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不等式知识点及其解题技巧


不等式知识点及其解题技巧
1、不等式的性质: (1)同向不等式可以相加;异向不等式可以相减:若 a ? b, c ? d , 则 a ? c ? b ? d (若 a ? b, c ? d ,则 a ? c ? b ? d ) ,但异向不等式不可以相加;同向不等 式不可以相减; (2)左右同正不等式:同向的不等式可以相乘,但不能相除;异向不等式 可以相除,但不能相乘:若 a ? b ? 0, c ? d ? 0 ,则 ac ? bd (若 a ? b ? 0,0 ? c ? d ,则

a b n n ? ) ; (3)左右同正不等式:两边可以同时乘方或开方 :若 a ? b ? 0 ,则 a ? b 或 c d 1 1 1 1 n (4)若 ab ? 0 , a ? b ,则 ? ;若 ab ? 0 , a ? b ,则 ? 。如( 1 ) a?nb; a b a b 2 2 2 2 对于实数 a, b, c 中,给出下列命题:① 若a ? b, 则ac ? bc ;② 若ac ? bc , 则a ? b ; 1 1 b a ③ 若a ? b ? 0, 则a 2 ? ab ? b 2 ;④ 若a ? b ? 0, 则 ? ;⑤ 若a ? b ? 0, 则 ? ; a b a b a b 1 1 ? ⑥ 若a ? b ? 0, 则a ? b ;⑦ 若c ? a ? b ? 0, 则 ;⑧ 若a ? b, ? ,则 c?a c?b a b a ? 0, b ? 0 。其中正确的命题是 ______ (答:②③⑥⑦⑧) ; ( 2 ) 已知 ?1 ? x ? y ? 1 , 1 ? x ? y ? 3 ,则 3x ? y 的取值范围是______(答:1 ? 3x ? y ? 7 ) ; (3)已知 a ? b ? c ,
且 a ? b ? c ? 0, 则

c 1? ? 的取值范围是______(答: ? ?2, ? ? ) a 2? ?

2. 不等式大小比较的常用方法: (1)作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差 的符号得出结果; (2)作商(常用于分数指数幂的代数式) ; (3)分析法; (4)平方法; (5) 分子(或分母)有理化; (6)利用函数的单调性; (7)寻找中间量或放缩法 ;(8)图象法。 其 中 比 较 法 ( 作 差 、 作 商 ) 是 最 基 本 的 方 法 。 如 ( 1 ) 设 a ? 0且a ? 1, t ? 0 , 比 较

1 t ?1 1 t ?1 log a t和 log a 的大小(答:当 a ? 1 时, log a t ? log a ( t ? 1 时取等号) ;当 2 2 2 2 1 t ?1 1 0 ? a ? 1 时, log a t ? log a ( t ? 1 时取等号) ) ; (2)设 a ? 2 , p ? a ? , 2 2 a?2

q ? 2 ?a

2

? 4 a ?2

, 试 比 较 p, q 的 大 小 ( 答 : p ? q );( 3 ) 比 较 1+ logx 3 与

2 logx 2( x ? 0且x ? 1) 的大小(答:当 0 ? x ? 1 或 x ?
1? x ?

4 时, 1+ logx 3 > 2log x 2 ;当 3

4 4 时,1+ logx 3 < 2log x 2 ;当 x ? 时,1+ logx 3 = 2log x 2 ) 3 3 1 的最小值是 2 x
B、 D、

3. 利用重要不等式求函数最值时,你是否注意到: “一正二定三相等,和定积最大, 积定和最小” 这 17 字方针。 如 (1) 下列命题中正确的是 A、y ? x ?

y?

x2 ? 3 x ?2
2

的最小值是 2

C 、 y ? 2 ? 3x ?

4 ( x ? 0) 的最大值是 2 ? 4 3 x

4 x y y ? 2 ? 3 x ? ( x ? 0) 的最小值是 2 ? 4 3 (答:C) ; (2)若 x ? 2 y ? 1 ,则 2 ? 4 的最 x 1 1 2 2) 小值是______ (答: ; (3) 正数 x, y 满足 x ? 2 y ? 1 , 则 ? 的最小值为______ (答: x y

3? 2 2 ) ;

2 (根据目标不等式左右的运算 1?1 a b 2 2 2 结构选用) ; (2)a、b、c ? R, a ? b ? c ? ab ? bc ? ca (当且仅当 a ? b ? c 时,取等 b b?m 号) ; (3)若 a ? b ? 0, m ? 0 ,则 ? (糖水的浓度问题) 。如如果正数 a 、 b 满足 a a?m ab ? a ? b ? 3 ,则 ab 的取值范围是_________(答: ?9, ?? ? ) 2 2 ab ?
5、 证明不等式的方法: 比较法、 分析法、 综合法和放缩法(比较法的步骤是: 作差 (商) 后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与 1 的大小,然后作出结论。). 常用的放缩技巧有:

4.常用不等式有: (1) a ? b ? a ? b ?
2 2

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? 2? ? ? n n ? 1 n(n ? 1) n n(n ? 1) n ? 1 n

1 1 1 ? ? ? k ? k ?1 k ?1 ? k 2 k k ?1 ? k 2 2 2 2 2 2 如 ( 1 ) 已 知 a ? b ? c , 求 证 : a b ? b c ? c a ? ab ? bc ? ca ; (2) 已 知 ? a, b, c ? R ,求证: a 2b 2 ? b 2 c 2 ? c 2 a 2 ? abc(a ? b ? c) ; ( 3 ) 已知 a, b, x, y ? R ,且 1 1 x y ? , x ? y ,求证: ? ; (4) 若 a 、 b 、 c 是 不 全 相 等 的 正 数 , 求 证 : a b x?a y ?b a?b b?c c?a 2 2 2 2 lg ? lg ? lg ? lg a ? lg b ? lg c ; (5)已知 a, b, c ? R ,求证: a b ? b c 2 2 2 k ?1 ? k ?
2 * 2 ?c2a2 ? abc(a ? b ? c) ;(6)若 n ? N ,求证: (n ? 1) ? 1 ? (n ? 1) ? n ?1 ? n ;(7) 1 1 1 |a|?|b| |a|?|b| ? 已知 | a |?| b | ,求证: ; (8)求证:1 ? 2 ? 2 ? ? 2 ? 2 。 2 3 n | a ?b| | a?b|

6.简单的一元高次不等式的解法:标根法:其步骤是: (1)分解成若干个一次因式的 积,并使每一个因式中最高次项的系数为正; (2)将每一个一次因式的根标在数轴上,从 最大根的右上方依次通过每一点画曲线;并注意奇穿过偶弹回; (3)根据曲线显现 f ( x ) 的 符号变化规律,写出不等式的解集。如(1)解不等式 ( x ?1)( x ? 2) ? 0 。 (答:{x | x ? 1 或
2

x ? ?2} ) ; (2)不等式 ( x ? 2) x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 的解集是____(答:{x | x ? 3 或 x ? ?1} ) ; (3)设函数 f ( x ) 、 g ( x) 的定义域都是 R,且 f ( x) ? 0 的解集为 {x |1 ? x ? 2} ,g ( x) ? 0 的解集为 ? ,则不等式 f ( x) g ( x) ? 0 的解集为______(答: (??,1) [2, ??) ) ; (4)要
2 使满足关于 x 的不等式 2 x ? 9 x ? a ? 0 (解集非空)的每一个 x 的值至少满足不等式

[7, x 2 ? 4 x ? 3 ? 0和x 2 ? 6 x ? 8 ? 0 中的一个, 则实数 a 的取值范围是______. (答:

81 )) 8

7.分式不等式的解法:分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为 0,再通分并将分 子分母分解因式,并使每一个因式中最高次项的系数为正,最后用标根法求解。解分式不 等式时,一般不能去分母,但分母恒为正或恒为负时可去分母。 如(1)解不等式

5? x ? ?1(答:(?1,1) (2,3) ) ; (2) 关于 x 的不等式 ax ? b ? 0 的解集为 (1,??) , x ? 2x ? 3 ax ? b ? 0 的解集为____________(答: (??,?1) ? (2,??) ). 则关于 x 的不等式 x?2
2

8. 绝对值不等式的解法: (1)分段讨论法(最后结果应取各段的并集 ) :如 解不等式

|2?

3 1 x |? 2? | x ? | (答: x ? R ) ; (2)利用绝对值的定义; (3)数形结合;如解不等 4 2

式 | x | ? | x ? 1|? 3(答:(??, ?1)

(2, ??) ) (4) 两边平方: 如若不等式 | 3x ? 2 |?| 2 x ? a | 4 对 x ? R 恒成立,则实数 a 的取值范围为______。 (答: { } ) 3
9、含参不等式的解法:求解的通法是“定义域为前提,函数增减性为基础,分类讨论 是关键. ”注意解完之后要写上: “综上,原不等式的解集是?” 。注意:按参数讨论,最后 应按参数取值分别说明其解集;但若按未知数讨论,最后应求并集. 如(1)若 log a 则 a 的取值范围是__________(答: a ? 1 或 0 ? a ?

2 ?1, 3

2 ax 2 ? x(a ? R) ) ; (2)解不等式 3 ax ? 1 1 1 (答:a ? 0 时,{ x | x ? 0} ; a ? 0 时,{x | x ? 或 x ? 0} ; a ? 0 时,{x | ? x ? 0} 或 a a x ? 0} )
提醒: (1)解不等式是求不等式的解集,最后务必有集合的形式表示; (2)不等式解集 的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。 如 关于 x 的不等式

ax ? b ? 0 的解集为 (??,1) ,则不等式

x?2 ? 0 的解集为__________(答: (-1,2) ) ax ? b

11.含绝对值不等式的性质: a、 b 同号或有 0 ? | a ? b |?| a | ? | b | ? || a | ? | b ||?| a ? b | ;

a、 b 异号或有 0 ? | a ? b |?| a | ? | b | ? || a | ? | b ||?| a ? b | . 2 如设 f ( x) ? x ? x ? 13 ,实数 a 满足 | x ? a |? 1 ,求证: | f ( x) ? f (a) |? 2(| a | ?1)
12.不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题:不等式恒成立问题的常规处理方式?(常 应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题,也可抓住所给不等式的结构特征,利 用数形结合法) 1).恒成立问题 若不等式 f ?x ? ? A 在区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上 f ? x ?min ? A
2 2

若不等式 f ?x ? ? B 在区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上 f ? x ?max ? B 如(1)设实数 x, y 满足 x ? ( y ?1) ? 1 ,当 x ? y ? c ? 0 时, c 的取值范围是______ (答: ? 2 ? 1, ?? ) ; (2)不等式 x ? 4 ? x ? 3 ? a 对一切实数 x 恒成立,求实数 a 的取

?

?

2 值范围_____(答: a ? 1 ) ; (3)若不等式 2 x ?1 ? m( x ?1) 对满足 m ? 2 的所有 m 都成

7 ?1 3 ?1 (?1) n ?1 n , ) ) ; (4)若不等式 (?1) a ? 2 ? 2 2 n 3 对于任意正整数 n 恒成立,则实数 a 的取值范围是_____ (答: [ ?2, ) ) ; ( 5 ) 若不等式 2 1 m?? ) x 2 ? 2mx ? 2m ? 1 ? 0 对 0 ? x ? 1 的所有实数 x 都成立, 求 m 的取值范围(答: . 2
立,则 x 的取值范围_____(答: ( 若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f ?x ? ? A 成立,则等价于在区间 D 上 f ? x ?max ? A ; 若在区间 D 上存在实数 2). 能成立问题

x

使 不 等 式 f ?x ? ? B 成 立 , 则 等 价 于 在 区 间 D 上 的

f ? x ?min ? B .
如已知不等式 x ? 4 ? x ? 3 ? a 在实数集 R 上的解集不是空集,求实数 a 的取值范围 ______(答: a ? 1 ) 3). 恰成立问题

若不等式 f ?x ? ? A 在区间 D 上恰成立, 则等价于不等式 f ?x ? ? A 的解集为 D ; 若不等式 f ?x ? ? B 在区间 D 上恰成立, 则等价于不等式 f ?x ? ? B 的解集为 D .


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