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平面向量的正交分解及坐标表示


高一数学《平面向量的正交分解及坐标表示》学案
一、教学目标: 1.知识目标:

班级

姓名
呢?

(二)提出疑惑: 如果在平面直角坐标系中选定一组互相垂直的向量作为基低,向量分解情况又会如何

①使学生理解平面向量坐标的概念,了解直角坐标系中平面向量代数化的过程(几何表示--线性表示---坐标表示) ,会写出直角坐标系内给定的向量坐标,会作出已知坐标表示的向量; ②掌握平面向量的坐标运算,能正确表述向量的加法、减法和实数与向量积的坐标运算法则, 并能运用它们进行向量的坐标运算,明确一个向量的坐标等于此向量的有向线段终点的坐标 减去始点的坐标。 2.能力目标: ①通过体验直角坐标系中平面向量的坐标表示的实现过程,激发学生的探索精神,增强学生 知识的应用意识; ②通过具体问题的分析解决,渗透数形结合数学思想,提高学生从一般到特殊的归纳能力。 3.德育目标: 在数学中体会知识的形成过程,感受数与形的和谐统一。 二、教学重点:平面向量的坐标表示及坐标运算 突破办法:渗透从特殊到一般的化归,数形结合的思想. 三、教学难点:对平面向量的坐标表示生成过程的理解 突破办法:设置铺垫,蓄势成渠,注意过程分析. 四、教学过程: (一)复习引入: 平面向量基本定理: 特别地, i ? ,j? ,0 ? . 2式 其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标, y 叫做 a 在 y 轴上的坐标,○ 叫做向量的坐标表示.与 .a 相等的向量的坐标也为 ..........( x, y ) . 1 a ? xi ? yj …………○ 我们把有序数对 2 a ? ( x, y) …………○ 叫做向量 a 的(直角)坐标,记作 向量的正交分解:把一个向量分解为 (三)讲解新课: 1. 平面向量的坐标表示 如图,在直角坐标系内,我们分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i 、 j 作为基 底.任作一个向量 a ,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数 x 、 y ,使得 ,叫做把向量正交分解

如图,在直角坐标平面内,以原点 O 为起点作 OA ? a ,则点 A 的位置由 a 唯一确定. 设 OA ? xi ? yj ,则向量 OA 的坐标 ( x, y ) 就是点 A 的坐标;反过来,点 A 的坐标 ( x, y ) 也就 是向量 OA 的坐标.因此,在平面直角坐标系内,每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表 示.

理解:(1) 我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的 (2) 基底不惟一,关键是 ;

;

2.平面向量的坐标运算 (1)若 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y 2 ) ,则 a ? b = ,a ?b=

(3) 由定理可将任一向量 a 在给出基底e1、e2的条件下进行分解; (4) 基底给定时,分解形式 . 即λ 1,λ 2 是被 a , e1 , e 2 唯一确定的数量
1

?

两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.

设基底为 i 、 j ,则 a ? b ? ( x1i ? y1 j ) ? ( x2 i ? y 2 j ) ? ( x1 ? x2 )i ? ( y1 ? y 2 ) j 即 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) ,同理可得 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) (2) 若 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,则 AB ? 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.

例 4 已知三个力 F1 (3, 4), 求 F3 的坐标.

F2 (2, ?5), F3 (x, y)的合力 F1 + F2 + F3 = 0 ,

AB = OB ? OA =( x2, y2) ? (x1,y1)= (x2? x1, y2? y1)
(3)若 a ? ( x, y) 和实数 ? ,则 ?a ? 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 设基底为 i 、 j ,则 ?a ? ? ( xi ? yj) ? ?xi ? ?yj ,即 ?a ? (?x, ?y) 三、讲解范例: 例 1 (1)写出向量 BC 的坐标,并与 OA 的坐标进行比较; (2) 写出向量 OC , OB 的坐标
-5

.

课堂小结:回顾反思所学内容,你有那些体会和收获?
四、课堂练习: A组
y
4

1.若 M(3, -2) N(-5, -1) 且 MP ?
A(2,3)

1 MN , 求 P 点的坐标 2
.

3

2

2.若 A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4) , 则 AB ?2 BC =
C(5,1)
o 1 2 3
5

1

-4

-3

-2

-1
-1 -2

4

x

10

3.已知:四点 A(5, 1), B(3, 4), C(1, 3), D(5, -3) , 求证:四边形 ABCD 15 是梯形.

.

B(3,-2)
-3

4. 书 P100 练习 1 、2、3、 B组 1. 在平面直角坐标系中,已知点 A 时坐标为( 2 , 3 ) ,点 B 的坐标为( 6 , 5 ) ,则

-4

例 2 已知 a =(2,1), b =(-3,4),求 a + b , a - b ,3 a +4 b 的坐标-6 .

?

?

? ?

? ?

?

?

??? OA =_______________, OB =__________________。
?? ?
-8

2. 已 知 向 量 | a |? 4 , 的 方 向 与 x 轴 的 正 方 向 的 夹 角 是 30 ° , 则 a 的 坐 标 为
-10

?

?

_____________。 例 3 已知平面上三点的坐标分别为 A(?2, 1), B(?1, 3), C(3, 4),求点 D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点. -6) 在平面直角坐标系中,分别作出向量 AC BD EF 并求向量 AC BD EF 的坐标。 4. 作业:书 P101 习题 A 组 1.2.3.4 B 组 1.
2

3. 已知点 A(2,2) B(-2,2) C(4,6) D(-5,6) E(-2,-2) F(-5,

??? ? ??? ???

??? ? ??? ???


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