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高一数学竞赛


2006年苍南县高一数学竞赛试题
一、选择题(每小题5分, 共40分, 每题仅有一个正确答案) 1.已知函数f(x)满足f(
|
|2
xx?)=log2||xx, 则f(x)的解析式是( ) A.2?x B.log2 x C. ?log2 x D.x?2
2.已知f(x)=1-21x?(-1≤x≤0), 函数y=f(x+1)与y=f(3-x)的图象关于直线l 对称, 则直线l的方程为( ) A.x=2 B.x=1 C.x=
2
1
D.x=0 3.设f(x)是R上的奇函数, 且在(0, +∞)上递增, 若f(2
1
)=0, f(log4x)>0, 那么x的 取值范围是( ) A.x>2或
21<x<1 B.x>2 C.21<x<1 D.2
1
<x<2 4.已知定义域为R的函数y=f(x)在(0, 4)上是减函数, 又y=f(x+4)是偶函数, 则( )
A. f(5)<f(2)<f(7) B. f(2)<f(5)<f(7) C. f(7)<f(2)<f(5) D. f(7)<f(5)<f(2) 5.若不等式2x2+ax+2≥0对一切x∈(0,
2
1
]成立, 则a的最小值为( ) A.0 B. ?4 C.?5 D. ?6
6.已知定义域为R的函数f(x)满足f(-x)= -f(x+2), 且当x>1时, f(x)单调递增. 如果x1+x2<2, 且(x1-1)(x2-1)<0, 则f(x1)+f(x2)的值( ) A.恒大于0 B.恒小于0 C.可能为0 D.可正可负
7.若函数f(x)=25?|x+5| -4×5?|x+5| +m的图象与x轴有交点, 则实数m的取值范围是( ) A.m>0 B.m≤4 C.0<m≤4 D.0<m≤3
8.对定义在区间[a, b]上的函数f(x), 若存在常数c, 对于任意的x1∈[a, b]有唯一的x2∈[a, b], 使得
2
21)
()(xfxf?=c成立, 则称函数f(x)在区间[a, b]上的“均值”为c. 那么,
函数f(x)=lgx在[10, 100]上的“均值”为( ) A.
10
1 B.10 C.43 D.23


二、填空题(每小题5分, 共30分) 9.已知集合A={x | 4?2k<x<2k?8}, B={x | ?k<x<k}, 若A ? ≠B, 则实数k的取值范围是____________________ 10.若函数y=loga(2x2+ax+2)没有最小值, 则a的所有值的集合是_________________ 11.集合P={x|x=2n?2k, 其中n, k∈N, 且n>k}, Q={x|1912≤x≤2006, 且x∈N}, 那么, 集合P∩Q中所有元素的和等于_________ 12.已知方程组???????164log81log4loglog6481yx yx的解为?????11yyxx和?????22 yyxx, 则log18(x1 x2 y1 y2)=________ 13.若关于x的方程4x+2x m +5=0至少有一个实根在区间[1, 2]内, 则实数m的取值范围是_________________ 14.设card(P)表示有限集合P的元素的个数. 设a=card(A), b=card(B), c=card(A∩B), 且满足a≠b, (a+1)(b+1)=2006, 2a+2b=2a+b?c+2c , 则max{a, b}的最小值是______ 三、解答题(每题10分, 共30分) 15.设函数f(x)=|x+1|+|ax+1|. (1)当a=2时, 求f(x)的最小值; (2)若f(-1)=f(1), f(
- a1)=f
(a 1 )(a∈R, 且a≠1), 求a的值 16.设函数f(x)的定义域是(0, +∞), 且对任意的正实数x, y都有f(xy)=f(x)+f(y)恒成立. 已知f(2)=1, 且x>1时, f(x)>0. (1)求f
( 2 1 )的值; (2)判断y=f(x)在(0, +∞)上的单调性, 并给出你的证明; (3)解不等式f(x2)>f(8x?6) ?1. 17.已知函数f(x)=loga (ax2?x
+2 1 )在[1, 2]上恒为正数, 求实数a的取值范围


参考答案 1.C 2.B 3.A 4.A 5.C 6.B 7.D 8.D
9.(0, 4] 10.(0,1)∪[4,+∞
)
11.3904
12. 12
13.]52,4 21 [?
?
14.58 15.(1)当a=2时, f(x)=|x+1|+|2x
+1|=?? ? ? ? ? ??? ????????????21,23211,1,23xxxxxx ∴当x≤?1时, f(x)递减, 故f(x)≥f(?1)=1, 当?1<x<
? 21时, f(x)递减, 故f(x)>f(
?21
)=2 1 , 当x≥
?21时, f(x)递增, 故f(x)≥f(
?21
)=21, 因此, f(x)
的最小值为2 1 (2)由f(?1)=f(1)得 2+|a+1|=|1?a| (*), 两边平方后整理得|a+1|= ?(a+1) ∴ a≤?1 ① 同理, 由f(
-a1)=f
(a1)得
2+|a1+1|=|1
?a 1 |, 对比(*)式可得
a 1 ≤?1 ∴ ?1≤a<0 ② 由①②得a= ?1 16.(1)令x=y=1, 则可得f(1)=0, 再令x=2, y
=21, 得f(1)=f(2)+f
(21), 故f
(2 1 )= ?1 (2)设0<x1<x2, 则f(x1) +f
(12xx)=f(x2) 即f(x2) ?f(x1)=f
(1 2xx ),
∵12xx>1, 故f
(1 2xx )>0, 即f(x2)>f(x1) 故f(x)在(0, +∞)上为增函数 (3)由f(x2)>f(8x?6) ?1得f(x2)>f(8x?6) +f
(21)=f
[21 (8x?6)], 故得x2>4x?3且8x?6>0, 解得解集为{x
|43 <x<1或x>3} 17.题设条件等价于(1) 当a>1时, ax2?x
+2 1 >1对x∈[1, 2]恒成立; (2)当0<a<1时, 0<ax2?x
+21 <1对x∈[1, 2]恒成立. 由(1)得a
>21)11(2112122????xxx对x∈[1, 2]恒成立, 故得a
>23 . 由(2)
得??? ???????????21 )11(212 1)11(2122xaxa 对x∈[1, 2]恒成立,
故得21<a
<85. 因此, a的取值范围是a
>23
或21<a
<8 5


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