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四川省达州市2012-2013学年高二下学期期末考试数学理试题 Word版含答案


达州市 2013 年高中二年级春季期末检测 数学(理 考试时间 120 分钟 满分 150 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1.已知, i 为虚数单位,计算

1? i ? (A i

).

A. 1 ? i

B. 1 ? i

>
C. ?1 ? i

D. ?1 ? i

2.已知 f ( x) ? e x ? x -2 (e 是自然对数的底数),则函数 f (x) 的导数 f ?(x) ? ( C ).

A. xe x?1 - 2 x -3

B. e x - x 2

C. e x - 2 x -3

D. e x - x -2 ln 2

( ( 3.已知,a= 1, sin ? , cos? ) ,b= ? 1, sin ? , cos? ) 分别是直线 l1、l 2 的方向向量,则直线 l1、l 2 的

位置关系是(B A. 平行
2

).

B. 垂直

C. 相交

D. 异面

4.过函数 y ? sin x ? 1 图象上的点 M (

? 3

A. y ? 2 ( x ? C. y ? 2 x ?

?
4

)?

3 ? 2 2

3 2

, ) 作该函数图象的切线,则这条切线方程是 ( D ) . 4 2 1 ? 3 B. y ? ( x ? ) ? 2 4 2 3 ? D. y ? x ? ? 2 4

5.如图,点 O 是平行六面体 ABCD? A1 B1C1 D1 的对角线 BD1 与 A1C 的交点,

AB ? a, AD ? b, AA1 ? c,则 CO ? ( C ).
A. a ? b ? c C. B.

1 1 1 a- b? c 2 2 2

1 a? 2 1 D. a? 2

1 1 b? c 2 2 1 1 b- c 2 2

6. 如图, ?PAB 是正三角形,四边形 ABCD 是正方形, AB ? 4 , O 是 AB 中点, 面 PAB ? 面 ABCD ,以直线 AB 为 x 轴、以过点 O 平行于 AD 的直线为 y 轴、 以直线 OP 为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 O ? xyz , E 为线段 PD 中点, 则点 E 的坐标是( B ).

A. (?2,2, 3)

B. (?1,2, 3)

C. (?1,1, 3)

D. (?1,2,2)

n 7. 已 知 幂 函 数 y ? x (n ? ?1,2,3) 和 椭 圆 C: 2 ?

x2 a

y2 ? 1(a ? b ? 0) 有 8 个 不 同 的 交 点 , 分 别 为 b2

Ai (i ? 1,2,?,8) , F 点是椭圆 C 的右焦点,则 8 条不同线段 Ai F (i ? 1,2,?,8) 中所有两条线段之和最

多有(B )个不同的值.

A. 28
8.已知二项式 ( x ?

B. 25

C. 24

D. 20

1
3

x

) n 展开式中的常数项等于抛物线 y ? x 2 ? 2 x 在 P(m,24) 处的切线( P 点为切 1

点)的斜率,则 ( x ?

3

x

) n 展开式中系数最大的项的项数是(B
C. 4

).

A. 3 和 4

B. 3

D. 4 和 5
)

9. 二名男生三名女生站成一排照相,女生有且只有两名相邻的不同站法种数是 ( D A. 24 B. 36 C. 48 D. 72
2 2

10.在满足 a ? b ? 34 的条件中随机选一对 ( a, b) , 使函数 f ( x) ? ax2 ? b ln x ? x(a ? 0,0 ? b ? 3) 在 区间 ( ,1) 上不单调的概率为(A

1 2 21 A. 136?

).

B.

1 34?

C.

2 17?

D.

15 68?

二、填空题:每小题 5 分,共 25 分,请将每小题的答案填在答题卷上相应的空格内. 11.已知 (1 ? 2x) n ? a1 ? a2 x ? a3 x 3 ? ? ? an x n ,则 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? (?1) .
n

12. 已知 a = (1, x, x ? 1) ,b = ( x,4, y ) ,a∥b,则 y ?

2或6 .

13.若函数 y ? x ln x ? a 有零点,则实数 a 的取值范围是 ( ?? , ] . 14.如图,面 PAD ? 面 ABCD , PA ? PD ,四边形 ABCD 是平 行四边形, E 是 BC 中点, AE ? 3 ,则 CP ? EA ? 9 .

1 e

15.定义在 (m, n) 上的可导函数 f (x) 的导数为 f ?(x) ,若当 x ? [a, b] ? (m, n) 时,有 f ?( x) ? 1,则称 函数 f (x) 为 [ a, b] 上的平缓函数.下面给出四个结论: ① y ? cos x 是任何闭区间上的平缓函数; ② y ? x 2 ? ln x 是 [ ,1] 上的平缓函数; ③若 f ( x) ?

1 2

1 1 3 3 1 x ? mx 2 ? 3m 2 x ? 1 是 [ 0, ] 上的平缓函数,则实数 m 的取值范围是 [? , ]; 2 3 3 2

④若 y ? f (x) 是 [ a, b] 上的平缓函数,则有 f (a) ? f (b) ? a ? b . 这些结论中正确的是 ①③④ (多填、少填、错填均得零分).

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 12 分) 已知 f ( x) ?

1 2 x ? 4 ln x ? 5 x , f ?(x) 是 f (x) 的导数. 2

(Ⅰ)求 y ? f (x) 的极值; (Ⅱ)求 f ?(x) 与 f (x) 单调性相同的区间.

1 2 x ? 4 ln x ? 5 x , 2 4 ( x ? 1)( x ? 4) ∴ f ?( x) ? x ? ? 5 ? ( x ? 0) , x x
解(Ⅰ)∵ f ( x) ? 由 f ?( x) ? 0 得, 0 ? x ? 1 或 x ? 4 ,由 f ?( x) ? 0 得, 1 ? x ? 4 .当 x 变化时, f ?( x)、f ( x) 变化情 况如下表:

x
f ?(x) f (x)

(0,1)
+ ↗

1

(1,4)
- ↘

4

(4,??)
+ ↗

0
极大值

0
极小值

9 , f (x) 的极小值 f ( x) 极小=f (4) ? 8 ln 2 ? 12 .???6 分 2 4 ( x ? 2)( x ? 2) (Ⅱ)设 g ( x ) ? x ? ? 5( x ? 0) ,∴ g ?( x) ? , x x
∴ f (x) 的极大值 f ( x) 极大 =f (1) ? ? 由 g ?( x) ? 0 得, x ? 2 , g (x) 为增函数,由 g ?( x) ? 0 得, 0 ? x ? 2 , g (x) 为减函数.

, ? 再结合(Ⅰ)可知: f ?(x) 与 f (x) 的相同减区间为 [1 2] ,相同的增区间是 [4, ?) ???12 分
17. (本题满分 12 分) 某中学播音室电脑中储存有 50 首歌曲,其中校园歌曲 5 首,军旅歌曲 5 首,民乐 10 首,流行歌曲 15 首,民歌 15 首.每天下午放学时,播音室将自动随机播放其中一首. (Ⅰ)求一个同学星期一和星期二听到的都是流行歌曲的概率; (Ⅱ)设这个中学一周 5 天播放民乐的天数为 ? ,求 ? 的数学期望 E? . 解 (Ⅰ)设这个同学星期一和星期二听到的是流行歌曲分别为事件 A、B ,他听到的都是流行音乐为事 件 C ,则 A 与 B 相互独立, C ? AB ,

15 3 ? , 50 10 9 ∴ P(C ) ? P( AB ) ? P( A) ? P( B) ? . 100
由题意

P( A) ? P( B) ?

9 .??????????????6 分 100 10 1 1 ? , ? ~ B (5, ) , (Ⅱ)由题意,学校某一天播放民乐的概率是 50 5 5 1 ∴ E? ? 5 ? ? 1 .????????????????12 分 5
答:这个同学星期一和星期二听到的都是流行歌曲的概率为 18. (本题满分 12 分)(Ⅰ)求函数 f ( x) ? ? 2 px( p ? 0) 在点 P(2,?2 p ) 处的切方程; (Ⅱ)过点 F (1,0) 的直线 l 交抛物线 y ? 4 x 于 A、B 两点,直线 l1、l 2 分别切该抛物线于 A、B ,
2

l1 ? l 2 ? M ,求点 M 的横坐标.
解 (Ⅰ)∵ f ( x) ? ? 2 px( p ? 0) ,∴ f ?( x) ? ?

2p 2 x

,

所以切线的斜率为 f ?(2) ? ?

p . 2

∴所求切线方程为 y ? 2 p ? ?

p p ( x ? 2) ,即 y ? ? x ? 3 p . ??????????5 分 2 2
y12 y2 , y1 ), B( 2 , y 2 ) , 4 4

(Ⅱ)设直线 l 的方程为 x ? ky ? 1 ,设 A(

由方程组 ?

? x ? ky ? 1 得, y 2 ? 4ky ? 4 ? 0 ,∴ y1 y 2 ? ?4 .?????????????7 分 2 ? y ? 4x

因 y1 与 y 2 异号,不妨假定 y1 ? 0 , y 2 ? 0 , 由 y ? 2 x 得 y? ?

1 x

,所以过点 A 的抛物线的切线 l1 斜率为

1 y12 4

?

2 ,所以切线 l1 的方程是 y1

y ? y1 ?

y y2 2 2 ( x ? 1 ) ,即 y ? x ? 1 y1 2 y1 4 y 2 x? 2 , y2 2

同理可求得以 B 为切点的 l 2 线方程是 y ?

由两切线方程得

y y y y 2 2 x? 1 ? x ? 2 ,解得 x ? 1 2 ? ?1 4 y1 2 y2 2

所以点 M 的横坐标是 - 1 .????????????????12 分
0 19. (本题满分 12 分) 已知,如图,平面 ABD ? 平面 BCD , ?BAD ? ?BCD ? 90 ,

?ABD ? 450 , ?CBD ? 300 .
(Ⅰ)异面直线 AB、CD 所成的角为 ? ,异面直线 AC、BD 所成的 角为 ? ,求证

? ??;

(Ⅱ)求二面角 B ? AC ? D 的余弦值的绝对值. (Ⅰ)证明
0 0 0 设 BD 的中点为 O , ?BAD ? 90 , ?ABD ? 45 ,∴ ?BDA ? 45 ,即 AB ? AD ,∴

AO ? BD . ∵平面 ABD ? 平面 BCD ,∴ AO ? 面 BCD .

以过 O 点垂直于 BD 的直线为 x 轴,以直线 BD 为 y 轴,以直线 OA 为 z ,建立如图所示的空间直角坐 标系 A ? xyz ,设 BD ? 4 . ∴ A(0,0,2), B(0,?2,0),C( 3,1,0), D(0,2,0) , ∴ AB ? (0,?2,?2), AC ? ( 3,1,?2),CD ? (? 3,1,0) , BD ? (0,4,0) ,

∴ cos? ?

AB ? CD AB ? CD

?

2 2 2 ?2

?

2 , 4

cos ? ?

AC ? BD AC ? BD

?

4 2 2 ?4

?

2 . 4

∵ 0 0 ? ? , ? ? 900 ,∴ ? ? ? .????????????????6 分 (Ⅱ)解 设 m1 ? ( x1 , y1 , z1 ), m2 ? ( x2 , y2 , z 2 ) 分别是平面 ABC 、平面 ACD 一个法向量, ∴ m1 ? AB, m1 ? AC ,即 m1 ? AB ? m1 ? AC ? 0 , ∴ ? 2 y1 ? 2z1 ? 0, 3x1 ? y1 ? 2z1 ? 0 ,不妨取 x1 ? - 3 ,得 m1 ? (- 3,1,?1) . 同理可求得 m2 ? (1, 3, 3) , ∴ cos ? m1 , m2 ??

m1 ? m2 m1 ? m2

?

? 3 5? 7

??

105 , 35
105 .????????????????12 分 35

所以二面角 B ? AC ? D 的余弦值的绝对值为

20.(本题满分 13 分)一人在如图所示景点中的圆环道路上散步.他在交叉路口偏左 走的概率为

1 1 ,偏右走的概率为 (出口处不算交叉路口). 2 2

(Ⅰ)求这个人路过的交叉路口数最少且走出景点的概率; (Ⅱ)这个人有 3 天散步路过的交叉路口都最少, ? 表示这个人这 3 天中相同的线路次数,求 ? 的分布列和数学期 E? . 解: (Ⅰ)由图可知, 此人走出景点遇到的最少交叉路口数为 4,共分:①入口 ? 向左 ? 向左 ? 向左 ? 向 左 ? 出口,②入口 ? 向左 ? 向右 ? 向右 ? 向左 ? 出口,③入口 ? 向右 ? 向左 ? 向左 ? 向右 ? 出口,④入口 ? 向右 ? 向右 ? 向右 ? 向右 ? 出口,一共 4 条线路.设此人选择这 4 条线路分别为事件 A、B、C、D , 设 “ 此 人 遇 到 的 交 叉 路 口 数 为 4” 为 事 件 E , 则 A、B、C、D 互 斥 , 且

E ? A? B?C ? D

由题意, P(A) ? P( B) ? P(C ) ? P( D) ? ( ) ?
4

1 2

1 , 16 1 1 ? . 16 4

∴ P( E ) ? P( A ? B ? C ? D) ? P( A) ? P( B) ? P(C ) ? P( D) ? 4 ? 答: 这个人路过的交叉路口数最少且走出景点的概率为

1 .????????????????6 分 4

1, (Ⅱ)由题意, ? ? 0,2 ,????????????????7 分
P(? ? 0) ? 4 ? 3? 2 6 4?3 9 4 1 2 ? ? ? , P(? ? 1) ? C 3 ? , P(? ? 2) ? , 4 ? 4 ? 4 16 4 ? 4 ? 4 16 4 ? 4 ? 4 16
为:

∴ ? 的分布列

?
p

0

1

2

6 16

9 16

1 16

6 9 1 11 ? 1 ? ? 2 ? ? .????????????????13 分 16 16 16 16 x 21.(本题满分 14 分)已知 f ( x ) ? x ( e 是自然对数的底数) , e
∴ E? ? 0 ? (Ⅰ)求 f (x) 的单调区间; (Ⅱ)若 f ( x) ? k 只有一个零点,求实数 k 的取值范围;

e(e n ? 1) ? n(e ? 1) n (Ⅲ)求证 ? . e (e ? 1) 2 e n
解: (Ⅰ)∵ f ( x ) ?

x e x ? xe x 1 ? x ,∴ f ?( x) ? ? x , ex (e x ) 2 e

当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 , f (x) 是单调递增,当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 , f (x) 是单调递减. 所以 f (x) 的递增区间是 (??,1] ,递减区间是 [1,??) . ????????????????3 分
2k (Ⅱ) ①当 k ? 0 时, 2 k ? ln 2 , e ? 2 , 有 ∴ ∴

2 2k ? 1 , 2k ? k , ∴ 因此 f (2k ) ? k ? 0 ? f (0) , 2k e e

等号在 k ? 0 时成立.若 k ? 0 ,由 f (x) 在 (??,1] 上递增知,存在唯一的 x0 ? (2k ,0) ,使得

f ( x0 ) ? k . 又 x ? 0 时 , f ( x ) ? 0 , 所 以 当 k ? 0 时 , f ( x ) ? k 只 有 一 个 零
点.??????????????5 分 ②由(Ⅰ)知, f ( x ) max ? f (1) ? ③当 0 ? k ?

1 1 ,所以 k ? 时, f ( x) ? k 只有一个零点.??????6 分 e e

1 时, f (x) 在 (??,1] 上递增并结合(Ⅰ) ,存在一个 x1 ? (0,1) ,使得 f ( x1 ) ? 0 . e 1 1 x x x g g 若 x ? 1 , g ( x) ? ke ? x , g ?( x) ? ke ? 1 , 1 ? x ? ln 时, ?( x) ? 0 , (x) 递减, ? ln 设 则 ∴ k k

时, g ?( x) ? 0 , g (x) 递增,∴ g ( x) min ? g (ln 设 h( x) ? ln x ? x ,则 h ?( x ) ?

1? x , 0 ? x ? 1 时, h ?( x) ? 0 , h(x) 递增, x ? 1 时, h ?( x) ? 0 , x

1 1 ) ? 1 ? ln ? 0 . k k

h(x) 递减,∴ h( x) max ? h(1) ? 0 ,即 x ? 0 且 x ? 1 时,有 ln x ? x .
ln 4 1 1 1 1 1 4 (1 ? 2k )(1 ? 2k ) ∴ g (ln 4 ) ? ke k ? ln 4 ? 3 ? 4 ln ? 3 ? ? ?0 k k k k k k k3 1

所以,在区间 (ln

x 1 1 , ln 4 ) 上存在一点 x2 使得 g ( x2 ) ? 0 ,即 x2 ? k . k k e2

因为 f (x) 在 (1,??) 上递减,所以存在唯一 x2 ? (1,??) ,使得 g ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x2 ) ? k . 所以 f ( x) ? k 在有两个零点. 综上所述,实数 k 的取值范围是 (??,0] ? ? ?.??????????10 分 1 (Ⅲ)设 an ? f (n) , S n ? a1 ? a2 ? ? ? an ,则 a n ? ∴

1 1 2 3 n ?1 n S n ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? n ?1 e e e e e e

n 1 2 3 n 且 Sn ? ? 2 ? 3 ? ? n , n e e e e e

1 1 (1 ? n ) 1 1 1 1 1 n e ? n ∴ (1 ? ) S n ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 ? e 1 e e e e e e a n ?1 1? e
∴ Sn ?

e(e n ? 1) ? n(e ? 1) . e n (e ? 1) 2
n 1 1 1 ,∴ f ( x) ? ,∴ a n ? f ( n) ? ,∴ S n ? , e e e e

由(Ⅰ)知 f ( x ) max ? f (1) ?

e(e n ? 1) ? n(e ? 1) n ? .????????????????14 分 ∴ e e n (e ? 1) 2


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