定值 2a(2a>2c) 启发学生根据椭圆的定义,写出动点 P 满足的条件,即:
| PF 1 | ? | PF 2 |? 2a
由于 得到

| PF1 |? ( x ? c) 2 ? y 2 , | PF2 |? ( x ? c) 2 ? y 2 ( x ? c ) ? y ? ( x ? c ) ? y ? 2a
2 2 2 2

带根式的方程 的化简,学生会感 到困难,这也是教 学的一个难点。教 学时,要注意说明 这类方程的化简方 法。

问:下面怎样化简? 一般来说: ①方程中只有一个二次根式时,需将它单独留在方程的一边,把其 它各项移到另一边,平方一次; ②方程中有两个二次根式时,需将它们分散,放在方程的两边,使 其中一边只有一个根式,平方两次。 待大多数学生都有了结果:

在 师 生 互动 的 过程中,让学生体 问:“你们能从图中找出表示 a、c、 的线段吗?” 通过观察,学生容易得出结论,并理解了换元的合理性。这样不仅 会数学的严谨,使 使方程具有了对称性,而且使字母 b 也有了明确的几何意义。从而将方 他们的观察能力、 运算能力、推理能 程简化为: 力得到训练,渗透 数形结合的数学思 想。并感受椭圆方 (a>b>0) 程、 图形的对称美, 我们称它为椭圆的标准方程。 问:刚才我们得到了焦点在x轴上的椭圆方程,如何推导焦点在y轴 获得成功的喜悦! 上的椭圆的标准方程呢? 启发: “除了用刚才的方法 推导一遍处,还有别的方法 吗?” 学生经过观察思考会发现, 只要交换坐标轴就可以了, (a>b>0)

之后,指出:这个方程还不够简洁对称,让学生观察图形:

从而得到了焦点在 Y 轴上的椭圆的标准方程:

?总结椭圆的标准方程的特点
(1)椭圆标准方程的形式:左边是两个分式的平方和,右边是1 (2)椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。 (3)由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。 (4)椭圆的标准方程中,x2与y2的分母哪一个大,则焦点在哪一个
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轴上。

?再通过表格的形式,让学生对两种方程进行对比分析,强化 对椭圆方程的理解。
标准方程

通过填表, 进行 对比总结,不仅使 学生加深了对椭圆 定义和标准方程的 理解,有助于教学 目标的实现

不 同 点





焦点坐标

相 同 点





a、b、c 的关系 焦点位置的判断

(四) 、例题教学
口答:
1. x2 y 2 ? ? 1, 则 a= 52 32
5 ,b= 3 ;

2.
3.

x2 y 2 ? ? 1, 则 a= 6 ,b= 4 ; 42 62
x2 y2 ? ?1 9 6 x2 y2 ? ?1 7 4
则 a= 3 ,b= 6 ;

有层次的练习 题有助于学生更好 的熟练利用椭圆的 标准方程解题。

4.

则 a=

7 ,b=2



(课本33页例3) 例3.求下列椭圆的焦点坐标,以及椭圆上每一点到两焦点距离的和。 例4. 求出刚才在实验中画出的椭圆的标准方程

呼应前面所做 实验

| PF , | F1F2 |? 8 1 | ? | PF 2 |? 10

(五) 、课堂小结:
一种方法:求椭圆标准方程的方法

x2 y2 y2 x2 ? ? 1 ? ? 1 ?a ? b ? 0 ? 2 b2 a2 b2 二类方程: a
三个意识:求美意识, 求简意识,前瞻意识

呼应首张图片, 嫦娥奔月,激发学 生学习兴趣。

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探索-嫦娥奔月
2010年10月8日中国“嫦娥”二号卫星成功实现第二次近月制动,卫星进入距月 球表面近月点高度约210公里,远月点高度约8600公里,且以月球的球心为一个焦 点的椭圆形轨道。 已知月球半径约3475公里, 试求“嫦娥”二号卫星运行的轨迹方程。

(六) 、布置作业
A组 第1、2题

板书安排
§2.1.1椭圆定义与标准方程 一、引入: 实验 二、椭圆的定义: 1、定义 2、标准方程: 三、填表

四、例 例3 例4

五、小结 六、布置 作业

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