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福州高级中学2014级数学培优资料 第12讲 平行的判定与性质(学生)


第 12 讲

平行的判定与性质

1. 线面平行的定义:直线和平面没有公共点,则直线和平面平行. 2. 判定定理:平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行. 符号表示为: a ? ? , b ? ? , a // b ? a // ? . 3.性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那

么这条直线和交 a // ? ? ? 线平行. 即: a ? ? ? ? a // b . ? ? ? ? b? ? 【例 1】已知 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点,E、F 分别为 AB、PD 的中点,求证:AF∥平面 PEC

【例 2】在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别为棱 BC、C1D1 的中点. 求 证:EF∥平面 BB1D1D.

【例 3】如图,已知 E 、 F 、 G 、 M 分别是四面体的棱 AD 、 CD 、 BD 、 BC 的中点,求证: AM ∥平面 EFG .

A E B G M D O C F

【例 4】如图,已知 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点,M、N 分别是 AB、 PC 的中点 (1)求证:MN//平面 PAD;
王新敞
奎屯 新疆

(2)若 MN ? BC ? 4 , PA ? 4 3 ,求异面直线 PA 与 MN 所成的角的大 小.

【例 5】三角形的三条中线交于一点,该点称为三角形的重心,且到顶点的距离等于到对边中点距离的 2 倍. 这一结论叫做三角形的重心定理. 在四面体 ABCD 中,M、N 分别是面△ACD、△BCD 的重心,在四面体的四个面中,与 MN 平行的是 哪几个面?试证明你的结论.

【例 6】经过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 BB1 作一平面交平面 AA1D1D E1E,求证:E1E∥B1B
王新敞
奎屯 新疆


E1 A1 D1 B1 D E A B C C1

【例 7】如图, AB // ? , AC // BD , C ?? , D ?? ,求证: AC ? BD .

A β C D

B

?

【例 8】如右图,平行四边形 EFGH 的分别在空间四边形 ABCD 各边上,求证:BD//平面 EFGH.

【例 9】 已知直线 a ∥平面α , 直线 a ∥平面β , 平面α ? 平面β = b , 求证 a // b .

d

? ?

?

b _ a _

?

c
1 AB,点 E、M 分别为 2 A1B、C1C 的中点,过点 A1、B、M 三点的平面 A1BMN 交 C1D1 于点 N. (1)求证:EM∥平面 A1B1C1D1; (2)设截面 A1BMN 把该正四棱柱截成两个 几何体的体积分别为 V1、V2(V1<V2 ) ,求 V1∶V2 的值.

【例 10】如下图,在正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,AA1=

1.面面平行判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.用 a ? ? , b ? ? , a ? b ? P? 符号表示为: ? ? ? // ? . a // ? , b // ? ? 2. 面面平行的性质定理:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行. 用符号语言表 示为: ? // ? , ? ? ? ? a, ? ? ? ? b ? a // b . 3. 其它性质:① ? // ? , l ? ? ? l // ? ; ② ? // ? ,l ? ? ? l ? ? ;③夹在平行平面间的平行线段相等. 【例 1】如右图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、N、P 分别是 C1C、B1C1、C1D1 的中点,求证:平面 MNP∥平面 A1BD.

【例 2】正方体 ABCD—A1B1C1D1 中. (1)求证:平面 A1BD∥平面 B1D1C; (2)若 E、F 分别是 AA1,CC1 的中点,求证:平面 EB1D1∥平面 FBD. A1 E

D1 B1

C1

F D A 【例 3】已知四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 为平行四边形. 点 M、N、Q 分别在 PA、BD、PD 上, 且 PM:MA=BN:ND=PQ:QD. 求证:平面 MNQ∥平面 PBC. C N B A P Q M D G B C

【例 4】P 是 ?ABC 所在平面外一点, A'、B'、C ' 分别是 ?PBC、?PCA、?PAB 的重心, (1)求证:平面 A' B'C ' //平面ABC ; (2)求 S?A' B'C ' : S?ABC .

【例 5】如图,设平面α ∥平面β ,AB、CD 是两异面直线,M、N 分别是 AB、CD 的中点,且 A、C∈α , B、D∈β . 求证:MN∥α .
A ? M E C

N D

?

B

【例 6】如图,A,B,C,D 四点都在平面?,?外,它们在?内的射影 A1,B1,C1,D1 是平行四边形的四 个顶点,在?内的射影 A2,B2,C2,D2 在一条直线上,求证:ABCD 是平行四边 形.

【例 7】如图,在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,E、F、G 是侧面对角线上的点,且 BE ? CF ? AG ,求证:平面 EFG∥平面 ABC.

【例 8】如图,已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,面对角线 AB1 , BC1 上分别有两点 E、F,且 B1 E ? C1F . 求 证:EF∥平面 ABCD.
D1 B1 A1 E G E D C N A M B F C1

【例 9】如图甲,在透明塑料制成的长方体 ABCD—A1B1C1D1 容器内灌进一些水,固定容器底面一边 BC 于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下列四个说 法: ①水的部分始终呈棱柱状; ②水面四边形 EFGH 的面积不改变; ③棱 A1D1 始终与水面 EFGH 平行; ④当容器倾斜如图乙时,EF·BF 是定值.

其中正确说法的序号是_____________. 文章来源:福州五佳教育网 www.wujiajiaoyu.com(中小学直线提分,就上福州五佳教育)


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