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《概率》教材分析


概 率 全 章 教 材 分 析
(高洁 一.概率的地位与作用
1. 简单介绍概率的历史背景
(1)1654 年法国骑士梅累向法国数学家帕斯卡提出了问题: “两个赌徒相约若干局, 谁先赢了 S 局,赌博中止.若一人赢 a(a ? S ) 局,另一人赢 b(b ? S ) ,赌博中止,赌本如 何分?” 帕斯卡与费马在同性中取得了一致意见: 在被迫停止的赌

博中应当按每个局中人赌 赢的数字其往来分配桌上的赌注.他们虽然没有明确定义概率的概念,但是,他们定义了某 赌徒取胜的机遇,也就是赢的情况数与所有可能情况数的比,这实际上就是概率,所以概率 的发展被认为是从帕斯卡和费马开始的. (2)雅各·伯努利在《猜度术》中提出了后来以“伯努利定理”著称的极限定理:若 在一系列独立试验中,事件 A 发生的概率为常数 P,那么对 ?? ? 0 以及充分大的试验次数

陕西师范大学

710062)

|( 有 P{ n,

m ? )| P }?1 ? ? ( ? ? ? 为任意小正数) , 其中 m 为 n 次试验中事件 A 发生的次数, n

伯努利定理刻画了大量经观测中呈现的稳定性, 作为大数定律的最早形式而在概率论发展史 上占有重要地位. 伯努利认为:先前人们对概率概念,多半从主观方面解释,即说成是一种“期望” ,这 种期望是先验的等可能性的假设,是以古典概型为依据的.这种方法有很大的局限性,也许 只在赌博中可用,在更多的场合,由于无法数清所有的可能情况,也无法确定不同情况的可 能性的大小,这种方法就不可行.他提出为了处理更大范围的问题,必须选择另一条道路, 就是 “后验地去验知我们所无法先验地确定的东西, 也就是从大量相关实例的观察结果中去 探知它. ” (3)拉普拉斯 1812 年出版的《概率的分析理论》以强有力的分析工具处理概率论的基 本内容,实现了从组合技巧向分析方法的过渡,开辟了概率论发展的新时期. (4)原苏联数学家科尔莫戈罗夫从测度论途径探讨整个概率论理论的严格表述,在 1933 年的经典著作《概率论基础》中建立起的公理系统逐渐得到了数学家们的普遍承认, 由于公理化,概率论成为一门严格的演绎科学,取得了于其他数学分支同等的地位. 概率论不仅是“数学之树”的庞大枝条,而且还有若干强壮的根,直接扎根在实际应用 环境的大地上. 正如英国的逻辑学家和经济学家杰文斯所说, 概率论是 “生活真正的领路人,

如果没有对概率的某种估计,我们就寸步难行. ” (参徐传胜《概率论简史》 )

2.中学概率的重要地位
在中学阶段,学生对数学的认识要经历三个飞跃:一是,学习函数后,从常量数学到变 量数学的飞跃;二是,学习极限与导数后,从有限数学到无限数学的飞跃;三是,学习概率 后,从确定性数学到随机性数学的飞跃.可见,在对随机现象的数学处理上不同于确定性数 学,数学正朝着精确性――随机性――模糊性的方向在发展.

二.教学中的重点、难点、疑点试分析
1. 概率与频率的关系
1.1 频率是一个统计术语,总是和一定量的具体的试验相联系的,不同的人、不同的时 间的试验会得到不同的结果,频率具有随机性. 1.2 概率反映了事件内在的规律性, 不会随试验的不同而不同.我们常用大量重复试验的 频率去估测事件的概率,一般来说,试验次数越多,越可靠(不能说:次数越多就一定越接 近概率值) . 1.3 概率是频率的稳定值,频率是概率的近似值. 有一种误解: “概率是频率的近似值才对,因为我们常从频率估算概率,而频率对一定 的试验来说是准确的. ” 我们所定义的概率是一个理想值,如对一枚硬币来说,抛掷它出现正面的概率取决于 硬币的具体构成, 应该是确定的, 由内在条件决定的, 但是我们不知道这个精确值是多少. 这 样的一个理想值是确定的,而具体的频率是随机的(不同的人、不同的时间的试验会产生不 同的结果),是变量,一般会在概率周围波动.我们求出的“概率”实际上只是概率的估算 值而已. 以下问题可以让学生去思考频率与概率的关系. 某厂申报自己产品的合格率为 90%,一次抽检中在 10 件产品中发现有 2 件次品,请问 是否说明该厂谎报合格率? 分析:不能说明,因为一次抽查 10 件中发现几件次品是随意的,10 件中次品的频率为

2 ? 20% ,不一定就是概率,因为频率可在概率的周围波动,可对该产品作更多的抽查, 10 1 如果当抽查数较大时,仍发现频率远远大于 ,可说明该厂谎报合格率. 10
又如,某同学投篮三次,全部命中.能否说明该同学命中的概率为 100﹪?

2. 关于古典概型

2.1 明确的是古典概率是一类数学模型,并非是现实生活的确切描述. ① 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个; ② 每个基本事件出现的可能性相等. 2.2 现实对象可以用不同的模型来描述,进一步使学生升华对古典概型的认识,使学生 的思维有层次,有程序.培养概括综合能力.

3.古典概型与几何概型
3.1 是两个数学模型,让学生体会它们在解决实际问题中的作用; 3.2 是用于解决几何问题的模型; 3.3 可以很好地给出随机模拟的思想. 向平面上有限的区域(集合)G 内随机的投掷点 M,若点 M 落在子区域 G ? G1 概率与 G 1 的面积成正比,而与 G 的形状、位置无关,即 P(点 M 落在 G 1 内的概率)= 的

G 1的面积 G的面积

注: G 也可以是空间中或直线上的有限区域,相应的概率就是体积之比或长度之比.

4. 互斥事件和对立事件
4.1 互斥事件 如果两个事件 A 和 B 不可能同时发生,则称 A 和 B 互斥,集合的角度看,是指这两个事 件所含的结果组成的集合不相交,则 A∩B= ? . 4.2 对立事件 如果 A 与 B 是互斥事件, 且在一次试验中 A 与 B 必有一个发生, 则称它们为对立 (互逆) 事件. 从集合的角度看, 由事件 B 所含的结果组成的集合, 是全集中由事件 A 所含的结果组成 的集合的补集.即满足条件:A∩B= ? 且 A∪B=U,通常事件的对立事件记作 A . 对立事件是针对两个事件而言, A 的对立事件是 A ,那么 A 的对立事件就是 A ,即 A 和 A 互为对立事件.由定义知,互斥事件是对立事件的必要不充分条件.立事件一定是互 斥事件,但互斥事件不一定是对立事件.

三.课时分配安排(本章大约需要 8 课时)
1.1 频率与概率 1.2 生活中的概率 1 课时 2 课时

2.1 古典概型的特征和概率计算公式 2.2 建立概率模型 2.3 互斥事件 3 模拟方法——概率的应用

1 课时 1 课时 2 课时 1 课时

四.研究的思想、观点
1.随机思想——事件的发生不以人们的主观意识为转移, 事件发生的不确定性、 随机性、 可能性. 2.不确定的观点——用不确定的观点认识和理解世界,培养概率思维.

五.内容分析
在本章,先在实例的基础上提出频率和概率的概念后,通过对生活实例的分析,对概率 这个概念加以辨析,明确它的意义,并能够运用概率的知识去理解生活中的概率.着重研究 了所谓古典概型——随机试验下的结果数有限且发生的可能性相等的概率模型, 使学生会进 行一些最简单的概率计算并由此加深对概率概念的理解,为了扩大所能计算的概率的范围, 又研究了事件的加、 乘运算, 提出了互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公 式最后通过计算 n 次独立重复试验中事件恰好发生 k 次的概率, 在学习了古典概型的基础上, 用模拟方法估计一些用古典概型解决不了的实际问题的概率, 使学生初步体会几何概型的应 用和随机数的意义, 能够运用模拟方法 (包括用计算机产生随机数来进行模拟) 估计概率. 使 前面所学知识在这里得到综合运用,形成本章的一个较为理想的收尾 .

六.教学建议
概率所研究的对象具有抽象和不确定性等特点, 学生很难用已获得的解决确定性数学问 题的思维方法,求得“活”的概率问题的解,就决定了概率教学中教师的教学方式和学生的 学习方式的转变, 学生不能沿用传统的记忆加形成性训练的机械学习方法去学习, 教师不能 沿用传统的给予加示范性的灌输式教学方法去教学, 教师必须引导学生经历概率模型的构建 过程和模型的应用过程,从中获得问题情境性的情境体验和感悟,才能迎对“活”的概率问 题为此,在概率教学中,我们必须做到: 1.创设情境,引导经历概念和模型构建的过程 概率涉及到很多的新概念和模型, 要使这些新概念变为学生自己的知识, 必须与学生已 有的知识经验建立起广泛的联系 这就要求我们在概念和模型的教学过程中,必须根据学生 的生活,学习经验,创设丰富的问题情境,引导学生自己去生成概念、提炼模型,发现计算

的法则,教师且不可因教学时间紧而淡化概念、模型构建的过程 否则,学生因获得孤立的 概念、模型,无法在纷繁的问题情景中去辨认,从而导致解题思想僵化 . 2.构建知识网络,引导把握各知识点间的联系与区别 学生能否准确迅速地运用概念和模型解题, 主要取决于他们对概念和各模型之间的联系 和区别是否真正把握,我们平时说“夯实基础,提高能力”,从本质上说就是引导学生把握 知识间的联系和区别,即教材的知识结构是否转化为自己的认知结构.因此,在概率的教学 过程中, 教师要随时引导学生将获得的新概念、 新模型和已有的概念和模型进行对照和比较, 找出它们之间的联系和区别,优化自己的认知结构 . 3.充分展示建模的思维过程,引导感悟模型提取的思维机制 概率问题求解的关键是寻找它的模型,只要模型一找到,问题便迎刃而解 而概率模型 的提取往往需要经过观察、 分析、 归纳、 判断等复杂的思维过程, 常常因题设条件理解不准, 某个概念认识不清而误入歧途 因此,在概率应用问题的教学中,教师应随时充分展示建模 的思维过程,使学生从问题的情境中感悟出模型提取的思维机制,获取模型选取的经验,久 而久之,感受多了,经验丰富了,建模也就容易了,解题的正确率就会大大提高.

该文从概率的地位与作用(简单介绍概率的历史背景,中学概率的重要地 位) , 《概率》教学中的重点、难点、疑点,课时分配安排, 《概率》研究的思想、 观点,内容分析等角度作为基本切入点,对《概率》教材进行了全面、深入、透 彻的解析,深刻体现了新课改理念,并联系中学数学教学的实际,提出了 3 条重 要的教学建议: (1)创设情境,引导经历概念和模型构建的过程;(2) 构建知识 网络,引导把握各知识点间的联系与区别;(3) 充分展示建模的思维过程,引导 感悟模型提取的思维机制. (点评人:陕西师范大学 710062 马文杰)


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