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数学:2.2二项分布及其应用 课件二(新人教A版选修2-3)


2.2.3 独立重复试验与二项分 布

复习引入
前面我们学习了互斥事件、条件概率、相互独 立事件的意义,这些都是我们在具体求概率时需要 考虑的一些模型,吻合模型用公式去求概率简便. ⑴ P( A ? B) ? P( A) ? P( B)(当 A与B 互斥时) ; P ( AB ) ⑵ P ( B | A) ? P ( A) ⑶ P( AB) ? P( A) P( B) (当 A与B 相互独立时) 那么求概率还有什么模型呢?

分析下面的试验,它们有什么共同特点? ⑴投掷一个骰子投掷 5 次; ⑵某人射击 1 次,击中目标的概率是 0.8, 他射击 10 次; ⑶实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比 赛,规定 5 局 3 胜制(即 5 局内谁先赢 3 局 就算胜出并停止比赛); ⑷一个盒子中装有 5 个球(3 个红球和 2 个 黑球) ,有放回地依次从中抽取 5 个球; ⑸生产一种零件,出现次品的概率是 0.04, 生产这种零件 4 件.

共同特点是: 多次重复地做同一个试验.

1、 n 次独立重复试验: 一般地,在相同条件下,重复做的 n 次试验称 为 n 次独立重复试验. 在 n 次独立重复试验中,记 Ai 是“第 i 次试验的
结果”显然, P( A1 A2 ? An ) =

P( A1 ) P( A2 )? P( An )

∵“相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其 他试验的影响, ∴上面等式成立. 注意:(1)每次试验是在同样条件下进行的. (2)各次试验是相互独立的. (3)每次试验都只有两种结果。 (4)每次试验,某事件发生的概率是相同的.

例1、判断下列试验是不是独立重复试验: 1).依次投掷四枚质地不同的硬币,3次正面向上; (NO) 2).某人射击,击中目标的概率P是稳定的,他连续射击 了10次,其中6次击中; (YES) 3).口袋装有5个白球,3个红球,2个黑球,从中依次 抽取5个球,恰好抽出4个白球; (NO) 4).口袋装有5个白球,3个红球,2个黑球,从中有放回 的抽取5个球,恰好抽出4个白球. (YES) 请举出生活中碰到的 独立重复试验的例子。

探究 投掷一枚图钉设针尖向上的概率为 , 则针尖向 , p 下的概率为q ? 1 ? p.连续掷一枚图钉3 次, 仅出现1 次针 尖向上的概率是多少 ? 连续掷一枚图钉3次, 就是3次独立重复试验,用A i (i ? 12, , 3)表示第i次掷得针尖向上的事件,用Bi表示" 仅出现一次 针尖向上"的事件,则 Bi ? A1 A 2 A 3 ? A1A 2 A 3 ? A1 A 2 A 3 .

?

? ?

? ?

?

由于事件A1 A 2 A 3 , A1A 2 A 3和A1 A 2 A 3彼此互斥,由概率加 法公式得 P(B1 ) ? P( A1 A 2 A 3 ) ? P( A1A 2 A 3 ) ? P( A1 A 2 A 3 ) ? q2p ? q2p ? q2p ? 3q2p . 所以, 连续掷一枚图钉 3 次, 仅出现1 次针尖向上的概率是
3q2p.

思考 上面我们利用掷次图钉, 针尖向上的概率为 , 1 p 求出了连续掷 次图钉, 仅出现1次针尖向上的概率 3 .类 似地, 连续掷3次图钉,出现k ?0 ? k ? 3 ?次针尖向上的 概率是多少? 你能发现其中的规律吗 ? 对于任何0 ? k ? 3, 用Bk 表示连续掷一枚图钉3次,出

现k次针尖向上的事件.类似于前面的讨论, 可以得到 :
P(B0 ) ? P( A1 A 2 A 3 ) ? q2 , P(B1 ) ? P( A1 A 2 A 3 ) ? P( A1A 2 A 3 ) ? P( A1 A 2 A 3 ) ? 3q2p, P(B2 ) ? P( A1A 2 A 3 ) ? P( A1A 2 A 3 ) ? P( A1 A 2 A 3 ) ? 3qp2 , P(B3 ) ? P( A1A 2 A 3 ) ? p3 .
仔细观察上述等式,可以发现 P(BK ) ? Ck pk q3?k ,k ? 0,12,3. , 3

一般地, 在n次独立重复试验中设事件A发生 , 的次数为X , 在每次试验中事件 发生的概率 A 为p, 那么在n 次独立重复试验中事件A 恰好 , 发生k次的概率为 n?k k k P?X ? k ? ? Cnp ?1? p? ,k ? 0,12,? ? ?,n. , 此时称随机变量X服从 二项分布(binomial distribution),记作 X ~ B?n, p?,并称 p 为成功 概率.

5 例 2. X~B(2, 若 P(X≥1)=9, p=____________. 设 p), 则

解析: ∵X~B(2,p), ∴P(X=k)=C2kpk(1-p)2-k,k=0,1,2. ∴P(X≥1)=1-P(X<1)=1-P(X=0) =1-C20p0(1-p)2=1-(1-p)2. 5 ∴1-(1-p) = , 9
2

1 结合 0≤p≤1,解之得 p= . 3

1 答案: 3

思考?
( )二项分布与两点分布有何关系? 1
相同点:试验结果都只有两种可能结果——成功或 失败.随机变量X取不同值所对应的事件之间都是互 斥的,均满足分布列的性质. 不同点:两点分布是针对一次试验而言,而二项 分布则是对n次独立重复试验来说的.二项分布是两 点分布的一般形式,两点分布是一种特殊的二项分布, 即n=1时的二项分布.

思考?
(2)对比这个公式与二项式定理的公式,你能看出它们 之间的联系吗? 如果我们令 p=a,(1-p)=b。则二项分布的公式就变成 如下形式:
k P( X ? k ) ? Cn a k bn?k , k ? 0,1,2,...,n

也就是二项定理中的求和通项。利用二项式定理可得:
k Cn p k (1 ? p) n ?k ? 1 ? k ?0 n

例3、某射手每次射击击中目标的概率是0.8, 求这名射手在10次射击中 (1)恰有8次击中目标的概率; (2)至少有8次击中目标的概率. (3)要保证击中目标的概率大于0.99,则至少 应射击多少次?(至少有一次击中目标)

设X为击中目标的次数,则X~B(10,0.8) (1)在10次射击中,恰有8次击中目标的概率为

P? X ? 8? ? C ? 0.8 ? ?1 ? 0.8?
8 10 8

10?8

? 0.30

(2)在10次射击中,至少8次击中目标的概率为

P? X ? 8? ? P? X ? 8? ? P? X ? 9? ? P? X ? 10?
? C ? 0.8 ? ?1 ? 0.8?
8 10 8 10 10 10 10 ?8

? C ? 0.8 ? ?1 ? 0.8?
9 10 9

10 ?9

? C ? 0.8 ? ?1 ? 0.8?

10 ?10

? 0.68

(3)设至少应射击n次,则

P( X ? k ) ? 1 ? P( X ? 0) ? 1 ? (1 ? 0.8) ? 0.99
n

得:n ? 2.86

即至少击中3次

例4、某所气象预报站预报准确率为80%.则它5 次预报中恰有4次准确率约为多少?(保留两位有 效数字) 分析:可把问题看做是“5次独立重复试验中 求事件A恰好发生4次的概率”

解:X为预报准确的次数,则 X~B(5,0.8)
P? X ? 4? ? C p ?1 ? p ?
4 5 4 4 5? 4

? C54 ? 0.84 ? 0.2

? 5 ? 0.8 ? 0.2 ? 0.41

知识小结
次独立重复试验定义 二项分布定理
(1)判断是否为独立重复试验;

应用

(2)找出n、k、p; (3)运用公式求概率。

作业 :P60习题2.2B组(1—3)

探究与发现

服从两项分布的随机变 量取 何值时概率最大

二项分布是应用最广泛的离散型随机变量 概率模型 对与两项分布有关的一些问题的 . 探究是很有意义的例如, 在上面的例4中, 我 . 们还可以提这样的问题:

如果某射手每次射击击 中目标的概率0.8, 每次射击的结果相互独 , 那么它在10 次 立 射击中 最有可能击中目标几次 , ?

设他在10次射击中, 击中目标的次数为X.由 于射击中每次射击的结果是相互独立的,因 此X ~ B?10,0.8 ?.

于是可得他恰好k次击中目标的概率为 P?X ? k ? ? C ? 0.8 ? 0.2
k 10 k 10 ?k

,0 ? k ? 10.从而

?10 ? k ? 1? ? 0.8 ? 1 ? 11? 0.8 ? k P?X ? k ? ? P?X ? k ? 1? k ? 0.2 k ? 0.2 0 ? k ? 10.于是,当k ? 8.8,P?X ? k ? 1? ? P?X ? k ?; 当k ? 8.8时,P?X ? k ? 1? ? P?X ? k ?. 由以上分析可知, 他在10 次射击中,最有可能8次 击中目标.
思考 如果X ~ B?n,p?, 其中0 ? p ? 1 那么当k由0增大到 , n时,P?X ? k ?是怎样变化的 k取何值时 P?X ? k ?最大? ? ,

1 某人抛硬币,出现正、 反面的概率都是 。 2 1,当第 n次出现正面时, 构造数列 n }, 使an ? {-1,当第 n次出现反面时, S n ? {a 记 a1 ? a2 ? a3 ? ......? an。 (1)求S8 ? 2的概率。 (2)求S 2 ? 0且S8 ? 2的概率。


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