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安徽省宣城市八校2015届高三上学期联考数学(理)试题 Word版含答案


安徽省宣城市八校 2015 届高三上学期联考数学(理)试题 (word 版)

本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ 卷(非选择题)两部分。全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。 考试范围: 集合与常用逻辑用语、 函数与导数、 三角函数与解三角形、 平面向量与复数、 数列。 考生注意事项: 1.答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号

,并认真核对 答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答 题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。 2.答第 I 卷时,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动,用橡皮擦十净后,冉选涂其他答案标号。 3.答第Ⅱ 卷时,必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写,要求字体 T 整、 笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出,确认后冉用 0.5 毫米的 黑色墨水签字笔描清楚。 必须在题号所指示的答题区域作答, 超出答题区域书写的 ......... 答案无效,在试题卷、草稿纸上答题无效 。 .................. 4.考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交。 第 I 卷(选择题 共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. (1)设 i 是虚数单位,复数 (A) 3-2i (2)若集合 A= ? x |

7 ? 4i 1 ? 2i
(C)2—3i (D) 2+3i

(B) 3+2i

? ?

x?a ? ? 0 ? , B ? ? x | x ? ?2? ,且 A ? B.则实数 a 的取值范围是 x?2 ?

(A) ( ?? ,-2] (B)[-2,2] (C)[-2, ?? ) (D)[2, ?? ) (3)设 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和,若 a3=7,S3=21,则数列{an}的公比是 (A) ?

1 2

(B)1

(C)

1 或1 2

(D)-

1 或1 2

(4)设 a>1, 则函数 y ?

1 的图像大致为 a ?1
x

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(5)若非直角△ ABC 的内角 A、B、C 成等差数列,则 tanA+tanC-tanAtanBtanC= (A) ? 3 (B) ?

3 3

(C)

3 3

(D) 3

(6)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x>0 时 f(x)= ?

?1og 2 x, 0 ? x ? 16 ,则 f(f(- ? f ( x ? 8), x ? 16
(D)4 (D)63

24))= (A)-4 (B)-2 (C)2 (7)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,且 a2+2a4+5a6=48,则 S9= (A)36 (B)45 (C)54 (8)已知向量 a=(0,sin

x x 3 7 ) ,b=(1,2cos ) ,函数 f(x)= a· b,g(x)=a2+b2- ,则 2 2 2 2
(B)向右平移 (D)向右平移

f(x)的图像可由 g(x)的图像经过怎样的变换得到 (A)向左平移 (C)向左平移

?
?
4

个单位长度 个单位长度

?
?
4 2

个单位长度 个单位长度

2

(9)已知 a、b 为正实数,直线 y=x-a 与曲线 y=ln(x+b)相切,则 (A) (0,

a2 的取值范围是 2?b

1 ) 2

(B) (0,1)

(C) (0, ?? )

(D) ?1, ?? ?

CB ,则 sinA 的最大值为 (10)在△ ABC 中,若(4 AB ? AC )⊥
(A)

1 2

(B)

3 5

(C)

4 5

(D)

3 2

第Ⅱ 卷(非选择题 共 100 分) 考生注意事项: 请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答,在试题卷上答题无效 。 ................. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中横线上. (11)已知向量 a 与 b 的夹角为 60o,且|a|=1,|b|=2,则|a-b|= (12)由曲线 y=x2-2x 与直线 y=x 围成的封闭图形的面积为 。 n n+l * (13) 设集合 An={x|2 <x<2 , 且 x=5m+3, m、 n∈ N) , 则 A5 中各元素之和为 (14)已知数列{an}的各项都是正数,其前 n 项和 Sn 满足 2Sn=an+ 。 .

1 ,n∈ N*,则数列{an}的 an

通项公式为 . (15)设非直角△ ABC 的内角 A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c,则下列结论正确的是 (写出所有正确结论的编号) . ① “sinA>sinB”是“a>b”的充分必要条件
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② “cosA<cosB”是“a>b”的充分必要条件 ③ “tanA>tanB 是“a>b”的充分必要条件 ④ “sin2A>sin2B”是“a>b”的充分必要条件 ⑤ “cos2A<cos2B”是“a>b”的充分必要条件 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 余.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (16) (本小题满分 12 分) 设函数 f(x)=sinxcos(x+

?
3

)+

3 ,x∈ R. 4

(I)求 f(x)的最大值及最小正周期; (Ⅱ )若斜率为

1 的直线与 f(x)相切,求其切点坐标. 2

(17) (本小题满分 12 分) 已知 a>0, a≠1, 设命题 p: 函数 y=loga x 在 (0, +∞) 上单凋递增; 命题 q: 函数 y=|x+2a| -|x|对任意 x∈ R 满足-1< y<l.若“p ? q”为真命题,“p ? q”为假命题,求 a 的取值范 围.

(18) (本小题满分 12 分) 设△ AB(的内角 A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c,且 cos2 B+cosB+cos(A-C)=1. (I)证明:a、b、c 成等比数列; (Ⅱ )若 a+c=b,cosB=

3 ,求△ ABC 的面积. 4

(19) (本小题满分 13 分) 已知数列{an}满足 al=2,an+l=2a 2 N *. n ,n∈ (I)证明:数列{1+ log2an}为等比数列; (Ⅱ )证明:

1 2 ? ? 1 ? 1og 2 a1 1 ? 1og 2 a2

?

n ? 2. 1 ? 1og 2 an

(20) (本小题满分 13 分) 设函数 f(x)=ax-ex,a∈ R,e 为自然对数的底数. (l)若函数 f(x)存在两个零点,求 a 的取值范围;
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cn)若对任意 x∈ R,a>0.f(x)≤a2-ka 恒成立,求实数 k 的取值范围.

(21) (本小题满分 13 分) 右图中的杨辉三角最早出现于我国南宋数学家杨辉 1261 年所著的 《详解九章算法》 . 它 有很多奇妙的性质,如每个数等于它肩上两数之和.记图中从上到下第 i 行从左到右 第 j 个数为(i,j) .数列{an}的前 n 项和 Sn=(n+2,3) ,n∈ N *. (I)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ )设 bn=

1 ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn 证明:1≤Tn<2. Sn

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参考答案
题号 答案 (1) A (2) C (3) D (4) D (5) A ( 6) B (7) C (8) D (9) A (10) B

(1)A 解析:

7 ? 4i (7 ? 4i)(1-2i) 15 ? 10i ? ? ? 3 ? 2i. 1 ? 2i 5 5

(2)C 解析:若 a>2,A=(2,a]满足条件,若 a=2,A= ? 满足条件,若 a<2,A=[a, 2),使 A? B,只需 a≥-2,故选 C. (3)D 解析:设数列 {an } 的公比为 q,则 a1 ? a1 q ? 14, a1 q 2 ? 7 ? 2q 2 ? q ? 1 ? 0, 解得

1 q ? ? 或 1. 2
1 4 (4)D 解析:令 a=2,当 x=2 时,y=3,排除 B、C,当 x=-2 时,y=-3,排除 A, 故选 D. ( 5 ) A 解 析 :

B?

π 2π tan A ? tan C ? tan ? A ? C ??1 ? tan A tan C ? ? ? 3 ? 3 tan A tan C , ,A?C ? ,∴ 3 3

tan A ? tan C ? 3 tan A tan C ? ? 3, 故选 A.
(6)B 解析: f (?24) ? ? f (24) ? ? f (16) ? ? log 2 16 ? ?4 ,则 f (?4) ? ? f (4) ? ? log 2 4 ? ?2 . 9(a1+a9) (7)C 解析:48=a2+2a4+5a6= 4a4 ? 4a6 ? 8a5 ,? a5 ? 6, S9= =9a5=54. 2 ( 8) D 3 3 x x 3 7 x x 7 解析:f (x)=2a· b=2×2sin2cos2=2sinx,g(x)=a2+b2-2=sin22+1+4cos22-2=

x 3 3cos22-2 1+cosx 3 3 3 π =3× 2 -2=2cosx=2sin(2+x),故选 D. 1 (9)A 解析:y′ = =1,x=1-b,切点为(1-b,0),代入 y=x-a,得 a+b=1,∵ a、 x+b a2 a2 a (6 ? a) a2 a2 , g ?(a) ? ? 0, ∴ ? b 为正实数,∴ a∈ (0,1), ,令 g (a ) ? ∈ (0, 2+b 3?a 2?b 3?a (3 ? a) 2
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1 2). →- AC →)·CB →=(4 AB →- AC →)· →+ AB →)=4 AB →2+ AC →2-5 AC →· →=4 AB →2+ AC → (10) B 解析: 0=(4 AB ( CA AB
2



4 3 →|· →|cosA≥4| AC →|· →|-5| AC →|· →|cosA,∴ 5| AC | AB | AB | AB cosA≥5,sinA≤5. (11) 3 (12)

9 2

1 ? 4=3, ? a?b = 3 . 2 9 2 解析:画出简图知封闭图形的面积 S = ? 3 . 0 [ x ? ( x ? 2 x )]dx ? 2
解析: a ? b =a 2 ? 2a ? b ? b 2 =1 ? 2 ? 1 ? 2 ?
2

(13) 336

解析:A5 中的各元素构成以 33 为首项, 以 5 为公差的等差数列, 共有 7 项, ∴ A5

中各元素之和为 7 ? 33 ? (14) an ? Sn-Sn-1+

7?6 ? 5 ? 336. 2
1 解析:当 n=1 时,2S1=a1+a =2a1,a1=1,当 n≥2 时,2Sn=
1

n ? n ?1

1 1 2 2 2 2 ,即 Sn+Sn-1= , Sn ? Sn ?1 ? 1, ,又 S1 ? 1, ? Sn=n,Sn= n , Sn-Sn-1 Sn-Sn-1

? an ? n ? n ? 1 .
(15)① ② ⑤ 解析:由① sinA>sinB,利用正弦定理得 a=2rsinA,b=2rsinB,故 sinA>sinB , 等价于 a>b,① 正确;由② cosA<cosB,利用函数 y ? cos x 在 ? 0, π ? 上单调递减得 A ? B ,等价于 a >b,② 正确; 由③ tanA>tanB,不能推出 a>b,如 A 为锐角,B 为钝角,虽然有 tanA>tanB, 但由大角对大边得 a<b,③ 错误;由④ sin2A>sin2B,不能推出 a>b,如 A=45°,B=60°时, 虽然有 sin2A>sin2B,但由大角对大边得 a<b,④ 错误;由⑤ cos2A<cos2B,利用二倍角公式 得 sin2A>sin2B,∴ sinA>sinB,故等价于 a>b,⑤ 正确. 1 3 3 1 3 1-cos2x 3 1 π (16)解析: (Ⅰ )f (x)=sinx(2cosx- 2 sinx)+ 4 =4sin2x- 2 · 2 + 4 =2sin(2x+3), 1 ∴ f (x)的最大值为2,最小正周期为 π. (6 分) π π 1 π π π (Ⅱ ) f′ (x)=cos(2x+3), 令 cos(2x+3)=2, 则 2x+3=2kπ±3 (k∈ Z) , 即 x=kπ 或 x=kπ-3 (k∈ Z) , 3 π 3 故其切点坐标为(kπ, 4 )或(kπ-3,- 4 )(k∈ Z) . (12 分) (17)解析:若 p 为真命题,则 a>1.

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??2a, x ? ?2a ? 若 q 为真命题,由 y ? x ? 2a ? x ? ?2 x ? 2a, ?2a ? x ? 0, 得 ?2a ? x ? 2a ? x ? 2a , ? 2a, x ? 0 ?
1 ∴ 2a<1,0<a<2. (6 分) 又“p?q”为真,“p?q”为假,则 p、q 中一真一假. 1 当 p 真 q 假时,a>1;当 p 假 q 真时,0<a<2. 1 故 a 的取值范围是(0,2)∪ (1,+∞). (12 分) (18)解析: (Ⅰ )由已知得 1-2sin2B+cosB+cos(A-C)=1, cos(A-C)-cos(A+C)=2sin2B,即 2sinAsinC=2sin2B. 由正弦定理知 b2=ac,∴ a、b、c 成等比数列. (6 分) (Ⅱ )由余弦定理知 7 3 a 2 ? c 2 ? b 2 (a ? c) 2 ? 3ac 36 ? 3ac ? ? ? , ac ? 8 ,而 sinB= 4 , 4 2ac 2ac 2ac

故 ?ABC 的面积 S ?ABC ?

1 1 7 ac sin B ? ? 8 ? ? 7. (12 分) 2 2 4

(19)解析: (Ⅰ )两边取以 2 为底的对数得 log2an+1=1+2log2an,则 log2an+1+1=2(log2an +1), ∴ {1+log2an}为等比数列,且 log2an+1=(log2a1+1)×2n 1=2n.(6 分) 1 1 (Ⅱ ) = n, 1+log2an 2 1 2 n 1 2 n 1 1 2 n 设 M= + +…+ = + 2+…+2n,则2M=22+23+…+2n+1, 1+log2a1 1+log2a2 1+log2an 2 2 1 1 1 1 n 1 n 两式相减得2M=2+22+…+2n-2n+1=1-2n-2n+1<1,则 M<2,结论成立.(13 分) (20)解析: (Ⅰ )f ′ (x)=a-ex. 当 a≤0 时,f ′ (x)<0,f (x)在 R 上单调递减,最多存在一个零点,不满足条件; 当 a>0 时,由 f ′ (x)=0 解得 x=lna,当 x>lna 时,f ′ (x)<0,当 x<lna 时,f ′ (x)>0. 故 f (x)在 x=lna 处取得最大值 f (lna)=alna-a, ∵ f (x)存在两个零点,∴ f (lna)=alna-a>0,a>e,即 a 的取值范围是(e,+∞). (6 分) (Ⅱ )由(Ⅰ )知 f (x) ≤alna-a,故只需 alna-a≤a2-ka,k≤a+1-lna. 1 令 g(a)= a+1-lna,g′ (a)= 1-a,当 a>1 时,g′ (a)>0;当 a<1 时,g′ (a)<0. 故 g(a)在 a=1 处取得最小值 2,则 k≤2,即 k 的取值范围是(-∞,2]. (13 分)
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(21)解析(Ⅰ )观察知数列 {( n ? 1, 2)} 是首项为 1 公差为 1 的等差数列. 而 n ? 2 时, S n ? (n ? 2,3) ? ( n ? 1, 2) ? ( n ? 1,3) ? S n ?1 ? n ,∴ an ? S n ? S n ?1 = n . 又 n =1 时, S1 ? (3,3) =1 也适合上式.? an ? n, n ? N * .(6分) (Ⅱ )由(Ⅰ )知 S n ?

n(n ? 1) 1 2 1 1 ,? ? ? 2( ? ) .(9分) 2 S n n(n ? 1) n n ?1
? 1 1 1 ? ) ? 2(1 ? ), n n ?1 n ?1

? Tn ? 2(1 ?

1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 2 2 3 3 4

Tn ?1 ? Tn ? 2(1 ?

1 1 2 1 1 ? )? ? 0, ) ? 2(1 ? ) ? 2( n?2 n ?1 n ?1 n ? 2 (n ? 1)(n ? 2)

?{Tn } 是递增数列,又 T1 ? 1, ?1 ? Tn ? 2. (13 分)

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