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2.3.1平面向量基本定理


2.3.1平面向量的基本定理

设e1、e2 是同一平面内的两个不共

线的向量,a 是这一平面内的任一向量,
我们研究 a 与 e1 e2之间的关系。 、

e1

a

研究

e2

OC = OM + ON = ?1 +

?2OB OA

e 即 a = ?1 1+ ?2e2 .
M

e1

C

a

A

a N
e2

e2
O

e1

B

平面向量基本定理

如果 e1 e2是同一平面内的两个不 、 共线向量,那么对于这一平面内的任 一向量 a 有且只有一对实数?1、 2 使 ? a = ?1 1 + ?2e2 e 我们把不共线的向量e1 e2叫做表 、 示这一平面内所有向量的一组基底。

思考 (1)一组平面向量的基底有多少对? (有无数对) C F M M C A O a N B O a N E

思考
(2)若基底选取不同,则表示同一

向量的实数?1 ?2 、 是否相同? (可以不同,也可以相同) M C F OC = OF + OE OC = 2OA + OE A B a
OC = 2OB + ON

O

N

E

特别的,若 a = 0 ,则有且只有 :

?1 = ?2 = 0
e e 可使 0 = ?1 1 + ?2 2 .
?2=0(?1 =0),使得:

?若 ?1与 ?2 中只
有一个为零,情 况会是怎样?

特别的,若a与 e( e2 )共线,则有 1 a = ?1e1 + ?2e2 .

例3:
已知向量 e1、e2 求做向量-2.5 e1 e2 +3 C B

e2

A
e1 2.5e ?
1

3e2

· O

例4
如图所示,平行四边形 ABCD 的两条对角线相交于点

且 AB ? a  , AD ? b,用 a、表示 MA 、 、 、 b MB MC MD ?

C

M,

B

D A
e1

C M B

· O

A

例5

ABCD中,E、F分别是DC和AB

的中点,试判断AE,CF是否平行? D
E C

A

F

B

解:设AB= a,AD= b. D ?E、F分别是DC和 AB的中点, ? AE= AD+1 DE F = b+ 2 a A

E

C

B

CF= CB+ BF = -b - 2 a ?AE= - CF ?AE与CF共线,又无公共点 ? AE,CF平行.

1

总结: 1、平面向量基本定理内容 2、对基本定理的理解 (1)实数对λ1、 λ2的存在性和唯一性 (2)基底的不唯一性 (3)定理的拓展性 3、平面向量基本定理的应用 求作向量、解(证)向量问题、解(证) 平面几何问题

例5、 如图,已知梯形ABCD, AB//CD,且AB= 2DC,M,N分别是DC,AB 的中点. 请大家动手, D 在图中确定一组 基底,将其他向 量用这组基底表 A 示出来。

M

C

N

B

解析: 设AB = e1,AD = e2,则有: DC =
1

AB = 2e1 2

1

BC = BD + DC =(AD–AB)+DC 1 1 = e2 - e1+ 2 e1 = - 2 e1 + e2 MN = DN-DM D M 1 =(AN-AD)- 2 DC = - e2 - 4 e1 = 4 e1 - e2 . A
2 e1 1 1
1

C

N

B

评析

能够在具体问题中适当地选取
基底,使其他向量能够用基底来表 示,再利用有关知识解决问题。

思考
设 a、b是两个不共线的向量, 已知AB = 2a + kb, CB = a + 3b, CD = 2a – b,若A、B、D三点共线, 求k的值。 解: A、B、D三点共线 ?

?AB与BD共线,则存在实数
λ使得AB = λBD.

由于BD = CD – CB

=(2a – b) –(a +3b) = a – 4b 则需 2a + kb = ? (a – 4b ) 2 = ? 由向量相等的条件得 k = 4?

?k =

8.

此处可另解:

则需 2a + kb = ?(a – 4b )
即(2 - ? )a +(k - 4? )b = 0

?

2 -? = 0 k – 4? = 0
8.

?k =

评析 本题在解决过程中用到了两向量 共线的充要条件这一定理,并借助平 面向量的基本定理减少变量,除此之 外,还用待定系数法列方程,通过消 元解方程组。这些知识和考虑问题的 方法都必须切实掌握好。

2. 在实际问题中的指导意义在于 找到表示一个平面所有向量的一组基

底(不共线向量 e 与 e ),从而将 1 2
问题转化为关于 e 、 的相应运算。 e
1 2

课堂总结 1.平面向量基本定理可以联系物理 学中的力的分解模型来理解,它说明在

同一平面内任一向量都可以表示为不共
线向量的线性组合,该定理是平面向量

坐标表示的基础,其本质是一个向量在
其他两个向量上的分解。

思考

在梯形ABCD中,E、F分别时AB、CD
的中点,用向量的方法证明: EF//AD//BC,且EF =
1 2

(AD+BC)

谢谢同学们
再 见


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