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超全《计算方法》定理公式总结归纳


计算方法 第一章
1.设某量的准确值为 x,近似值为 x*,则称 e(x*)=x-x*为近似值 x*的绝对误差;|e(x*)|=|x-x*| ≤ ε ,称ε 为 x*的绝对误差限; 称 ε r 为 x*的相对误差限。 2.对数学问题而言,如果输入数据有微小扰动,引起输出数据(即数学问题的解)有很大扰 动,则称数学问题是病态问题,否则称为良态问题。
设两个不同的

数据 , x x,对应的函数值为 ( x),f ( x), 假设x ? 0, f ( x) ? 0. f

er ( x*) ? e (xx? *) ? | x ? ?x | x
?

为 x* 的相对误差;

er ( x*)

?

x ? x? x?

??r

3.

相对误差e ? r

f ( x) ? f ( x) x?x ,R ? , 如果能找到一个数 满足R ? m e m r x f ( x)

则称m为该问题的条件数,记 Cond(( f ( x))。 为

4. 定义:一个算法如果输入数据有扰动(即有误差) ,而计算过程中舍入误差不增长, 则称此算法是数值稳定的,否则称此算法为不稳定的。 (误差的定性分析法:即研究算法 的数值稳定性) 5.数值计算中值得注意的问题: (1)防止相近的两数相减(2) 防止大数吃小数(3) 防止接近 零的数做除数(4) 注意计算步骤的简化,减小运算次数 6.误差的来源:1、模型误差 2、观测误差 3、截断误差 4、舍入误差 实际问题的真解与数学模型之间有误差,这种误差称为模型误差(描述误差) 由于测量工具的精度、观测方法或客观条件的限制,使数据含有测量误差,这类误差叫做观测 误差或数据误差 在数值求解数学问题时, 常常用有限过程逼近无限过程, 用能计算的问题代替不能计算的问 题。这种精确公式用近似公式代替时,所产生的误差叫截断误差。 由于计算机字长有限,一般实数不能精确存储,于是产生舍入误差。

第二章
6. 如果在区间[a,b]内方程 f(x)=0 只有一个根,称[a,b]为隔根区间。求隔根区间有两种方法 有描图法和逐步搜索法。 7.二分法就是将方程的有根区间对分,然后再选择比原来区间缩小一半的有根区间,如此继 续下去,直到得到满足精度要求的根为止的一种简单的区间方法。 定理 2.1:f(x)在[a ,b]内连续,α 是方程 f(x)在隔根区间[a ,b]内的根,则由二分法产生的

b?a (n ? 0,1, ?) 2n b?a 二分法控制误差 ε 常用的方法有(1)先计算对分次数再对分。 由 k ? ? 计算得 n ? log 2 b ? a 2 ?
数列{xn}收敛于方程的根 α ,且有误差估计式 | x n ? ? |? 得到满足误差要求的最少对分次数。(2)事后误差估计法,先对分再判断所得中点是否满足误 差要求(3)由于 | x n ? ? |?| x n ? x n ?1 |?

b?a 故可用 | xn ? xn?1 |? ? 来判断误差。 2n

8.迭代法的求解步骤(1) 建立迭代公式。由公式 f(x)=0 出发将其分解为等价形式 x=φ(x),式中 φ(x)叫做方程的迭代函数. (2) 进行迭代计算。由初值 x0 出发,按迭代函数进行计算

xn?1 ? ? ( xn )(n ? 0,1,2,?) 称为迭代公式。数列{xn},称为迭代序列。该过程称为迭代过程.
9 若从任何可取的初值出发都能保证收敛,则称它为大范围收敛。如若为了保证收敛性必须 选取初值充分接近于所要求的根,则称它为局部收敛。 定理 2.2(收敛定理) :设方程 x=φ(x),如果设方程 x=φ(x),如果(1)迭代函数 φ(x)在区间[a,b] 可导;(2)当 x?[a,b]时,φ(x)?[a,b] ;(3)对于任意的 x?[a,b] ,有 | ? ?( x) |? L ? 1 。则有 ①方程 x=φ(x)在区间[a,b]上有唯一的根 α;②对于任意的初值 x0?[a,b] ,由迭代公式

xn?1 ? ? ( xn )(n ? 0,1,2?) 产生的数列{xn}收敛于方程的根 α 。③ | xn ? ? |?
④误差估计 | xn ? ? |?

L | xn ? xn ?1 | 1? L

Ln | x1 ? x0 | 1? L 定理 2.3(迭代法的局部收敛定理) :设 α 是方程 x=φ(x)的根,如果 (1)迭代函数 φ(x)在 α 的
邻域可导; (2)在 α 的某个邻域 S={x:|x-α|≤δ } ,对于任意的 x?S 有 | ? ?( x) |? L ? 1 则对于 任意的初值 x0?S ,迭代公式 xn+1=φ(xn) 产生的数列{xn},收敛于方程的根 α 。 (这时称 α 的 S 领域具有局部收敛性。 ) 收敛法控制误差 ε 的方法有:(1)先计算满足误差要求的迭代次数 n,再迭代。由
? (1 ? L) ln Ln L | x1 ? x0 | (2)事后误差估计法。 | xn ? xn?1 | 因 | xn ? ? |? | x1 ? x0 |? ? 可得 n ? 由于 | xn ? ? |? 1? L 1? L ln L

而可用|xn-xn-1|≤ε 来控制迭代过程。

~ ? ? ( x )(n ? 0,1,2, ?) x n ?1 n x ?~n?1 ? ? ( xn )(n ? 0,1,2,?) ? x n ? 2 ? ? ( ~n ?1 ) x 10.迭代-加速公式:? 埃特金加速公式: 1 ~ q ? xn?1 ? 1 ? q xn?1 ? 1 ? q xn x n ? 2 x n ? ~n2?1 x ? x n ?1 ? x n ? 2 ? 2 ~n ?1 ? x n x
定 理 2.4 : 如 果 由 迭 代 公 式 xn+1=φ(xn) 产 生 的 数 列 {xn} 满 足 (1) 收 敛 于 根 α ; (2)

lim

en?1 ? c(0 ? c ? 1), en ? xn ? ? ? 0(n ? 0,1,2 ? ??) 则由埃特金加速公式产生的数列{xn} x ?? e n

比数列 {xn } 较快地收敛于根 α,即 lim
x ??

xn ? ? xn ? ?

?0

11.牛顿迭代公式: xn ?1 ? xn ?

f ( xn ) f ?( xn )

定理 2.5 (牛顿迭代法的局部收敛定理) 设 α 是方程 f(x)=0 的根, 如果(1)函数 f(x)=0 在 α 的邻域有连续的二阶导数(2)在 α 的邻域 f’(x)≠0 则存在 α 的某个邻域 S ? {x :| x ? ? |? ? } ,对于任意的初始值 x0 ? S ,由牛顿迭代公式产 生的数列收敛于根 α。 定理 2.6(牛顿迭代法收敛定理) 设 α 是方程 f(x)=0 在隔根区间[a,b]内的根,且满足 ?x ? ?a, b? , f ?( x), f ??( x) 连续且不变号;

(2)选取初始值 x0 ? ?a, b? 使 f ( x0 ) f ??( x0 ) ? 0 。则由牛顿迭代公式产生的数列收敛于根 α。 12. 定义:设数列 {xn } 收敛于 α,令误差 en ? xn ? ? ,如果存在某个实数 p ? 1 及正常数 C,使

lim
n ??

| en ?1 | 也称相应的迭代法为 p 阶方法。 p ? 1 且 0 ? C ? 1 当 ? C 则称数列 {xn } p 阶收敛, | en | p

时,称数列 {xn } 为线性收敛.当 p=2 时,称数列 {xn } 平方收敛(或二阶收敛).当 p>1 时,称 数列 {xn } 为超线性收敛。 定理 2.7:(1)在定理 2.3 的条件下,且在根 α 的某个邻域内有 ? ?( x) ? 0 ,则迭代法是线性 收敛的。 (2)在定理 2.6 的条件下,牛顿迭代法是平方收敛的。 13. 单 点 弦 截 法 迭 代 公 式 : xn ?1 ? x0 ?

xn ? x0 f ( x0 ) ; 双 点 弦 截 法 迭 代 公 式 : f ( xn ) ? f ( x0 )

xn?1 ? xn ?
定理 2.8:

xn ? xn?1 x f ( xn ) ? xn f ( xn?1 ) f ( xn ) ? n?1 (n ? 1,2,? ? ?) f ( xn ) ? f ( xn?1 ) f ( xn ) ? f ( xn?1 )

设 α 是方程 f(x)=0 在隔根区间[a,b]内的根, 且满足(1) ?x ? ?a, b?, f ?( x), f ??( x) 连

续且不变号;(2)选取初始值 x0 ? ?a, b? ,使 f ( x0 ) f ??( x0 ) ? 0 。选定 a,b 中的一个,则 x1 为另一个。则有单点弦截迭代法公式产生的数列收敛于根 α。 (单点弦截法的收敛阶为 1) 。 定理 2.9:设方程 f(x)=0,如果(1)f(x)在根 α 的某个邻域具有连续的二阶导数,且 f’(x)≠0;(2)任 取 x0,x1 属于该邻域。则由双点弦截迭代法公式产生的数列收敛于根 α。 (双点弦截法是超线 性收敛,收敛阶为()

第三章
14.高斯消元法的求解过程可大致分为两个阶段:(1)把原方程组化为上三角形方程组,称之为 “消元”过程;(2)用逆次序逐一求出上三角方程组(原方程组的等价方程组)的解,称之为“回代” 过程. 15.定义 3.1: 设 A 为 n 阶矩阵,L 为 n 阶下三角阵,U 为 n 阶上三角阵。如果 A=LU,则说明 矩阵 A 实行了三角分解或 LU 分解。 16.定义 3.2: 如果 L 为单位下三角阵,U 为上三角阵,则称该三角分解为杜里特(Doolittle) 分解;如果 L 为下三角阵,U 为单位上三角阵,则称 A=LU 为克劳特(Crout)分解。 定理 3.1:n 阶(n≥2)矩阵 A 有唯一杜里特分解(或克劳特分解)的充要条件是 A 的前 n-1 个顺序主子式都不为零。 定理 3.2:设 A 为对称正定矩阵,则有非奇异下三角阵 L,使 A=LLT;当限定 L 的对角元全为正 时,这种分解是唯一的。

u1 j ? a1 j
17.直接三角分解法公式(Doolittle) u kj ? a kj ? :

( j ? 1,2, ? n)

li1 ? ai1 u11 (i ? 2,3, ? , n)

?l
m ?1

k ?1

km

u mj ? a kj ( j ? k , k ? 1, ? , n)

k ?1 ? ? lik ? ? aik ? ? lim u mk ? u kk ? aik (i ? k ? 1, ? , n) m ?1 ? ? (k ? 2,3, ? , n)

18.平方根法求解公式:

?l11 ? a11 ? ?l j1 ? a j1 l11 (k ? 2,3, ?, n) ? k ?1 ? 2 ?lkk ? akk ? ? lkm ? m ?1 ? k ?1 ?l jk ? 1 (a jk ? ? lkml jm ) ( j ? k ? 1, k ? 2, ?, n ; k ? 2,3, ?, n) ? lkk m ?1 ?
19.追赶法的分解形式及公式:

? b1 c1 ? ??1 ? ?1 ? 1 ? ?a b c ? ?? ? ?? 1 ? ? 2 ?2 2 2 ? ? 2 2 ?? ? ? ? ? ? ?=? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? an?1 bn?1 cn?1 ? ? ? n?1 ? n?1 ? ? 1 ? n?1 ? ? ? an bn ? ? ?n ? n ? ? 1? ? ? ? ? ??

? ?b , ? ? c ? ? ? a , ? ? b ? ? ? (i ? 2,3,?, n) c ? ? ? (i ? 2,3,?, n ? 1)
1 1 1 1 1 i i i i i i ?1 i i i

20.定义 3.3 设迭代矩阵 B 为 n 阶矩阵, i (B) 为矩阵 B 的特征值, ? ( B) ? max ?i ( B) 称 ?
1?i ? n



矩阵 B 的谱半径。 定理 3.3:设简单迭代公式为 x
( k ?1)

? Bx( k ) ? g

(k ? 0,1,2,? ? ?) 对于任意的初始向量 x ( 0 )

和 g,该简单迭代法都收敛的充要条件是: ? ( B) ? 1
定理 3.4:设简单迭代公式为 x
( k ?1)

? Bx(k ) ? g

(k ? 0,1,2,? ? ?) 如果 B 1 ? max? bij ? 1 或
1? j ? n i ?1

n

B

?

? max ? bij ? 1,则简单迭代法对任意初始向量 x ( 0 ) 和 g 都收敛。
1?i ? n j ?1
n

n

21.定义 3.4 设 A ? (aij ) m?n ,如果矩阵 A 满足条件 aii ? ? aij (i ? 1,2,?, n) 或者
i ?1 j ?i

a jj ? ? aij (i ? 1,2,?, n) 即 A 的每一行(列)对角线上的元素的绝对值都严格大于同行
i ?1 j ?i

n

(列)其它元素绝对值之和,则称 A 为严格对角占优矩阵。

a11 x1 ? a12 x2 ? ? ? a1n xn ? b1
定理 3.5:如果线性方程组

a21 x1 ? a22 x2 ? ? ? a2 n xn ? b2 ? an1 x1 ? an 2 x2 ? ? ? ann xn ? bn

的系数矩阵 A 是严格对角占优矩

阵,则雅克比迭代法对任意的初始向量 x ( 0 ) 和 g 都收敛。 定理 3.6:设有赛德尔迭代公式 x ( k ?1) ? B1 x ( k ?1) ? B2 x ( k ) ? g 记矩阵 B ? B1 ? B2 ? (bij ) n?n 。如 果 B 1 ? max
1? j ? n

?b
i ?1

n

ij

? 1或 B

?

? max ? bij ? 1,则简单迭代法对任意初始向量 x ( 0 ) 和 g
1?i ? n j ?1

n

都收敛。
22.定义:设 V 是数域 F 上的线性空间,?x ? V ,若存在唯一实数 x 与其对应,且满足以下 三条公理,(1)正定性: x ? 0, 且 x ? 0 ? x ? 0 (2)齐次性: kx ? k x , ?k ? F (3)三角 不等式: x ? y ? x ? y , ?x, y ?V 则实数 x 称为向量 x 的范数。把定义了范数的线性 空间称为赋范线性空间。 23. R n : ?x ? ( x1 , x2 ,?, xn )T ? R n , 常用的范数有如下三种 (1)向量的 1-范数: 。

x 1 ? ? xi ;(2)向量的 2-范数: x
i ?1

n

2

? (? xi ) ;(3) 向量的∞范数: x
i ?1
p 1 p

n

2 1 2

?

? max xi 。
1? i ? n

均可表示为 p 范数的形式: x 维空间中的范数等价。 ) 24.定义:设向量序列 {u n }n?1 称向量序列 {u n }n?1
? ?

P

(定理:有限 ? (? xi ) , p ? 1,2, ?, 一般可表示为? 。
i ?1

n

? V ,若存在 u ? V ,使得 lim ? (u, u n ) ? lim u n ? u ? 0 n ?? n ??

? V 收敛于 u , lim u n ? u n??
( k ?1)

25.定义:基本迭代法 x
k ??

? Bx( k ) ? g 产生的迭代序列 {x (k ) } ,如果对任取初始向量 x ( 0 ) 都有

lim x ( k ) ? x ,则称此迭代法是收敛的,否则是发散的。 (在 Rn 中,点列的收敛等价于每
( ( 个分量的收敛。即 对x (k ) ? ( x1(k ) , x2k ) , ?, xnk ) ) T ,x * ? x 1,x *, ,x *) ? R n, ( * 2? n T

则 lim x ( k ) ? x * ? lim x i( k ) ? xi* , (i ? 1,2,?, n) 。 )
k ?? k ??

26.迭代终止标准: (1)绝对误差标准。 给出容许误差界ε , 当 终止迭代, 解取为 x ? x (k ) 。 常取 p=∞, x
(k )

x ( k ) ? x ( k ?1) ? ε 时,p=1,2, ∞,
p

? x ( k ?1)
p

?

? ε ? max x ( k ) ? x ( k ?1) ? ε
i

x ( k ) ? x ( k ?1)
(2)相对误差标准。给出容许误差界ε ,

x

(k ) p



(3)给出最大迭代次数 k max ,当 k ? k max 迭代终止,给出失败信息。

? 特征值上界定理:设 A∈Rn n,对于 ? p , ( p ? 1,2, ?)有?(A) A
×

p

定理:如果迭代格式 x

( k ?1)

? Bx(k ) ? g

(k ? 0,1,2,? ? ?) 的迭代矩阵 B 满足 B ? 1,则有以下的

误差估计式:

x

(k )

?x ?

B 1? B

x

(k )

?x

( k ?1)



x

(k )

?x ?

B

k

1? B

x (1) ? x ( 0)

27.估计迭代次数的方法:

x

(k )

?x ?

B

k

ln( x ?x
(1) ( 0)

1? B x (1) ? x ( 0) ln B

1? B

?? ?k ?

28.Jacobi 迭代的矩阵格式: x (k ?1) ? BJ x (k ) ? g , BJ ? D ?1 (L ? U ), g ? D ?1b (k ? 0,1,2,? ? ?) ;分量 形式: x i
( k ?1)

? (bi ? ? a ij x (jk ) ) / a ii , i ? 1,2, ? , n
j ?1 j ?i

n

a ? ( k ?1) ? ? 12 ? x1 a11 ? ? ( k ?1) a ? ? 21 ?x2 a 22 ? ? ? a ? ( k ?1) ? ? n1 ?xn a nn ?

x (2k ) ? x1( k ) ? ? x1( k ) ?

a13 ( k ) a b x3 ? ? ? 1n x (nk ) ? 1 a11 a11 a11 a 23 ( k ) a b x3 ? ? ? 2 n x (nk ) ? 2 a 22 a 22 a 22 an2 (k ) a b x 2 ? ? ? nn ?1 x (nk1) ? n ? a nn a nn a nn
?1

29.Gauss-Seidel 迭代的矩阵形式: x(k ?1) ? BG x(k ) ? g , BG ? (D-L) ?1U , g ? (D-L) 分量形式: xi
( k ?1)

b (k ? 0,1,2,? ? ?) ;

? (bi ? ? aij x (jk ?1) ?
j ?1

i ?1

j ?i ?1

?a

n

ij

x (jk ) ) / aii , i ? 1,2, ?, n

a ? ( k ?1) ? ? 12 ? x1 a11 ? ? ( k ?1) a ? ? 21 ? x2 a 22 ? ? ? a ? ( k ?1) ? ? n1 ? xn a nn ?

x (2k ) ?

a13 ( k ) a b x3 ? ? ? 1n x (nk ) ? 1 a11 a11 a11 a 23 ( k ) a b x3 ? ? ? 2 n x (nk ) ? 2 a 22 a 22 a 22 a n 2 ( k ?1) a b x2 ? ? ? nn ?1 x (nk1?1) ? n ? a nn a nn a nn

x1( k ?1) ? ? x1( k ?1) ?

30.收敛准则: 一般收敛原则:

? (BJ ) ? 1 ?
BJ ? 1 ?

Jacobi 收敛

? ( BG ) ? 1 ?
, B ?1? G

Gauss ? Seidel 收敛

实用准则:由 A 来直接判断(充分准则){ 准则 1:A 严格对角占优 ? Jacobi 迭代法, Gauss-Seidel 迭代法收敛;准则 2:
BJ
?

?1?

Jacobi 迭代法,Gauss-Seidel 迭代法收敛。

准则 3:A 对称正定 ? Gauss-Seidel 迭代法收敛;准则 4:若 A 对称正定,则 2D-A 是对称正 定 ? Jacobi 迭 代 法 收 敛 。 } 注 意 : 对 一 个 任 意 给 定 的 系 数 矩 阵 1.Jacobi 迭 代 法 和 Gaussss-Seidel 迭代法可能同时收敛,或同时不收敛,或者一个收敛而另一个不收敛。2 在都 收敛的情况下,其收敛的速度也不一定是哪一种一定快。3.A 对称正定,Gauss-Seidel 一定收 敛,但 2D-A 不一定也是对称正定,所以 Jacobi 法未必收敛。 31.SOR 迭代的矩阵形式 x ( k ?1) ? Bw x ( k ) ? g, Bw ? (D ? wL) ?1 (wU ? (1 ? w)D), g ? w( D ? wL) ?1 b 分量形式: xi
( k ?1)

? xi( k ?1) ?

i ?1 n w (bi ? ? aij x (jk ?1) ? ? aij x (jk ) ), i ? 1,2, ?, n aii j ?1 j ?i

w=1 , 为 Gauss-seidel 迭 代 法 ; w>1 , 超 松 弛 迭 代 法 ; w<1 低 松 弛 迭 代 法 。

w ? ( k ?1) ? x1( k ) ? (b1 ? a11 x 1( k ) ? ? ? a1n x (nk ) ) ? x1 a11 ? w ? ( k ?1) ( ? x 2k ) ? (b2 ? a 21 x 1( k ?1) ? ? ? a 2 n x (nk ) ) ? x2 a 22 ? ? ? ? w ? ( k ?1) ( ( ? x nk ) ? (bn ? a n1 x 1( k ?1) ? ? ? a nn ?1 x (nk1?1) ? a nn x nk ) ) ? ? xn a nn ?

? ( Bw ) ? 1 ?
32.SOR 迭代收敛准则{ 一般准则: B ? 1 ? w

SOR收敛

,实用准则:用 w 加速,收敛性

于 w 直接有关。定理:SOR 方法收敛的必要条件是 0<w<2。} 33.SOR 法收敛性的结论:(1)SOR 方法收敛的必要条件是 0<w<2;(2)若系数阵 A 对称正定,则 当 0<w<2 时,SOR 方法收敛;(3)若系数阵 A 严格对角占优,则当 0<w≤时,SOR 方法收敛。

第五章
定理 5.1:在 n+1 个互异节点 x k 处满足插值条件 pn ( xk ) ? f ( xk ) 的次数不高于 n 的多项式

pn (x) 存在且唯一。
33.定义 5.1: n 次多项式 l k ( x) (k ? 0,1,?, n) 在 n+1 个插值节点 x0 ? x1 ? ? ? xn 上满足 若 插值条件: k ( xi ) ? ? ik ? ? l

? 1  i ? k 则称这 n+1 个 n 次多项式   (i, k ? 0,1, ,n) ? ? 0  i ? k

l0 ( x),l1 ( x), ,l n ( x) 为插值节点 x0,x1, ,xn 上的 n 次插值基函数。 ? ?
34.插值基函数的性质:性质一: l k ( xi ) ? ?

? 1  i ? k ;性质二: l k ( x ) 是由插值节点    ? 0  i ? k

x0,x1, ,xn 唯一确定的 n 次函数;性质三:插值基函数与插值节点个数相同。 ?
35.Language 插值: Ln ( x) ?

? l ( x) y ? ? ( x
k ?0 k k k ?0

n

n

( x ? x0 )(x ? x1 )...(x ? xk ?1 )(x ? xk ?1 )...(x ? xn ) yk k ? x0 )(xk ? x1 )...(xk ? xk ?1 )(xk ? xk ?1 )...(xk ? xn )

? ? (?
k ?0 i ?0 i ?k

n

n

n n n x ? xi ?n?1 ( x) ? ) yk ? ? y k ,? n ?1 ( x) ? ? ( x ? xi )? n ?1 ( x k ) ? ? ( x k ? xi ) ? x k ? xi k ?0 ( x ? x k )? n ?1 ( x k ) i ?0 i ?0
i?k

定理 5.2: f (n)(x)在区间[a,b]上连续, f (n+1)(x)在(a,b)存在, n(x)为在节点 a ? x0<x1<……<xn? b 若 L 上满足插值条件 Ln ( xk ) ? yk (k ? 0,1,?, n) 的插值多项式,则对于任意的 x? (a,b),其 插 值 余 项 为

f ( n?1) (? ) Rn ( x) ? f ( x) ? Ln ( x) ? ?n?1 ( x)  其 (n ? 1)!



? n ?1 ( x) ? ? ( x ? xi ), ? ? (a, b) 。
i ?0

n

36.定义 5.2:给定函数 f(x)在互异节点 x0<x1<……<xn 处的函数值分别 f(x0), f(x1) ,……, f(xn),称

f [ xi , x j ]  ?

f ( xi ) ? f ( x j ) xi ? x j

(i ? j ) 为 f (x) 在 xi , x j 处的一阶差商。称

f [ xi , x j , xk ]  ?

f [ xi , x j ]  f [ x j , xk ]  ? (i ? j ? k ) 为 f (x) 在 xi , x j , xk 处的二阶差商。一般 xi ? xk

? 地, f [ x0 , x1 ,?, xk ]  称

f [ x0 , x1 ,?, xk ?1 ]  f [ x1 , x2 ,?, xk ]  ? 为 f (x) 在 x0 , x1 ,?, xk 上的 x0 ? x k

k 阶差商。即 f (x) 的 k-1 阶差商的差商称为 k 阶差商(差商也常称为均差) 。 37.差商的性质:1.

f [ x0 , x1,?, xk ]可表示为 f ( x0 ), f ( x1 ),?, f ( xk )的线性组合,即

f ?x0 , x1 ,?, xk ? ? ?

f ( xi ) 2.差商与插值节点的排列顺序无关,即 j ?0 ? 'k ?1 ( x j )

k

f [ xi , x j ] ? f [ x j , xi ] , f [ xi , x j , xk ] ? f [ x j , xi , xk ] ? f [ xk , x j , xi ] 一般地,在 k 阶差商
中,任意调换节点的次序,其值不变。3. 差商与导数的关系: f [ x0 , x1 ,?, xk ] 

f ( n ) (? ) f [ x0 , x1 ,?, xn ] ? ? ? ( x0 , x n ) n!
38.差商表:

39.牛顿插值: N k ?1 ( x) ? N k ( x) ? f [ x0 , x1 ,?, xk ?1 ] ? ( x ? x0 )(x ? x1 )?( x ? xk ) 40.定义 5.3:设 a ? x0 ? x1 ? x2 ? ? ? xn?1 ? xn ? b , yi ? f ( xi ) 为等距节点

xi ? x0 ? ih(i ? 0,1,?, n) 上的函数值,其中 h ?

b?a 称为步长,则 n

?yi ? yi ?1 ? yi (i ? 0,1,?, n) 称为 f (x) 在 x i 处以 h 为步长的一阶向前差分。
?2 yi ? ?yi ?1 ? ?yi ? yi ?2 ? 2 yi ?1 ? yi (i ? 0,1,?, n) 称为 f (x) 在 x i 处以 h 为步长的二阶
向前差分。一般地, ?m yi ? ?m?1 yi ?1 ? ?m?1 yi (i ? 0,1,?, n) 称为 f (x) 在 x i 处以 h 为步长 的 m 阶向前差分。 41.差分的性质:性质 1:各阶差分可用函数值线性表示,其计算公式为:
1 2 s ?n yi ? yn?i ? Cn yn?i ?1 ? Cn yn?i ?2 ? ? ? (?1) s Cn yn?i ?s ? ? ? (?1) n yi 其中:

s Cn ?

?n y 0 n(n ? 1) ? (n ? s ? 1) ;性质 2:差分与差商满足下述关系 f [ x0 , x1 , ?, x n ] ? s! n!h n ;

性质 3:差分与导数满足关系: 42.等距节点插值:

?n y0 ? h n f (n) (? ) (? ? ( x0 , xn )) 。

N n ( x) ? f ( x 0 ) ?

?y 0 ?2 y 0 ?n y 0 ( x ? x0 ) ? ( x ? x0 )(x ? x1 ) ? ? ? ( x ? x0 )(x ? x1 ) ?( x ? xn?1 ) h 2!h 2 n!h n
n n n 1 ]l 2 ( x) y j ? ? ( x ? x j )l 2 ( x)m j j j x j ? xk j ?0

43.埃尔米特插值: H 2 n ?1 ( x) ? ? [1 ? 2( x ? x j )?
j ?0 k ?0 k? j

定理 5.3:若 f (x) 在 [a, b] 上存在 2n+2 阶导数,则其插值余项

R2 n?1 ( x) ? f ( x) ? H 2 n?1 ( x) ?

f ( 2 n? 2) (? ) 2 ,式中 ? ? (a, b),且与x有关  wn?1 ( x)   (2n ? 2)!

44.定义 5.4: 设在区间 [a, b] 上取 n+1 个节点 a ? x0 ? x1 ? x2 ? ? ? xn?1 ? xn ? b 若函数 S(x) 满足(1)在整个区间 [a, b] 上具有二阶连续导数;(2)在每个小区间 [ xi ?1 , xi ](i ? 1,2,?, n) 上是 x 的三次多项式;(3) S ( xi ) ? yi (i ? 0,1,?, n) 。则称 S (x) 为 f (x) 的三次样条插值函数。 45.用节点处一阶导数表示的三次样条插值函数的构造步骤:用公式

? hi ?1 ??i ? (hi ?1 ? xi ?1 ? xi) hi ? hi ?1 ? ? hi ? i ? 1,2, ? , n ? 1 计算出 ?i,?i,fi 。由公式: ? ? i ? 1 ? ?i ? hi ? hi ?1 ? ? ? y ? yi y ? y i ?1 ? ? f i ? 3? ? i i ?1 ? ? ?i i ? ? hi ?1 hi ? ? ? ?

?i mi ?1 ? 2mi ? ?i mi ?1 ? fi (i ? 1,2,?, n ?1) ,以及第一类边界条件:
S ?( x0 ) ? m0 , S ?( xn ) ? mn 或第二类边界条件: S ??( x0 ) ? M 0 , S ??( xn ) ? M n 计算出 mi (i ? 0,1,?, n) 。计算公式如下:
?2 ?? ? 2 ? ? ? ? ?

?1
2 ?

?2
? ? 2

?n?2

?n ?1

? ? ?m1 ? ? f1 ? ?1 m0 ? ? ?m ? ? f2 ? ?? 2 ? ? ? (第一类边界条件)或 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? n ? 2 ? ?mn ? 2 ? ? f n ? 2 ? 2 ? ?mn ?1 ? ? f n ?1 ? ? n ?1 mn ? ?? ? ? ?

?2 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ?

1 2

?1
2 ?

?2

?2
?

?n ?1

? y1 ? y 0 h1 ? ? M0 ? ?3 h1 2 ?? m0 ? ? ? ? ? ?? ? f1 ?? m1 ? ? ? ?? m ? ? f2 ? 2 ??? ?? ? (第二类边界条件) ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? n ?1 ?? mn ?1 ? ? f n ?1 ? ? ? 1 2 ?? mn ? ? y n ? y n ?1 hn ?? ? ? Mn ? ?3 ? hn 2 ? ?

最后将 mi (i ? 0,1,?, n) 代入 S i ( x) ?

( x ? xi ) 2 ?hi ? 2( x ? xi ?1 )? hi3

y i ?1 ?

( x ? xi ?1 ) 2 ?hi ? 2( xi ? x)? hi3

yi

( x ? xi ) 2 ( x ? xi ?1 ) ( x ? xi ?1 ) 2 ( x ? xi ) ? mi ?1 ? mi , 式中x ?[ xi ?1 , xi ] (i ? 1,2,?, n) 。 hi2 hi2
46. 用节点处二阶导数表示的三次样条插值函数的构造步骤:用公式

? hi ?? i ? (hi ?1 ? xi ?1 ? xi) hi ? hi ?1 ? ? hi ?1 ? (i ? 1,2,? , n ? 1) 计算出 ?i,?i,fi 。由公式: ??i ? 1 ? ? i ? hi ? hi ?1 ? ? 6 ? y i ?1 ? y i y i ? y i ?1 ? ? fi ? ? ? ? ? hi ? hi ?1 ? hi ?1 hi ? ? ? ?

?i M i ?1 ? 2M i ? ?i M i ?1 ? f i (i ? 1,2,?, n ? 1) 以及第一类边界条件:
S ?( x0 ) ? m0 , S ?( xn ) ? mn 或第二类边界条件: S ??( x0 ) ? M 0 , S ??( xn ) ? M n 计算出 Mi (i ? 0,1,?, n) 。计算公式如下:
? 6 ? y1 ? y0 ? ? ? ? ? h ? m0 ? ? ? ? ? M 0 ? ? h1 ? 1 ? ? ? ?M ? ? ? f1 ?? 1 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? (第一类边界条件)或 ? ? ?? ? f n ?1 2 ?n ?1 ? ? M n ?1 ? ? ? 1 2 ? ?M n ? ? 6 ? yn ? yn ?1 ?? ?? ? ?? ? ? mn ? ? ? hn ? hn ? ?? ? ?

?2 1 ?? 2 ? 1 ? 1 ? ? ? ? ? n ?1 ? ? ?

? 2 ? ? ?2 ? ? ? ? ? ? ?

?1
2

?2
2 ?

?3

?3
? ? 2

? n?2

? n ?1

? ?? M 1 ? ? f1 ? ?1 M 0 ? ? ? ?? f2 ? ?? M 2 ? ? ? ?? M ? ? f3 ? (第二类边界条件) ?? 3 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?n ? 2 ?? M n ?2 ? ? f n?2 ? 2 ?? M n ?1 ? ? f n ?1 ? ?n ?1 M n ? ?? ? ? ?

最后将 Mi (i ? 0,1,?, n) 代入 Si ( x) ?

( xi ? x)3 ( x ? xi ?1 )3 M i ?1 ? Mi 6hi 6hi

M M ? ?x ?x ? ? x ? xi ?1 ? ? yi ?1 ? i ?1 hi2 ? i ? ? yi ? i hi2 ? , 式中x ?[ xi ?1 , xi ] (i ? 1,2,?, n) 。 6 6 ? ? hi ? ? hi

第六章
?a11 x1 ? a12 x2 ? ? ? a1n xn ? b1 ?a x ? a x ? ? ? a x ? b ? 21 1 22 2 2n n 2 47.定义: 当线性方程组 ? 的系数矩阵的秩与增广矩阵的秩不 ? ? ? ?a N 1 x1 ? a N 2 x2 ? ? ? a Nn xn ? bN ?
等时,方程组无解,这时次方程组称为矛盾方程组。称 ? i ? 偏差。 定理 6.1:设 n 元实函数 f ( x1 , x2 ,?, xn ) 在点 p0 (a1 , a2 ,?, an ) 的某个邻域内连续,且有一 阶 二 阶 连 续 的 偏 导 数 , 如 果 (1)

?a
i ?1

n

ij

x j ? b j (i ? 1,2,?, n) 为

?f ?x k

? 0 (k ? 1,2, ?, n) (2) 矩 阵
p0

? ?2 f ? ? ?x12 P0 ? 2 ? ? f M ? ? ?x1?x2 P0 ? ? ? 2 ? ? f ? ?x ?x ? 1 n P0

?2 f ?x1?x2
2

P0

? f 2 ?x2 P 0 ? ?2 f ?x2 ?xn P

0

? ? ? P0 ? ?2 f ? ? ?x2 ?xn P ? 是正(负)定矩阵,则 f (a1 , a2 ,?, an ) 是 n 0 ? ? ? ? ?2 f ? ? 2 ?xn P ? 0 ? ? ?2 f ?x1?xn

元实函数 f ( x1 , x2 ,?, xn ) 的极小(大)值。 定理 6.2:设非齐次线性方程组 Ax ? b 的系数矩阵 A ? (aij ) N ?n ,若 rank A ? n ,则:(1)矩
T T 阵 A A 是对称正定矩阵;(2)n 阶线性方程组 A Ax ? A b 有唯一的解。

T

?a11 x1 ? a12 x2 ? ? ? a1n xn ? b1 ?a x ? a x ? ? ? a x ? b ? 21 1 22 2 2n n 2 定理 6.3:设矛盾方程组 ? 的系数矩阵 A 的秩为 n,则二次 ? ? ? ?a N 1 x1 ? a N 2 x2 ? ? ? a Nn xn ? bN ?
函数 Q ? f ( x1 , x2 ,?, xn ) ?

? (? a
i ?1 j ?1

N

n

ij

x j ? bi ) 2 一定存在最小值。

48.定义:线性方程组 AT Ax ? AT b 称为正则方程组。 定理 6.4:设 x1 , x2 ,?, xN 互异,且 N ? m ? 1 ,则正则方程组

a0 N ? a1 ? xi ? ? ? a m ? xim ? ? y i
i ?1 i ?1 i ?1

N

N

N

a0 ? xi ? a1 ? xi2 ? ? ?a m ? xim ?1 ? ? xi y i
i ?1 N i ?1 i ?1 i ?1

N

N

N

N

有唯一的解。

a0 ? xim ? a1 ? xim ?1 ? ? ? a m ? xi2 m ? ? xim y i
i ?1 i ?1 i ?1 i ?1

N

N

N

49.通常用均方差

??? ( x ) ? y ?
i ?1 i i

N

2

与最大偏差 max | ? ( xi ) ? y i | 来判断拟合曲线的优劣。
1?i ? N

第七章
50. 定 义 : 在 积 分 区 间 [a, b] 上 取 一 系 列 的 点 xk (k ? 0,1,2,?, n) , 设 用被积函数 f (x) 在这些点上的函数值 f ( xk ) 的线性组合来 a ? x0 ? x1 ? x2 ? ? ? xn ? b , 作为积分的近似值:

?

b

a

f ( x) d x ? ? Ak f ( xk )
k ?0

n

,此式称为数值求积公式,其中的 n ? 1 个

点 xk (k ? 0,1,2,?, n) 称 为 节 点 , Ak (k ? 0,1,2,?, n) 称 为 求 积 系 数 。

R[ f ] ? ? f ( x) dx ? ? Ak f ( xk ) 称为求积公式 ? f ( x) d x ? ? Ak f ( xk ) 的截断误差。
b b a k ?0 a k ?0

n

n

51.牛顿科-特斯求积公式:

?

b

a

f ( x) d x ? (b ? a)? Ck( n ) f ( xk ) , Ck(n) 称为科特斯系数。
k ?0

n

Rn ( f ) ?

b 1 ( n ?1) ?a f (? )?n?1 ( x) d x 称为牛顿-科特斯公式的截断误差。 (n ? 1)!

52.梯形公式(n=1) :

?

b

a

f ( x) d x ?

b?a [ f (a ) ? f (b)] 2

53.辛浦生公式(n=2) : 54.科特斯公式(n=4) :

?

b

a

f ( x) d x ?

b?a a?b [ f (a) ? 4 f ( ) ? f (b)] 6 2

?
n=1 n=2 n=3 n=4

b

a

f ( x) d x ?

b?a [7 f ( x0 ) ? 32 f ( x1 ) ? 12 f ( x2 ) ? 32 f ( x3 ) ? 7 f ( x4 )] 90
K=1 1/2 4/6 3/8 32/90 1/6 3/8 12/90
n

55.科特斯系数表: k=0 1/2 1/6 1/8 7/90 K=2 K=3 K=4

1/8 32/90 7/90

56.定义 7.1:如果求积公式

?

b

a

f ( x) d x ? ? Ak f ( xk ) 对于任何不高于 m 次的代数多项式都
k ?0

准确成立(即 Rn [ f ] ? 0 ) ,而对某个 m+1 次的代数多项式不准确成立(即 Rn [ f ] ? 0 ),则 ? 称该求积公式具有 m 次代数精确度,简称代数精度。 定理:n 为偶数的牛顿-科特斯求积公式具有 n+1 次代数精度,n 为奇数的牛顿-科特斯求积 公式具有 n 次代数精度。 定理 7.1:设 f (x) 在区间 [ a, b] 上具有连续的二阶导数,则梯形公式的截断误差为:

R1 [ f ] ? ?

(b ? a) 3 f ??(? ),? ? (a, b) 。 12

定理 7.2:设 f (x) 在区间 [ a, b] 上具有连续的四阶导数,则辛浦生公式的截断误差为:

(b ? a) 5 ( 4) R2 [ f ] ? ? f (? ),? ? (a, b) 。 2880
57.科特斯公式的截断误差为: R4 [ f ] ? ?

8(b ? a) ? b ? a ? (6) ? ? f (? ),? ? (a, b) 945 ? 4 ?
7

58.待定系数法:给定 n+1 个节点 xk (k ? 0,1,2,?, n) ,如果要构造至少具有 n 次代数精度的 求积公式,只要

?

b

a

, f ( x) d x ? ? Ak f ( xk ) 对于 1 x, x 2 ,?, x n 都准确成立,则可得到含求
k ?0

n

? A0 ? A1 ? ? ? An ? b ? a ? ? A0 x0 ? A1 x1 ? ? ? An xn ? 1 (b 2 ? a 2 ) ? 2 积系数 Ak (k ? 0,1,2,?, n) 的代数方程组:? 方 ? ? ? 1 n n n (b n ?1 ? a n ?1 ) ? A0 x0 ? A1 x1 ? ? ? An xn ? n ?1 ?

程组的系数行列式是范德蒙行列式,其值不为零,因而可求得唯一解 Ak (k ? 0,1,2,?, n) 。 59.复化求积公式的基本思想:把积分区间分成若干小区间,在每个小区间上采用次数不高 的插值公式,如梯形公式或抛物线公式,构造出相应的求积公式,然后再把它们加起来得到 整个区间上的求积公式。复化求积公式克服了高次 Newton-Cotes 公式计算不稳定的问题, 其运算简单且易于在计算机上实现。常用的复化求积公式是复化梯形公式和复化抛物线公 式。 60.复化梯形公式:

?

b

a

N ?1 h b?a f ( x) d x ? [ f (a) ? 2? f ( xk ) ? f (b)] ? TN , h ? , xk ? a ? kh 2 N k ?1

61.复化辛浦生公式: 式中 h ?

?

b

a

f ( x) d x ?

N ?1 N ?1 h? ? f (a) ? 4? f ( x2k ?1 ) ? 2? f ( x2k ) ? f (b)? ? S N ? 6? k ?0 k ?1 ?

b?a h , x k ? a ? k , (k ? 1,2,?,2 N ? 1) N 2
N N N N ?1 h ? ? ?7 f (a) ? 32? f ( x4k ?3 ) ? 12? f ( x4k ?2 )? 32? f ( x4k ?1 ) ? 14? f ( x4k ) ? 7 f (b)? ? CN 90 ? k ?1 k ?1 k ?1 k ?1 ?

62. 复化科特斯公式:

?

b

a

f ( x) d x ?

式中 h ?

b?a h , x k ? a ? k , (k ? 1,2,?,4 N ? 1) N 4

定理 7.3:设 f (x) 在区间 [a, b] 上具有连续的二阶导数,则复化梯形公式的截断误差为:

R1( N ) [ f ] ? ?

b?a 2 h f ??(? ) ? ? (a, b) 。 max | f ??( x ) |? M 2 ,则有误差估计式: (若 a ? x ?b 12

R1( N ) [ f ] ?

b?a 2 (b ? a)3 h M2 ? M2 。 ) 12 12N 2

b ? a 4 ( 4) h f (? ), ? ? (a, b) ,若 2880 b?a 4 ( max | f ( 4) ( x) |? M 4 则有误差估计式: R2 N ) [ f ] ? h M4 。 a ? x ?b 2880 2(b ? a) h 6 ( 6) (N ) ( ) f (? ), ? ? (a, b) ,若 64.复化柯特斯公式的截断误差: R4 [ f ] ? ? 945 4 2(b ? a) h 6 ( max | f ( 6) ( x) |? M 6 ,则有误差估计式: R4 N ) [ f ] ? ( ) M6 。 a ? x ?b 945 4
(N ) 63.复化辛浦生公式的截断误差: R2 [ f ] ? ?

65.区间逐次半分求积法:(1)对于梯形公式:假定 f ??(x) 在区间 [a, b] 上变化不大,则有

1 1 I ? T2 N ? (T2 N ? TN ) ? T2 N ? (T2 N ? TN ) 。递推公式为: 3 4 ?1

b?a ? ?T1 ? 2 ? f (a) ? f (b)? ? ( N ? 2 k ?1 ; k ? 1,2,?) ? 1 b?a N ? b?a? ?T2 N ? TN ? ? f ? a ? (2 j ? 1) 2 N ? 2 2 N j ?1 ? ? ? ?

(2)对于辛浦生公式,假定 f

( 4)

( x) 在区间 [a, b] 上变化不大,则有

I ? S2 N ?

1 1 (S2 N ? S N ) ? S2 N ? 2 (S2 N ? S N ) 。 15 4 ?1
(6)

(3)对于科特斯公式,假定 f

( x) 在区间 [a, b] 变化不大,则有

I ? C2 N ?

1 1 (C 2 N ? C N ) ? C 2 N ? 3 (C 2 N ? C N ) 63 4 ?1

66.外推法的几个公式:

S N ? T2 N

4T2 N ? TN 42 S2N ? S N 1 1 ? (T2 N ? TN ) ? C N ? S 2 N ? (S 2 N ? S N ) ? , 3 4 ?1 15 42 ? 1
43 C2 N ? C N 1 (C 2 N ? C N ) ? 63 43 ? 1 4 3 C2 N ? C N 1 (C2 N ? C N ) ? 63 43 ? 1

RN ? C 2 N ?

67.龙贝格求积公式: RN ? C2 N ?

68.结论:由梯形序列外推得到辛浦生序列、由辛浦生序列外推得到科特斯序列以及由科特 斯序列外推得到龙贝格序列,每次外推都可以使误差阶提高二阶。 69.龙贝格求积算法的计算步骤:(1)算出 f (a ) , f (b) ,根据公式 T1 ? 计算 T1 ; (2)将 [a, b] 分半,算出 f(
a?b

b?a ? f (a) ? f (b)? 2

1 b?a N ? b?a? ) 后,根据公式 T2 N ? TN ? ? f ? a ? (2 j ?1) 2 N ? 2 2 2 N j ?1 ? ?
4T ? TN 1 (T2 N ? TN ) ? 2 N 计算 S1 ; 3 4 ?1

计算 T2 ,再根据公式 S N ? T2 N ? (3)再将区间对分,算出 f ( a ?

b?a b?a ) 以及 f (a ? 3 ? ) ,并根据 4 4

4T ? T 1 1 b?a N ? b?a? T2 N ? TN ? ? f ? a ? (2 j ?1) 2 N ? 和 S N ? T2 N ? 3 (T2 N ? TN ) ? 24N ? 1 N 算 2 2 N j ?1 ? ?
出 T4、S 2 ,再由公式 C N ? S 2 N ?

42 S2N ? S N 1 (S 2 N ? S N ) ? 计算 C1 ; 15 42 ? 1 4 3 C2 N ? C N 1 ? (C2 N ? C N ) ? 计 63 43 ? 1

(4)将区间再次分半, 计算 T8 , S 4 , C2 , 并由公式 RN ? C2 N 算 R1 ;

(5)将区间再次分半,类似上述过程计算 T16 , S8 , C4 , R2 。重复上述过程可计算得到

R1 , R2 , R4 ,? 一直算到龙贝格序列中前后两项之差的绝对值不超过给定的误差限为止。
70.定义 7.2:把具有 n ? 1 个节点的具有 2n ? 1 次代数精确度的插值型求积公式

?

b

a

f ( x) d x ? ? Ak f ( xk ) 称为高斯型求积公式,节点 xk 称为高斯点, Ak 称为高斯系数。
k ?0

n

定理 7.4:对于插值型求积公式

?

b

a

f ( x) d x ? ? Pn ( x) d x ?? Ak f ( xk ) ,其节点
b a k ?0

n

xk (k ? 0,1,?, n) 为高斯点的充要条件是以这些点为零点的多项式 ?n?1 ( x) ? ? ( x ? x j )
j ?0

n

与任意的次数不超过 n 的多项式 P(x) 在区间 [a, b] 上正交,即

?

b

a

P( x)?n?1 ( x) d x ? 0 。

? 71.n 次勒让德多项式:Ln ( x) ?

1 dn ( x 2 ? 1) n , x ? [?1,1] ; n ? 0,1,? 其性质有:(1) n 2 n n! d x n

次勒让德多项式与任意的次数不超过 n ? 1 次的多项式在区间 [?1,1] 上正交;(2) n 次勒让德 多项式的 n 个零点都在区间 [ ?1, 内。 1] 72.结论:当积分区间为 [ ?1, 时,插值型求积公式的代数精确度为 2n ? 1 的充要条件是 1]

1] ?n?1 ( x) ? ? ( x ? x j ) 与任意次数不超过 n 的多项式 P(x) 在区间 [ ?1, 上正交。
j ?0

n

73.高斯-勒让德求积公式:

?

1

?1

f ( x) d x ? ? Ak f ( xk ) ( xk (k ? 0,1,?, n) 为 n ? 1 次勒让德多
k ?0
b

n

项式的零点。求积系数 Ak 可用待定系数法或按 Ak ? ? lk ( x) d x 求出:
a

Ak ?

2 ) ? (1 ? x )[Ln?1 ( xk )]2
2 k

74.对于积分

?

b

a

a?b b?a ? t 将积分转化为 [?1,1] 上的积分 a 2 2 b?a 1 a?b b?a b?a 1 a?b b?a f ( x) d x ? f( ? t) d t ? ??1 2 ??1? (t ) d t , ? (t ) ? f ( 2 ? 2 t ) , 2 2 2

?

b

f ( x) d x ,可通过变量代换 x ?

然后用高斯-勒让德求积公式计算积分

?

1

?1

? (t ) d t 。

定理 7.5:设 f (x) 在 [a, b] 内具有 2n ? 2 阶导数,则高斯型求积公式的截断误差为

R[ f ] ?

n f ( 2 n? 2) (? ) b 2 ?n?1 ( x) d x , ? ?[a, b],?n?1 ( x) ? ? ( x ? x j ) 。 (2n ? 2)! ?a j ?0

h h f ( x0 ? ) ? f ( x0 ? ) 2 2 ? O( h 2 ) 75.中点公式: f ?( x0 ) ? h
76.数值微分公式建立的一般原则:根据数值表构造函数 f (x) 的插值多项式 Pn (x) ,并用插 值多项式在节点处的导数值 P?( xi ) 作为 f ?( xi ) 的近似值。 n 77.数值微分在节点处的公式为: f ?( xi ) ? Pn? ( xi ) ?

f ( n?1) (? ) ? ? n?1 ( xi ), (i ? 0,1,?, n) (n ? 1)!

第八章
?d y ? f ( x, y ) ? 78.对于一阶常微分方程的初值问题: ? d x x0 ? x ;等距节点下,欧拉法(折线 ? y ( x0 ) ? y0 ?
法)的计算公式为: yn?1 ? yn ? h f ( xn , yn ), (n ? 0,1,2?) , x0 , y0 是方程的初始值;梯 形法的计算公式为: y n ?1 ? y n ?

h [ f ( x n , y n ) ? f ( x n ?1 , y n ?1 )], (n ? 0,1,2?) 。 2

( y n0)1 ? y n ? h f ( x n , y n ) (预估公式) (n ? 0,1,2,?) ?

79.欧拉预估-校正公式:

h ( y n ?1 ? y n ? [ f ( x n , y n ) ? f ( xn ?1 , y n0)1 )] (校正公式) ? 2

80.定义 8.1 假定 y n 为准确值,即 yn ? y( xn ) ,在此前提下,用某种数值方法计算 yn?1 的 误差 Rn ? y( xn?1 ) ? yn?1 ,称为该数值方法计算 yn?1 的局部截断误差。在不考虑舍入误差的 情况下,考虑每一步局部截断误差的影响而求得的 yn?1 与 y ( xn ?1 ) 的误差

? n?1 ? y( xn?1 ) ? yn?1 称为该数值方法在计算 yn?1 时的整体截断误差。
81.欧拉法的局部截断误差为 Rn ? y ( x n ?1 ) ? y n ?1 ?

h2 y ??(? n ), xn ? ? n ? x n ?1 2 h3 y ???(? n ), xn ? ? n ? xn?1 12

82.梯形法德局部截断误差为 Rn ? y ( xn ?1 ) ? y n ?1 ? ?

83.定义 8.2:若某一数值方法的局部截断误差为 Rn ? O(h p?1 ) ,p 为正整数,则称这个数值 方法为 p 阶方法,或者说该方法具有 p 阶精度。 定理 8.1:如果 f ( x, y ) 关于 y 满足李普希兹条件: f ( x, y1 ) ? f ( x, y2 ) ? L y1 ? y2 ,且局

部截断误差有界: Rn ? 截断误差 ? n ? e
(b?a ) L

1 2 h M 2 , (n ? 1,2, ?) 则欧拉法式 yn?1 ? yn ? h f ( xn , yn ) 的整体 2

?0 ?

hM 2 (b ?a ) L (e ? 1) ,其中 L 为李普希兹常数, (b ? a) 为求解区 2L

间长度, M 2 ? max y ??( x) 。
a ? x ?b

84.定义 8.3: 如果某一数值方法对于任意固定的 xn ? x0 ? nh 。 h ? 0(同时n ? ?) 时有 当

y n ? y( xn ) ,则称该方法是收敛的。
85.定义 8.4:用某一数值方法求解初值问题,如果当步长 h 固定进行计算式,仅在一个节点 值 y n 上产生大小为 ? 的扰动,而由这个扰动引起以后各节点值 y m (m ? n) 的变化均不超过

? ,则称这个数值方法是稳定的。
?d y ? f ( x, y ) ? x0 ? x 的模型方程。 86. y ? ? ?y 为 ? d x ? y ( x0 ) ? y0 ?
? 87.p 阶泰勒方法: y n ?1 ? y n ? hy n ? h2 h p ( p) ? y n? ? ? ? yn 2! p! Rn ? h p ?1 y ( p ?1) (? n ) ( p ? 1)!

? ? y n ? f ( xn , y n ) ? y ?? ? [ f ? ff ] x y ( xn , y n ) ? n (k 其中 y n ) 的计算公式为: ? 2 2 ? ? y n?? ? [ f xx ? 2 f xy f ? f yy f ? f x f y ? f y f ]( xn , yn ) ? ? ?

? y n ?1 ? y n ? c1 k1 ? c 2 k 2 ? ? ? c N k N ?k ? hf ( x , y ) n n ? 1 ?k 2 ? hf ( x n ? a 2 h, y1 ? ? 21 k1 ) ? ? ?k 3 ? hf ( x n ? a3 h, y1 ? ? 31 k1 ? ? 32 k 2 ) 88. N 级龙格-库塔方法 级 R-K 方法) ? ? (N : ? ?k N ? hf ( x n ? a N h, y N ? ? N 1 k1 ? ? ? ? N , N ?1 k N ?1 ) ?

1 ? ? y n ?1 ? y n ? 6 (k1 ? 2k 2 ? 2k 3 ? k 4 ) ? ?k1 ? hf ( x n , y n ) ? k h ? 89.经典的四级四阶 R-K 方法: ?k 2 ? hf ( x n ? , y n ? 1 ) 2 2 ? k2 h ? ?k 3 ? hf ( x n ? 2 , y n ? 2 ) ? ?k 4 ? hf ( x n ? h, y n ? k 3 ) ?
90. 线性多步方法的一般形式为:

yn?1 ? ? 0 yn ? ?1 yn?1 ? ? ? ? r yn?r ? h(? ?1 f n?1 ? ? 0 f n ? ?1 f n?1 ? ? ? ? r f n?r ) 式中
f n?k ? f ( xn?k , yn?k )(k ? ?1,0,1,?, r ),? i , ? j 都为实数,且 ? r ? ? r ? 0 。当 ? ?1 ? 0 时,
上式为隐式方法,当 ? ?1 ? 0 时上式为显式方法。 91.四步阿达姆斯显式公式:

h [55 f ( x n , y n ) ? 59 f ( x n ?1 , y n ?1 ) ? 37 f ( x n ? 2 , y n ? 2 ) ? 9 f ( x n ?3 , y n ?3 )] (n ? 3,4,5, ?) 24 251 5 ( 5) h y (? n ) 局部截断误差: Rn ? 720 y n ?1 ? y n ?
92.三步阿达姆斯隐式公式及局部截断误差:

h 19 5 (5) [9 f n ?1 ? 19 f n ? 5 f n ?1 ? f n ? 2 ], Rn ? ? h y (? n ) 24 720 h 1 4 ( 4) 5 93.辛浦生公式: y n ?1 ? y n ?1 ? ( f n ?1 ? 4 f n ? f n ?1 ), Rn ? ? h y ( x n ) ? O(h ) 。 3 6 y n ?1 ? y n ?


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