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高中数学选修2-1新教学案:第三章空间向量与立体几何检测题


第三章

空间向量与立体几何

检测题


1.? 、 ? 为两个确定的相交平面, a 、b 为一对异面直线,下列条件: ① a∥?,b ? ? ;

a ? ? , b∥? ; ③ a ? ? , b ? ? ; ④ a∥? , b∥? , a与? 的距离等于 b与? 的距离.其中能使

a 、 且
b 所成的角为定值的有 ( ) A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 4 个 2.在正三棱锥 P ? ABC 中, M 、 N 分别是侧棱 PB 、 PC 的中点,若截面 AMN ⊥侧面 PBC ,
则此三棱锥的侧棱与底面所成角的正切值是 A . ( )

3 2

B.

2

C .

5 2

D .

6 2

3.在正三棱锥 S ? ABC 中, E 为 SA 的中点, F 为△ ABC 的中心, SA ? BC ,则异面直 线 EF 与 AB 所成的角是 ( ) A. 90? B. 60? C. 45? D. 30? 4.正四棱锥 P ? ABCD 的高为 PO , AB ? 2 PO ? 2 cm ,则 AB 与侧面 PCD 的距离为( A. 2 cm B. 2 cm C.

)

3 cm

D. 3cm

5.在底面边长为 a 的正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, D 、 E 分别为侧棱 BB1 、 CC1 上的点且

EC ? BC ? 2 BD ,则截面 ADE 与底面 ABC 所成的角为 ( ) A . 30? B. 45? C. 60? D. 75? 2? 6.若二面角 ? ? l ? ? 为 ,直线 m ? ? ,则 ? 所在平面内的直线与 m 所成角的取值范围是 3
_______________________; 7.已知正四棱锥的所有棱长均相等,则侧面与底面所成二面角的余弦值为______________. 8.空间四边形 ABCD 中, E 、 F 分别是 AD 、 BC 中点.若 AB ? 1 , CD ? 3 , AB ? CD . 则 EF 与 CD 所成的角为_________________. 9.半球内有一内接正方体, 正方体的一个面在半球的底面圆内. 若正方体的棱长为 6 , 则半球的体积为 ___. 10.在正四棱柱 ABCD ? A B1C1D1 中, AB ? 2BB1 ? 2 , P 为 B1C1 的中点. 1 (1)求直线 AC 与平面 ABP 所成的角; (2)求异面直线 AC 与 BP 所成的角; (3)求点 B 到平面 APC 的距离. P

11. 如 图 , 在 三 棱 柱 ABC ? A1B1C1 中 , 四 边 形 A ABB1 是 菱 形 , 四 边 形 BCC1B1 是 矩 形 , 1

AB ? BC , BC ? 3 , AB ? 4 , ?A1 AB ? 60? .

A1 C1
1

B1

A

B

(1)求证:平面 CA B ? 平面 A ABB1 ; 1 1 (2)求直线 AC 与平面 BCC1B1 所成角的正切值; 1 (3)求点 C1 到平面 A BC 的距离. 1 12.如图,已知长方体 ABCD ? A B1C1D1, AB ? 2, AA ? 1, 直线 BD 与平面 AA B1B 所成的角为 1 1 1 A 1 30? , AE 垂直 BD 于 E , F 为 A1B1 的中点. D1 (1) 求异面直线 AE 与 BF 所成的角; F (2)求平面 BDF 与平面 AA1B 所成的二面角; (3)求点 A 到平面 BDF 的距离.
B1
A

C1
E

D

B

C

13.如图,在四面体 P ? ABC 中, PA ? BC ? 6 , PC ? AB ? 10 , AC ? 8 , PB ? 2 34 ,

F 是线段 PB 上一点, CF ?

15 34 ,点 E 在线段 AB 上,且 EF ? PB . 17 (1)求证: PB ? 平面 CEF ; (2)求二面角 B ? CE ? F 的大小.

14.在四棱锥 P ? ABCD 中, AD ? AB , CD ∥ AB , PD ? 底面 ABCD , 直线 PA 与底面 ABCD 成 60? 角,点 M 、 N 分别是 PA 、 PB 的中点. (1)求二面角 P ? MN ? D 的大小; P (2)如果△ CDN 为直角三角形,求

AB ? 2, AD

CD 的值. AB
M N C D

A

B

2

15.如图,已知四棱锥 P ? ABCD , PA ? 平面 ABCD ,底面 ABCD 为直角梯形, ?A ? 90? , 且 AB ∥ CD , AB ?

1 CD . 2

(1)点 F 在线段 PC 上运动,且设

| PF | ? ? ,问 ? 为何值时, | FC |

BF ∥平面 PAD ?并证明你的结论; (2)若二面角 F ? CD ? B 为 45°,求二面角 B ? PC ? D 的大小; (3)在(2)的条件下,若 AD ? 2 , CD ? 3 ,求点 A 到平面 PBC 的距离.

答案
1. B 6. ? 2. C 3.C 7. 4.A 8. 30? 5.B 9. 18?

?? ? ? , ?6 2? ?

3 3

10. (1)∵ AB ? 平面 BC1 , PC ? 平面 BC1 , ∴ AB ? PC . 在矩形 BCC1B1 中, BC ? 2 , BB1 ? 1 , P 为 B1C1 的中点, ∴ PC ? PB . ∴ PC ? 平面 ABP , ∴ ?CAP 为直线 AC 与平面 ABP 所成的角. ∵ PC ? 2 , AC ? 2 2 , ∴在 Rt△ APC 中, ?PAC ? 30? , ∴直线 AC 与平面 ABP 所成的角为 30? . (2)取 A1D1 中点 Q ,连结 AQ 、 CQ ,在正四棱柱中,有 AQ ∥ BP , ∴ ?CAQ 为异面直线 AC 与 BP 所成的角. 在 △ACQ 中, AQ ? ∴ ?CAQ ? 60? . ∴异面直线 AC 与 BP 所成的角为 60? . (3)过点 B 作 BH ? AP 于 H , 由题(1) PC ? 平面 ABP , ∴ BH ? PC , ∴ BH ? 平面 APC , ∴ BH 的长即为点 B 到平面 APC 的距离. 在 Rt△ ABP 中, AB ? 2 , BP ? (也可用向量法)

2, AC ? 2 2, CQ ? CC12 ? C1Q 2 ? 6.

2,
3

∴ BH ?

2 3 . 3

11.(1)证:∵四边形 BCC1B1 是矩形, ∴ BC ? BB1 . 又∵ AB ? BC , AB ? BB1 ? B ∴ BC ? 平面 A ABB1 . 1 ∵ BC ? 平面 A1CB ,∴平面 CA B ? 平面 A ABB1 . 1 1 (2)解:过 A 作 A1D ? BB1 于 D ,连接 DC . 1 ∵ BC ? 平面 A ABB1 , 1 ∴ BC ? A1D , ∴ A1D ? 平面 BCC1B1 ,故 ?ACD 为直线 AC 与平面 BCC1B1 所成的角. 1 1 在矩形 BCC1B1 中, CD ? 13 , ∵四边形 A ABB1 是菱形, ?A AB ? 60? , BC ? 3 , AB ? 4 1 1 ∴ A D ? 2 3 ,∴ ? tan ?A1CD ? 1

A1 D 2 3 2 39 . ? ? CD 13 13

(3)∵ B1C1 ∥ BC ,∴ B1C1 ∥平面 A BC , 1 ∴ C1 到平面 A BC 的距离即为 B1 到平面 A BC 的距离. 1 1 连结 AB1 ,设 AB1 ? A B ? O . 1 ∵四边形 A ABB1 是菱形, 1 ∴ A1B ? B1O . ∵平面 A BC ⊥平面 A ABB1 , 1 1 ∴ B1O ? 平面 A BC , 1 ∴ B1O 即为 C1 到平面 A BC 的距离. 1

4

∵ B1O ? 2 3 , ∴ C1 到平面 A BC 的距离为 2 3 . 1 12.在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,以 AB 所在的直线为 x 轴,以 AD 所在的直线为 y 轴, AA1 所 在的直线为 z 轴,建立如图示空间直角坐标系. 由已知 AB ? 2, AA ? 1, 可得 A(0,0,0), B(2,0,0) , F (1,0,1) . 1 又 AD ? 平面 AA B1B , 1 从而 BD 与平面 AA B1B 所成的角为 ?DBA ? 30? . 1 又 AB ? 2 , AE ? BD , AE ? 1, AD ? 从而易得 E ? ,

2 3 . 3

?1 3 ? ? 2 3 ? ? 2 2 ,0 ? , D ? 0, 3 ,0 ? . ? ? ? ? ? ? ? ??? ? 1 3 ? ??? ? ? , 0 ? , BF ? (?1,0,1) , (1)∵ AE ? ? , ?2 2 ? ? ? ??? ??? ? ? ?1 ??? ??? ? ? 2 AE ? BF ∴ cos ? AE , BF ?? ??? ??? ? 2 ? ? . ? ? 4 2 AE BF

2 4 ?? (2)易知平面 AA1B 的一个法向量 m ? (0,1,0) . ? 设 n ? ( x, y, z) 是平面 BDF 的一个法向量. ??? ? 2 3 BD ? (?2, ,0) . 3 ? ??? ? ? ??? ? ?? x ? z ? 0 ? ?n ? BF ?n ? BF ? 0 ?x ? z ? ? ? ? ?? 由 ? ? ??? ? ? ? ??? .即 n ? (1, 3,1) . ?? ? ? 2 3 y ? 0 ? 3x ? y ?n ? BD ?n ? BD ? 0 ? ?2 x ? ? ? 3 ? ?? ? ?? ? m?n 15 ∴ cos ? m, n ?? ?? ? ? , 5 m n
易知异面直线 AE、BF 所成的角为 arccos 即平面 BDF 与平面 AA1B 所成的二面角的大小(锐角)为 arccos

(3)点 A 到平面 BDF 的距离,即 AB 在平面 BDF 的法向量 n 上的投影的绝对值,

??? ?

?

15 . 5

??? ? ? AB ? n 2 5 ??? ? ??? ? ? ∴距离 d ? AB ? cos ? AB, n ? ? . ? ? 5 n
∴点 A 到平面 BDF 的距离为
2

2 5 . 5
2 2

13.(I)证明:∵ PA ? AC ? 36 ? 64 ? 100 ? PC , ∴△ PAC 是以 ?PAC 为直角的直角三角形.
5

同理可证,△ PAB 是以 ?PAB 为直角的直角三角形, △ PCB 是以 ?PCB 为直角的直角三角形. 故 PA ? 平面 ABC .

1 1 | AC || BC |? ?10 ? 6 ? 30 . 2 2 1 1 15 34 而 | PB || CF |? ? 2 34 ? ? 30 ? S?PBC . 2 2 17 故 CF ? PB ,又已知 EF ? PB . ∴ PB ? 平面 CEF . (II)由(I)知 CE ? PB , PA ? 平面 ABC , ∴ AB 是 PB 在平面 ABC 上的射影,故 AB ? CE .
又∵ S ?PBC ? 在平面 PAB 内,过 F 作 FF1 垂直于 AB 于 F , 1 则 FF ? 平面 ABC . 1

EF1 是 EF 在平面上的射影,∴ EF ? EC .
故 ? BEF 是二面角 B ? CE ? F 的平面角.

AB 10 5 ? ? , AP 6 3 5 ∴二面角 B ? CE ? F 的大小为 arctan . 3 tan ?FEB ? cot ?PBA ?
14.解法一: (1) ?PMD 为二面角 P ? MN ? D 的平面角. 计算得二面角 P ? MN ? D 的大小为 120? . (2)①若 ?CDN ? 90? ,与题意不符;

CD 1 ? ; AB 2 CD 3 ? . ③若 ?CND ? 90? ,可算得 AB 2
②若 ?DCN ? 90? ,可算得 解法二:用向量方法(略). 15.(1)当 ? ? 1 时, BF ∥平面 PAD . 证明:取 PD 中点 E ,则 EF ∥ CD ,且 EF ? 又 AB ∥ CD ,且 AB ?

1 CD . 2

1 CD , 2

∴四边形 ABFE 为平行四边形. ∴ BF ∥ AE . 又 AE ? 平面 PAD , ∴ BF ∥平面 PAD . (2)? PA ? 平面 ABCD , CD ? AD , ∴ CD ? PD , ? PDA 即是二面角的平面角, ?PDA ? 45? . ∴△ PAD 为等腰直角三角形,∴ AE ? PD . ∵ CD ? AD , ∴ AE ? CD .
6

∴ AE ? 平面 PCD . 又 BF ∥ AE , ∴ BF ? 平面 PCD . ? BF ? 平面 PBC , ∴平面 PCD ⊥平面 PBC ,即二面角 B ? PC ? D 的大小为 90? . (3)在平面 PCD 内作 EH ? PC 于点 H , 由平面 PCD ⊥平面 PBC ,且平面 PCD ? 平面 PBC ? PC , ∴ EH ? 平面 PBC . 在 Rt ?PCD 中, PC ?

PD2 ? CD2 ? 17 ,

在 Rt ?PEF 中, EH ? PF ? PE ? EF , 将 PE ?

2, PF ?

17 3 3 34 . , EF ? 代入得, EH ? 2 2 17 3 34 . 17

即点 E 到平面 PBC 的距离为 又? AE / / BF , ∴ AE / / 平面 PBC , ∴点 A 到平面 PBC 的距离为

3 34 . 17

7


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