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高考数学易错题集锦3


2013 高考数学易错题解题方法大全(3)
一.选 择 题 【范例 1】集合 A ? {3,log2 a}, B ? {a, b}, 若 A ? B ? {2}, 则 A ? B ? ( A.{2,3,4} B.{2 ,4} C.{2,3} 答案:A 【错解分析】此题主要考查对集合的交集的理解。 【解题指导】? A ? B ? {2},? log 2 a ? 2, a

? 4 , b ? 2 . 【练习 1】已知集合 P ? x x ? 1 ? 2 , Q ? x x ? a ,则集合 P ? Q ? ? 的充要条件是 ( A.a≤-3 B.a≤1 C.a>-3 D.a>1 ) )

D.{1,2,3,4}

?

?

?

?

【范例 2】函数 y ? ( x ?1)( x ? 2) ? x ?1 的定义域为( A. x x ? 2

) D. x x ? 2或x ? 1

?

?

B. x x ? 1

?

?

C. ?x x ? 2? ? ?1?

?

?

答案:C 【错解分析】此题容易错选为 A,容易漏掉 x ? 1 的情况。 【解题指导】求具体函数的定义域时要是式子每个部分都有意义. 【练习 2】若函数 f ( x) 的定义域为 [a, b] ,且 b ? ?a ? 0 , 则函数 g ( x) ? f ( x) ? f (? x) 的定义域是( ) A. [a, b] B. [?b, ?a] C. [?b, b] D. [a, ?a] ) 【范例 3】如果执行右面的程序框图,那么输出的 S ? ( A.1275 C.5050 B.2550 D.2500

答案:B. 【错解分析】此题容易错选为 C,应该认真分析流程图中的信息。 【解题指导】 S ? 2 ? 4 ? 6 ? ?100 ? 2550 【练习 3】下面是一个算法的程序框图,当输 入的值 x 为 8 时,则其输出的结果是( ) A. 0.5 C.2 B. 1 D.4

-1-

【范例 4】已知集合 A ? {x | x ? 5} ,集合 B ? {x | x ? a} ,若命题“ x ? A ”是命题“ x ? B ”的 充分不必要条件,则实数 a 的取值范围是( ) A. a ? 5 B. a ? 5 C. a ? 5 D. a ? 5 答案: A 【错解分析】此题容易错选为 B,请注意是充分不必要条件,而不是充要条件。 【解题指导】由题意,画数轴易知 A ? B . 【练习 4】已知下列三组条件: (1) A : ? ?

?
6

, B : sin ? ?

1 ; (2) A : x ? 1 , B : x2 ? (a2 ?1) x ? a 2 ? 0 ( a 为实常数) ; 2

(3) A : 定义域为 R 上的函数 f ( x ) 满足 f (1) ? f (2) , B : 定义域为 R 的函数 f ( x ) 是单调减 函数.其中 A 是 B 的充分不必要条件的有 ( ) A. (1) B. (2) (1) C. (3) D. (2) (1) (1) (3) 【范例 5】已知 i 为虚数单位,则复数 z ? 2 ? 3i 对应的点位于 (

1? i



A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 答案:C 【错解分析】此题主要考查复数的四则运算,必须熟练掌握。

D. 第四象限

(2 ? 3i)(1 ? i) ?1 ? 5i ? ??1 ?5i 【解题指导】 z ? 2 ? 3i ? 1? i (1 ? i)(1 ? i) 2 2 2
【练习 5】在复平面内,复数 A. 1 B.

2 对应的点与原点的距离是( 1? i
C. 2
2 x 2 ?5 x ? b



2

D. 2 2
x 2 ? x ?6

?1? 【范例 6】设函数 f ( x) ? ? ? ?2?

?1? , g ( x) ? ? ? ?2?

,若

f ( x) ? g ( x) 对于任意
D. b ? 15

实数 x 恒成立,则实数 b 的取值范围是( A. b ? 12 B. b ? 12 答案:D

) C. b ? 15

【错解分析】此题容易错选为 B,错误原因是没有注意 y ? ( ) 是单调减函数。
x

1 2

?1? ?1? 【解题指导】由 f ( x) ? g ( x) 即 ? ? 可得 2 x 2 ? 5x ? b ? x 2 ? x ? 6 ?? ? ?2? ?2? 2 即 x ? 6 x ? b ? 6 ? 0 恒成立,由 ? ? 36 ? 4(b ? 6) ? 0 ,解得 b ? 15 .
【练习 6】已知 f ( x) ? a (a ? 1), g ( x) ? b (b ? 1) ,当 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 2 时,有 x1 ? x 2 ,则
x x

2 x 2 ?5 x ? b

x2 ? x?6

a, b 的大小关系是(
A. a ? b 二.填空题

) B. a ? b C. a ? b D. a ? b

-2-

【范例 7】已知数列 ?an ? 的通项公式是 an ? ?n 2 ? 12n ? 32 ,其前 n 项和是 S n ,则对任意的 , n ? m (其中 m, n ? N ? *) S n ? S m 的最大值是 答案:10 【错解分析】此题容易错选认为求最大项。 【解题指导】由 an ? ?n 2 ? 12n ? 32 ? ?(n ? 4)(n ? 8) ? 0 得 4 ? n ? 8 ,即在数列 ?an ? 中, 前 三 项 以 及 从 第 9 项 起 后 的 各 项 均 为 负 且 a4 ? a8 ? 0 , 因 此 S n ? S m 的 最 大 值 是 .

a5 ? a6 ? a7 ? 3 ? 4 ? 3 ? 10 .
【练习 7】已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和是 S n ,且 a1 ? 2008,且存在自然数 p ? 10, 使得

S P ? a p ,则当 n ? p 时, S n 与 an 的大小关系是
【范例 8】函数 y ? 2 cos x sin( x ?

. .

?
3

) 的最小值是

答案:

3 ?1 2

【错解分析】此题容易在化简上出错,对于三角变换的公式一定要熟练掌握,一定要化到三 个一的形式: y ? A sin(?x ? ?) 。 【解题指导】∵ y ? 2 cos x sin( x ?

?
3

)

1 3 1 3 3 ? 2 cos x( sin x ? cos x) ? sin 2 x ? cos2 x ? 2 2 2 2 2 ? sin(2 x ?
【练习 8】已知

?
3

)?

3 3 ?1 ,此函数的最小值为 2 2
.

1 ? cos 2? 1 ? 1 , tan(? - ? ) = - ,则 tan( ? ? 2? ) 等于 3 sin ? cos ?
2

2 【范例 9】已知圆 x ? ? y ? 1? ? 2 上任一点 P ? x, y ? ,其坐标均使得不等式 x ? y ? m ≥0 恒

成立,则实数 m 的取值范围是 答案: ?1, ?? ?

.

【错解分析】此题容易忘记数形结合思想的使用。 【解题指导】求出圆的斜率为-1 的两条切线,画图研究他们和 x ? y ? m =0 的关系. 【练习 9】 a, b 为不共线的向量,设条件 M : b ? ( a ? b ) ;条件 N : 对一切 x ? R ,不等式
a ? xb ≥ a ? b 恒成立.则 M 是 N 的
-3? ? ? ? ?

条件.

【范例 10】圆 x ? y ? 11 的过点 (?2, 7 ) 的切线方程为
2 2

.

答案: 2 x ? 7 y ? 11 ? 0 【错解分析】此题容易忘记判断点与圆的位置关系。 【解题指导】 (一)易知点在圆上,故切线只有一条,且斜率为

2 7 , 7

(二)借助结论:过圆 x2 ? y 2 ? r 2 上一点 ( x0 , y0 ) 的切线为 x0 x ? y0 y ? r 2 。 【练习 10】 过点 P(4,2)作圆 x 2 ? y 2 ? 4 的两条切线,切点分别为 A、 为坐标原点, ?OAB B,O 则 的外接圆方程为 .

【范例 11】在平面直角坐标系中,椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2c ,以 O 为圆心, a2 b2

a 为半径的圆做圆 M ,若过点 P ? ?


? a2 ? ,0 ? ,所作圆 M 的两切线互相垂直,则该椭圆的离心率 c ? ? ?

答案: e ?

c 2 ? a 2

【错解分析】此题容易错在对图中椭圆,及圆的性质提取不全。 【解题指导】过点 ? ?

? a2 ? ,0 ? 作圆的两切线互相垂直,如图,这说明四边形 OAPB 是一个正方 ? ? c ?

? a2 ? a2 c 2 形,即圆心 O 到点 P ? ? c ,0 ? 的距离等于圆的半径的 2 倍,即 c ? 2a ,故 e ? a ? 2 . ? ? ?
【练习 11】已知椭圆的中心在 O,右焦点为 F,右准线为 L,若在 L 上存在点 M,使线段 OM 的 垂直平分线经过点 F,则椭圆的离心率的取值范围是 . 【范例 12】如图,正三角形 P1P2P3,点 A、B、C 分别为边 P1P2,P2P3, P3P1 的中点,沿 AB、BC、CA 折起,使 P1、P2、P3 三点重合后为点 P, 则折起后二面角 P—AB—C 的余弦值为 .

-4-

答案:

1 3

【错解分析】此题容易出现的错误有多种,主要原因是没有认真地画出折叠后的三棱锥。 【解题指导】取 AB 的中点 D,连接 CD,PD,则∠PDC 为二面角 P—AB—C 的平面角. 【练习 12】正方形 ABCD与正方形 ABEF构成60 的二面角C ? AB ? E,则AD与BF 的 夹角的余弦值是 . 三.解答题
0

【范例 13】已知 ( x ?

1 2 x

) n 的展开式中前三项的系数成等差数列.

(1)求 n 的值; (2)求展开式中系数最大的项. 【错解分析】此题容易错在:审题不清楚,误用前三项的二项式系数成等差。

1 1 解: (1)由题设,得 C0 ? ? C2 ? 2 ? ? C1 , 即 n 2 ? 9n ? 8 ? 0 ,解得 n=8,n=1(舍去) . n n n 4 2
1 ? 1 1 r ?1 ?1 r ≥ , ? 2r C8 ≥ 2r ?1 C8 , ? 8 ? r 2(r ? 1) ? ? (2)设第 r+1 的系数最大,则 ? 即? 解得 r=2 或 r=3. ? 1 Cr ≥ 1 Cr ?1. ? 1 ≥ 1 . ? 2r 8 2r ?1 8 ? 2r 9 ? 1 ? ?

所以系数最大的项为 T3 ? 7 x5 , T4 ? 7 x 2 . 说明:掌握二项式定理,展开式的通项及其常见的应用.

9

a ? x )9 ( a 为实数且是常数) x 9 3 (1)已知 f (x) 的展开式中 x 的系数为 ,求 a 的值; 4 (2)是否存在 a 的值,使 x 在定义域中取任意值时 f ( x) ? 27 恒成立?若存在,求出 a 的值,
【练习 13】函数 f ( x ) ? ( 若不存在,请说明理由。 【范例 14】已知函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ? (1)求 F(x)的单调区间; (2)若以 y ? F ( x)(x ? ?0,3?) 图象上任意一点 P( x0 , y0 ) 为切点的切线的斜率 k ? 成立,求实数 a 的最小值。 (3)是否存在实数 m ,使得函数 y ? g (

a (a ? 0) ,设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 。 x
1 恒 2

2a ) ? m ? 1 的图象与 y ? f (1 ? x 2 ) 的图象 x ?1 恰好有四个不同的交点?若存在,求出 m 的取值范围,若不存在,说名理由。
2

【错解分析】 (1)在 F(x)的定义域 (0, ??) 内才能求单调区间。 (2)对恒成立问题的解决理解不清楚 解:(1) F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ln x ?

a (x ? 0 x

F ' ( x) ?

1 a x?a ? 2 ? 2 ( x ? 0) x x x

? a ? 0,由F ?( x) ? 0 ? x ? (a,??),? F ( x)在(a,??)上单调递增。
-5-

由 F ?( x) ? 0 ? x ? (0, a),? F ( x)在( , a)上单调递减。 0

? F ( x)的单调递减区间为(, a),单调递增区间为( ,??) 0 a
(2) F ?( x) ?

x ?a 1 x?a (0 ? x ? 3), k ? F ?( x0 ) ? 0 2 ? (0 ? x0 ? 3)恒成立 2 x2 x0

1 2 1 2 1 a ? (? x0 ? x0 ) min ? 当 x0 ? 1时, x0 ? x0 取得最大值 2 2 2 1 1 ? a ? ,? a nmn ? ????????????????4 分 2 2 2a 1 1 ) ? m ? 1 ? x 2 ? m ? 的图象与 (3)若 y ? g ( 2 2 2 x ?1

y ? f (1 ? x 2 ) ? ln(x 2 ? 1) 的图象恰有四个不同交点,
1 2 1 x ? m ? ? ln( x 2 ? 1) 有四个不同的根,亦即 2 2 1 1 m ? ln( x 2 ? 1) ? x 2 ? 有四个不同的根。 2 2 1 2 1 2 令 G ( x) ? ln( x ? 1) ? x ? , 2 2
即 则 G ?( x) ?

2x 2 x ? x 3 ? x ? x( x ? 1)(x ? 1) ?x? ? 。 x2 ?1 x2 ?1 x2 ?1

当 x 变化时 G?( x).G( x) 的变化情况如下表:

x
G?(x) 的符号
G (x) 的单调性

( ? ?, 1 ? )

(-1,0) -

(0,1) + ↗

(1, ? ? ) ↘

+ ↗



1 , G ( x) 最大值 ? G (1) ? G (?1) ? ln 2 ? 0 。 2 1 1 1 画出草图和验证 G (2) ? G (?2) ? ln 5 ? 2 ? ? 可知,当 m ? ( , ln 2) 时, 2 2 2
由表格知: G ( x) 最小值 ? G (0) ?

y ? G( x)与y ? m恰有四个不同的交点,
1 2a 1 1 ?当m ? ( , ln 2)时, y ? g ( 2 ) ? m ? 1 ? x 2 ? m ? 的图象与 2 2 2 x ?1

y ? f (1 ? x 2 ) ? ln(x 2 ? 1)的图象恰有四个不同的 交点。

【练习 14】已知 f ( x) ? x ln x, g ( x) ? ?x 2 ? ax ? 3 .
-6-

⑴求函数 f ( x) 在 [t , t ? 2](t ? 0) 上的最小值; ⑵对一切 x ? (0, ??) , 2 f ( x)≥ g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围; ⑶证明对一切 x ? (0, ??) ,都有 ln x ?

1 2 ? 成立. e x ex

【范例 15】某工厂在试验阶段大量生产一种零件。这种零件有 A 、 B 两项技术指标需要检测, 设各项技术指标达标与否互不影响。若有且仅有一项技术指标达标的概率为 术指标达标的概率为
5 ,至少一项技 12

11 .按质量检验规定:两项技术指标都达标的零件为合格品. 12

(1)求一个零件经过检测为合格品的概率是多少? (2)任意依次抽出 5 个零件进行检测,求其中至多 3 个零件是合格品的概率是多少? 【错解分析】遇到“至多”“至少”问题我们通常求其对立事件的概率。 , 解: (1)设 A 、 B 两项技术指标达标的概率分别为 P1 、 P2
5 ? 1 1 ? P ? (1 ? P2 ) ? (1 ? P ) ? P2 ? 12 ? 由题意得: ? ?1 ? (1 ? P ) ? (1 ? P )? ? 11 1 2 ? ? 12

1 3 2 2 3 解得: P ? , P2 ? 或 P ? , P2 ? ,∴ P ? P P2 ? . 1 1 1 2 4 3 3 4 1 即,一个零件经过检测为合格品的概率为 . 2

(2)任意抽出 5 个零件进行检查,其中至多 3 个零件是合格品的概率为
13 ?1? 5?1? 1 ? C54 ? ? ? C5 ? ? ? 2? 2 ? 16 ? ?
5 5

【练习 15】某工厂为了保障安全生产,每月初组织工人参加一次技能测试. 甲、乙两名工人 通过每次测试的概率分别是

4 3 和 . 假设两人参加测试是否通过相互之间没有影响. 5 4

(1)求甲工人连续 3 个月参加技能测试至少 1 次未通过的概率; (2)求甲、乙两人各连续 3 个月参加技能测试,甲工人恰好通过 2 次且乙工人恰好通过 1 次的概率; (3)工厂规定:工人连续 2 次没通过测试,则被撤销上岗资格. 求乙工人恰好参加 4 次测 试后被撤销上岗资格的概率.

-7-

练习题参考答案: 1.C 2.D 3.C 4.B 5.B 6.C 7. an ? S n 12.
2 4

8. ?1

9.充要

10. ( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 5 13. 解: (1) a ?

11.

? 2 ? ,1? ? ? ? 2 ?

1 4
1

a a ? x ) 9 ? 27 ,只要 ? x ? 33 x x 1 1 a x x a 对于 a ? 0 ,? ? ? ? 3( ) 3 ? 33 x 2 2 4 4 ? a ? 时满足题意。 9
(2)依题意,得 x ? 0 ,而要 ( 14.解:⑴ f '( x) ? ln x ? 1 , 当 x ? (0, ) , f '( x) ? 0 , f ( x) 单调递减,当 x ? ( , ??) , f '( x) ? 0 , f ( x) 单调递增. ① 0 ? t ? t ? 2 ? ,t 无解;

1 e

1 e

1 e

1 1 1 1 ? t ? 2 ,即 0 ? t ? 时, f ( x)min ? f ( ) ? ? ; e e e e 1 1 ③ ? t ? t ? 2 ,即 t ? 时, f ( x) 在 [t , t ? 2] 上单调递增, f ( x)min ? f (t ) ? t ln t ; e e 1 ? 1 ?? e , 0 ? t ? e ? 所以 f ( x) min ? ? . ?t ln t,t ? 1 ? e ? 3 ⑵ 2 x ln x ? ? x 2 ? ax ? 3 ,则 a ? 2ln x ? x ? , x 3 ( x ? 3)( x ? 1) 设 h( x) ? 2ln x ? x ? ( x ? 0) ,则 h '( x) ? , x x2 当 x ? (0,1) , h '( x) ? 0 , h( x) 单调递增, x ? (1, ??) , h '( x) ? 0 , h( x) 单调递减,
② 0?t ? 所以 h( x)min ? h(1) ? 4 , 因为对一切 x ? (0, ??) , 2 f ( x) ? g ( x) 恒成立,所以 a ? h( x)min ? 4 ;

x 2 ? ( x ? (0, ??)) , ex e 1 1 由⑴可知 f ( x) ? x ln x( x ? (0, ??)) 的最小值是 ? ,当且仅当 x ? 时取到, e e x 2 1? x 设 m( x) ? x ? ( x ? (0, ??)) ,则 m '( x) ? x , e e e 1 易得 m( x)max ? m(1) ? ? ,当且仅当 x ? 1 时取到, e
⑶ 问题等价于证明 x ln x ?
-8-

从而对一切 x ? (0, ??) ,都有 ln x ?

1 2 ? 成立. e x ex

15.解: (1)记“甲工人连续 3 个月参加技能测试,至少有 1 次未通过”为事件 A1,

4 61 P( A1 ) ? 1 ? P ( A1 ) ? 1 ? ( ) 3 ? . 5 125
(2)记“连续 3 个月参加技能测试,甲工人恰好通过 2 次”为事件 A2, “连续 3 个月参加 技能测试,乙工人恰好通过 1 次”为事件 B1,则

4 4 48 3 3 9 1 P( A2 ) ? C32 ? ( ) 2 ? (1 ? ) ? , P( B2 ) ? C3 ? ( ) ? (1 ? ) 2 ? , 5 5 125 4 4 64 48 9 27 P( A2 B2 ) ? P( A2 ) P( B2 ) ? ? ? . 125 64 500
两人各连续 3 月参加技能测试, 甲工人恰好 2 次通过且乙工人恰好 1 次通过的概率为 (3)记“乙恰好测试 4 次后,被撤销上网资格”为事件 A3,

27 . 500

3 1 1 3 1 3 P( A3 ) ? ( ) 2 ? ( ) 2 ? ? ? ( ) 2 ? . 4 4 4 4 4 64
. 所以,谷物饲料和动物饲料应按 5:1 的比例混合,此时成本最低.

-9-


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