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2014届高三人教A版数学(理)一轮复习课件:第7章 第6节 空间向量及其运算


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第六节

空间向量及其运算

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1.空间向量
大小和方向 在空间中,具有_______________的量叫做空间向量, 其大小叫做向量的长度或模. 2.空间向量中的有关定理

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(1)共线向量定理:对空间任意两个向量a,b(b≠0),

λb a∥b?存在λ∈R,使a=______.

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(2)共面向量定理:若两个向量a、b不共线,则向量p与

向 量 a , b 共 面 ? 存 在 唯 一 的 有 序 实 数 对 (x , y) , 使 p = xa+yb ________.
(3)空间向量基本定理:如果三个向量a、b、c不共面, 那么对空间任一向量p,存在一个唯一的有序实数组{x,y, xa+yb+zc z}使得p=____________.

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3.两个向量的数量积

(1)非零向量a,b的数量积a·b=|a||b|cos〈a,b〉.
(2)空间向量数量积的运算律 ①结合律:(λa)·b=λ(a·b); ②交换律:a·b=b·a;

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③分配律:a·(b+c)=a·b+a·c.
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4.空间向量的坐标表示及其应用
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设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).
向量表示 数量积 共线 垂直 a· b a=λb(b≠0) a· b=0 (a≠0,b≠0) |a| 坐标表示 a1b1+a2b2+a3b3 _________________
a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3 _______________________ a1b1+a2b2+a3b3=0 __________________
2 a2+a2+a2 1 3 _______________

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夹角

cos〈a,b〉= 〈a,b〉(a≠0, a1b1+a2b2+a3b3 b≠0) a2+a2+a2· b2+b2+b2 1 2 3 1 2 3 ________________________


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1.(a·b)·c=a·(b·c)成立吗? 【提示】 不一定成立.∵(a·b)·c表示一个与c共线的

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向量,而a·(b·c)表示一个与a共线的向量,又c与a不一定共 线,∴上式不一定成立.
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2.若a,b是平面α内的两个不共线向量,c=xa+yb,
则表示c的有向线段与平面α是什么关系?
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【提示】
α内.
菜 单

表示向量c的有向线段与平面α平行或在平面

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1.(人教A版教材习题改编)已知空间四边形OABC中, → → → OA =a, OB =b, OC =c,点M在OA上,且OM=2MA,N → 为BC中点,则MN=( 1 2 1 A. a- b+ c 2 3 2 1 1 1 C. a+ b- c 2 2 2 ) 2 1 1 B.- a+ b+ c 3 2 2 2 2 1 D. a+ b- c 3 3 2

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【解析】 如图所示, → → → → MN=MA+AB+BN 1→ → -OA)+1BC → = OA+(OB → 3 2 → -2OA+1(OC-OB) → → → =OB 3 2 1→ 2→ 1→ 2 1 1 = OB- OA+ OC=- a+ b+ c. 2 3 2 3 2 2
【答案】 B

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2.已知a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若 a∥b,则λ与μ的值可以是( ) 1 1 1 A.2, B.- , 2 3 2 C.-3,2 D.2,2

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【解析】 ∵a∥b,∴b=ka,即(6,2μ-1,2λ)=k(λ +1,0,2), ?6=k(λ+1) ?λ=2 ?λ=-3 ? ? ? ∴?2μ-1=0 ,解得? 1 或? 1 . ?μ=2 ?μ=2 ?2λ=2k ? ? ?

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【答案】

A





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3.已知a=(1,2,-2),b=(0,2,4),则a,b夹角的

余弦值为________.

a· b 【解析】 cos〈a,b〉= |a|· |b| 1×0+2×2+(-2)×4 2 5 = 2 2 2 2 2 2 =- 15 . 1 +2 +(-2) 0 +2 +4
2 5 【答案】 - 15

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4 . (2013· 汕 头 模 拟 ) 在 空 间 直 角 坐 标 系 中 , 已 知 点

A(1,0,2),B(1,-3,1),点M在y轴上,且M到A与到B的
距离相等,则M的坐标是________.
→ → 【解析】 设M(0,y,0),则 MA =(1,-y,2), MB → → =(1,-3-y,1),由题意知|MA|=|MB |,∴12+y2+22=12 +(-3-y)2+12,解得y=-1,故M(0,-1,0).

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【答案】

(0,-1,0)

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如图7-6-1所示,在平行六面 → → 体ABCD—A1B1C1D1中,设AA1 =a,AB → =b, AD =c,M,N,P分别是AA1, BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以 下各向量: → → → → (1)AP;(2)A1N;(3)MP+NC1.

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【思路点拨】

结合图形,利用三角形法则或平行四边

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形法则及数乘向量运算求解.
菜 单

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【尝试解答】 (1)∵P是C1D1的中点, → → → ∴AP=AA1+A→ 1+D1P 1D → +1D1C1 → =a+AD 2 1→ 1 =a+c+ AB=a+c+ b. 2 2 (2)∵N是BC的中点, → =A1A+AB+BN=-a+b+1BC → → → ∴A1N → 2 1→ 1 =-a+b+ AD=-a+b+ c. 2 2

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(3)∵M是AA1的中点, → =MA+AP= 1A1A+AP → → ∴MP → → 2 1 1 1 1 =- a+(a+c+ b)= a+ b+c, 2 2 2 2 → 1=NC+CC1= 1BC+AA1 → → → 又NC → 2 1→ →1=1c+a, = AD+AA 2 2 1 1 1 → → ∴MP+NC1=( a+ b+c)+(a+ c) 2 2 2 3 1 3 = a+ b+ c. 2 2 2

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1.选定空间不共面的三个向量作基向量,并用它们表 示出指定的向量,是用向量解决立体几何问题的基本要 → → → → → → → 求.如本例用AB,AD,AA1表示AP 、A1N及MP+NC1 .解题 时应结合已知和所求观察图形,联想相关的运算法则和公 式等,就近表示所需向量. 2.首尾相接的若干个向量的和,等于由起始向量的起 点指向末尾向量的终点的向量,求若干个向量的和,可以 通过平移将其转化为首尾相接的向量求和问题解决.

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如图7-6-2所示,在长方体 ABCD—A1B1C1D1中,O为AC的中点. → -1AB-1AD; → → (1)化简:A1O 2 2 → (2)设E是棱DD1上的点,且DE 2→ → → → = DD1,试用AB,AD,AA1 3 → 表示EO. → → → 【解】 (1)∵AB+AD=AC,

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→ -1AB-1AD=A1O-1(AB+AD) → → → → → ∴A1O 2 2 2 → -1AC=A1O-AO=A1A. → → → → =A1O 2
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→ → → (2)∵EO=ED+DO 2 → 1→ 2 → 1 → → = D1D+ DB= D1D+ (DA+AB) 3 2 3 2 2 → 1→ 1→ = A1A+ DA+ AB 3 2 2 1→ 1→ 2 → = AB- AD- AA1. 2 2 3

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如图7-6-3所示,已知斜三棱柱 ABC—A1B1C1,点M,N分别在AC1和BC → → → → 上,且满足 AM =k AC1 , BN =k BC (0≤k≤1). → → → (1)向量MN是否与向量AB,AA1共面? (2)直线MN是否与平面ABB1A1平行?

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【思路点拨】 → 量MN.

→ → (1)在图形中,用向量 AB , AA1 表示向

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(2)用共面向量的概念判定MN是否与平面ABB1A1平行.





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→ → → → 【尝试解答】 (1)∵AM=kAC1,BN=kBC, → → → → → → → ∴MN=MA+AB+BN=kC1A+AB+kBC → → → → → =k(C1A+BC)+AB=k(C1A+B→ 1)+AB 1C → → → → → → → =kB1A+AB=AB-kAB1=AB-k(AA1+AB) → → =(1-k)AB-kAA1, → → → ∴由共面向量定理知向量MN与向量AB,AA1共面. (2)当k=0时,点M、A重合,点N、B重合,MN在平面 ABB1A1内, 当0<k≤1时,MN不在平面ABB1A1内, → → → 又由(1)知MN与AB、AA1共面, 所以MN∥平面ABB1A1.
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应用共线(面)向量定理、证明点共线(面)的方法比较
三点(P,A,B)共线 → → PA=λPB 空间四点(M,P,A,B)共面 → → → MP=xMA+yMB

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→ → → 对空间任一点O, OP 对空间任一点O,OP =OM + → → → → =OA+tAB xMA+yMB → → → 对空间任一点O, OP 对空间任一点O, OP =x OM → → =xOA+(1-x)OB → → +yOA+(1-x-y)OB

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已知A、B、C三点不共线,对平面ABC外的任一点O, → =1(OA+OB+OC). → → → 若点M满足OM 3 → → → (1)判断MA、MB、MC三个向量是否共面; (2)判断点M是否在平面ABC内.

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→ → → → 【解】 (1)由已知OA+OB+OC=3OM, → → → → → → ∴OA-OM=(OM-OB)+(OM-OC), → → → → → 即MA=BM+CM=-MB-MC, → → → ∴MA,MB,MC共面. → → → (2)由(1)知MA,MB,MC共面且过同一点M, 所以四点M,A,B,C共面,从而点M在平面ABC内.
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(1)已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2)且ka+b与

2a-b互相垂直,则k=________.
(2)如图7-6-4,在平行四边形ABCD中,AB=AC= CD=1,∠ACD=90°,把△ADC沿对角线AC折起,使AB 与CD成60°角,求BD的长.

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【思路点拨】 (1)利用两向量数量积等于零,列出方程 求解; (2)由图形折叠的相关知识得到折叠后图形中线段的位 → → → → → 置关系和数量关系,然后用AB,AC,CD表示BD,根据|BD → |= BD2求解.

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【尝试解答】 (1)由题意得,ka+b=(k-1,k,2),2a -b=(3,2,-2). 所以(ka+b)· (2a-b)=3(k-1)+2k-2×2=5k-7=0, 7 解得 k= . 5

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→ → (2)∵AB 与 CD 成 60°角,∴〈BA,CD〉=60°或 120 °, 又∵AB=AC=CD=1,AC⊥CD,AC⊥AB, → → → → → ∴|BD|= BD2= (BA+AC+CD)2 = = = → → → → AC → → CD → → CD → BA2+AC2+CD2+2BA· +2AC· +2BA· → → 1+1+1+0+0+2×1×1×cos〈BA,CD〉

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→ → 3+2cos〈BA,CD〉 → ∴|BD|=2 或 2. ∴BD 的长为 2 或 2.

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1.利用数量积解决问题的两条途径 :一是根据数量积 的定义,利用模与夹角直接计算;二是利用坐标运算. 2.利用数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题. (1)a≠0,b≠0,a⊥b?a· b=0; (2)|a|= a2; a· b (3)cos〈a,b〉= . |a||b|

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已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1, 5). → → (1)求以AB,AC为邻边的平行四边形的面积; → → (2)若|a|= 3 ,且a分别与 AB 、 AC 垂直,求向量a的坐 标.

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【解】 (1)由题意可得: → → AB=(-2,-1,3),AC=(1,-3,2), → → AB·AC -2+3+6 7 1 → → ∴cos〈AB,AC〉= = = = , → |·|AC| → 14× 14 14 2 |AB

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→ ,AC〉= 3, ∴sin〈AB → 2 → → 所以以AB,AC为邻边的平行四边形的面积 1→ → |·sin〈AB,AC〉=14× 3=7 3. → → S=2× |AB|·|AC 2 2 (2)设a=(x,y,z), ?x2+y2+z2=3, ?x=1, ?x=-1, ? ? ? 由题意得?-2x-y+3z=0,解得?y=1, 或?y=-1, ?x-3y+2z=0. ?z=1, ?z=-1. ? ? ? ∴a=(1,1,1),或a=(-1,-1,-1).

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空间向量是平面向量的拓展,对空间向量的研究与平面

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向量进行类比可事半功倍.

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用向量解决立体几何问题应树立“基底”的意识.

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用向量解决立体几何问题时,可用基向量的运算求解, 适于建系的可用坐标运算求解.

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1.注意向量夹角的确定,避免首尾相连的向量夹角确定
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错误; 2.注意向量夹角与两直线夹角的区别; 3.注意向量共线与两直线平行与重合的区别.
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从近两年高考试题看,空间向量的概念及其运算很少单 独命题,多与空间几何体结合求解有关角、距离及证明平行 或垂直等问题,体现向量的工具性.用向量法求解这类问题 时,要树立基底意识,合理选取基底优化运算.

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思想方法之十四 合理选取基底求解立体几何问题 (2012· 浙江高考)已知矩形ABCD,AB=1,BC= 2 ,将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在 翻折过程中( ) A.存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直 B.存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直 C.存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直 D.对任意位置,三对直线“AC与BD”,“AB与 CD”,“AD与BC”均不垂直

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6 【解析】 如图,在图(1)中,易知AE=CF= ,BE 3 3 =EF=FD= . 3

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→ → → 在图(2)中,设AE =a,EF =b,FC =c,则?a,b?= ?b,c?=90°,?a,c?=θ,

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→ → → → 则AC=a+b+c,BD=3b,故AC·BD=3b2=1≠0,故 AC 与 BD 不垂直,A 不正确. → → → → → → AB=AE+EB=a-b,CD=CF+FD=b-c, → ·CD=-a· 2=-2cos θ-1.当 cos θ=- 所以AB → c-b 3 3 2π 1 → → → → → ,即 θ= 时,AB·CD=0,故 B 正确;AD=AE+ED= 2 3 2 2 → =BF+FC=2b+c, → → → ·→ =a· a+2b, BC 所以AD BC c+4b = cos 3 4 2 → → θ+3=3(cos θ+2),故无论 θ 为何值AD·BC≠0,故 C 不正确.
【答案】
菜 单

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B

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→ → 易错提示:(1)不能通过分析找出基底{ AE , EF , → FC},将问题转化为变量θ的取值问题,而无从下手. (2)没有求出AE、EF、BE、FD、FC的长,从而在问题 解决中涉及到的变量过多,而无法完成求解. 防范措施:(1)用向量法解决立体几何问题的关键是找 到基底,且该基底既能反映条件的特征,也能方便地与结 论联系;例如本题中,翻折过程中二面角A-BD-C大小在 → → 变化,即π-θ在变化,因此以 AE 、 FC 为基向量,同时也 便于运算. (2)注意将平面图形分析到位,并将已知条件转化到立 体图形中去.
菜 单

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1. (2013· 惠州模拟)已知 O 点为空间直角坐标系的原点, → → → 向量OA=(1,2,3),OB=(2,1,2),OP=(1,1,2),且 → → → 点 Q 在直线 OP 上运动,当QA·QB取得最小值时,OQ的坐 标是________.
【解析】 ∵点Q在直线OP上,∴设点Q(λ,λ,2λ), → → 则 QA =(1-λ,2-λ,3-2λ),QB =(2-λ,1-λ,2- 2λ), → → QA · QB =(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ) 42 2 2 =6λ -16λ+10=6(λ- ) - . 3 3
菜 单

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4 → ·QB取得最小值-2. 当λ= 时,QA → 3 3 → =(4,4,8). 此时OQ 3 3 3

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4 4 8 【答案】 ( , , ) 3 3 3
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2.如图 7-6-5,已知空间四边形 OABC,其对角线为 OB、AC,M、N 分别是对边 OA、BC 的中点,点 G 在线段 → 现用基向量OA、 、→ 表示向量OG, → OB OC → → MN 上, → =2GN, 且MG → → → → 设OG=xOA+yOB+zOC,则 x,y,z 的值分别是( 1 1 1 A.x= ,y= ,z= 3 3 3 1 1 1 B.x= ,y= ,z= 3 3 6 1 1 1 C.x= ,y= ,z= 3 6 3 1 1 1 D.x= ,y= ,z= 6 3 3 )

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→ =OM+MG=OM+2MN → → → 【解析】 OG → 3 → +2(MO+OC+CN) → → → =OM 3 1 → 2→ 1 → → 1→ 1→ 1→ = OM+ OC+ (OB-OC)= OA+ OB+ OC. 3 3 3 6 3 3
【答案】 D

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课后作业(四十九)

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