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幂函数(高考复习)


第二章

函数、导数及其应用

第八节 反比例函数与幂函数

考 纲 要 求

1.了解幂函数的概念. 了解它们的变化情况.
1 1 2.结合函数y=x,y=x2,y=x3,y= ,y=x 2 的图象, x

课 前 自 修
知识梳理
一、反比例函

数 反比例 函数,其定义域为{x|x∈R且x≠0}. 的函数叫做________ 2.反比例函数的图象和性质. (1)图象:双曲线,它们的渐近线是两条坐标轴,对称中心 原点(0,0) . 是__________ (2)性质:当k>0时,函数在区间(??,0)和(0, ??) 上是减
k 1.反比例函数的定义:形如y= (k∈R,k是常数,k≠0) x

(??,0) 和________ (0, ??) 上是增函数. 函数;当k<0时,函数在区间________

二、 幂函数
1.幂函数的定义:形如y=xα(α∈R,α是常数,x是自变量) 的函数叫做幂函数.其特征是以幂的底为自变量,指数为常数,

其定义域随着常数α取值的不同而不同. (1,1) . 2.幂函数的图象都过定点________
在第一象限内为增函数;当α<0时,在第一象限内为减函数,且 以两条坐标轴为渐近线. 第一 象限,一定不会出 4.幂函数的图象一定会出现在________ 四 现在第________ 象限.幂函数的图象最多只能同时出现在 两 ________ 个象限.

3.幂函数y=xα(α为常数)在第一象限内的单调性:当α>0时,

5.作幂函数的图象时,要联系函数的定义域、单调性、奇
偶性等,先作出幂函数在第一象限的图象,然后根据函数的性质 就可作出它在定义域内完整的图象. 6.幂函数图象的分布规律:在直线x=1的右侧,随着幂指 自下向上 分布. 数的由小到大,函数图象__________

,y=x-1中,是奇 y=x,y=x3,y=x-1 ,是偶函数的有________ y=x2 ,定义 函数的有____________________
y=x,y=x2,y=x3 ,定义域是[0,+∞)的有 域是R的有__________________ y=x ,在第一象限内是增函数的有______________________ y=x,y=x2,y=x3, ________
1 2

7.在幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=x 2

1

y=x ,在第一象限内是减函数的有__________ y=x-1 _______ .

1 2

三、“对勾”函数的图象和性质 k ? ? ?x|x∈R且x≠0? 函 数 y = x + x (k>0) 的 定 义 域 为 ? ? ; 值 域 为 ? ? ? ? ?-∞,-2 k? ∪ ?2 k,+∞? ; 奇 偶 性 : 奇 函 数 ; 单 调 性 : 在 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?-∞,- k?,? k,+∞?上是增函数, 在?- k,0?,?0, k?上是减函 ? ? ? ? ? ? ? ? 数(图象如下图所示).

基础自测
1.函数y= x ? 1的图象可看成是由幂函数y=x 的图象
1 2

(

)

A.向左平移1个单位长度得到
B.向右平移1个单位长度得到 C.向上平移1个单位长度得到 D.向下平移1个单位长度得到 解析:y=x = x.故选B.
1 2

答案:B

2.已知幂函数f(x)=xα部分对应值见下表: x
f(x)

1
1

1 2
2 2

则不等式f(|x|)≤2的解集是
A.{x|0<x≤ 2 } B.{x|0≤x≤4} C.{x|- 2 ≤x≤ 2 } D.{x|-4≤x≤4}

(

)

2 1 ?1? 解析:∵f ? ? = ,∴α= .∴f(|x|)≤2 可化为|x| 2 ≤2.∴|x|≤4.∴其 2 2 ?2? 解集为{x|-4≤x≤4}.故选 D. 答案:D

1

3.(2012· 广州市一模)已知幂函数y=(m2-5m+7)

xm -6
2



区间(0,+∞)上单调递增,则实数m的值为________.
2 ? ?m -5m+7=1, 解析: 依题意有? 2 ? ?m -6>0, 2 ? ?m -5m+6=0, 即? ? ?m<- 6或m> 6,

解得 m=3(舍去 m=2). 答案:3

? 1? ?1? 4.幂函数f(x)的图象经过点 ? 2, ? ,则f ? ? 的值为_________. ? 4? ?2?
1 ? 1? 解析:设 f(x)=xα,因为 f(x)的图象经过点 ? 2, ? ,所以 =2α,从而 4 ? 4? ? 1 ? ? 1 ? -2 -2 α=-2,故 f(x)=x ,所以 f ? ? = ? ? =4. ?2? ?2? 答案:4

考 点 探 究
考点一
幂函数的定义
1 【例1】给出下列函数:①y= 3 ;②y=3x-2;③y=x4+ x x2;④y= 3 x 2 ,其中是幂函数的有( )

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个
2

1 - 解析:在所给的四个函数中,只有 y= 3 =x 3,y= 3 x 2 =x 3 符 x 合幂函数的定义,其余两个都不是幂函数.故选 B. 答案:B

变式探究
1? 1. (2012· 湛江二中月考)幂函数f(x)=xα的图象经过点 ? , ? 4, ? 1? 则f ? ? ?的值为 ?4? ?

(

2?

)

A.4

B.3

C.2

D.1

1 1 解析:依题意 =4α,得 α=- , 2 2
?1? ?1? ∴f(x)=x ,f ? ? = ? ? =2.故选 C. ?4? ?4? 答案:C
1 ? 2

?

1 2

考点二

与幂函数相关的基本初等函数概念的应用
已知f(x)=(m2+m)
2 m x -2m-2 ,当m取什么值时,

【例2】

(1)f(x)是正比例函数?(2)f(x)是反比例函数?(3)在第一象限内它
的图象是上升的曲线? 自主解答:

点评:熟悉一些常见的函数的一般形式,并注意系数不为0. 杜绝解题中的遗漏.

解析:(1)由题意得 2 ? ?m -2m-2=1, ? 2 ? ?m +m≠0,
? ?m=-1或m=3, 解得? ? ?m≠0且m≠-1,

∴m=3.

(2)令 m2-2m-2=-1,得 m2-2m-1=0, ∴m1=1+ 2,m2=1- 2. 此时 m2+m≠0,符合题意. 故 m=1+ 2或 m=1- 2. 2 ? ? ?m<-1或m>0, ?m +m>0, ? (3)由题意得 2 ?? ? ? ?m -2m-2>0 ?m>1+ 3或m<1- 3, ∴m<-1 或 m>1+ 3.

变式探究
2.函数f(x)=(m2-m-1) xm -2m-3 是幂函数,且当x∈(0, +∞)时是减函数,则实数m=________.
2

解析:∵函数f(x)是幂函数,∴m2-m-1=1,得m=-1
或m=2.当m=-1时,函数f(x)=1,不符合要求;当m=2 时,函数f(x)=x-3,它在(0,+∞)上是减函数.故m=2.

考点三
3 5

幂函数、指数函数的单调性的运用
(1)比较下列各组中两个数的大小:
3 5

【例 3】
? 2 3

①1.5 ,1.7 ; ③(-1.2) ,(-1.25) .
? 2 3 ? 1 3

②0.71.5,0.61.5;
? 1 3

(2)已知 ? a ? 1? < ? 3 ? 2a ? ,求 a 的取值范围. 思路点拨:利用幂函数、指数函数的性质解题.

解析:(1)①考查幂函数 y=x 的单调性知,在第一象限内函数单 调递增, ∵1.5<1.7,∴1.5 <1.7 . ②考查幂函数 y=x 的单调性,同理可得 0.71.5>0.61.5. ③先将负指数幂化为正指数幂, ∵(-1.2) =1.2 ,(-1.25) 又 1.2 >1.25 ,∴(-1.2)
? 2 3 ? 2 3 ? ? 2 3 ? 2 3 ? 2 3 2 3 3 2 3 5 3 5

3 5

=(1.25) ,
? 2 3

?

2 3

>1.25 .

(2)由函数 y=x 的图象及单调性, a+1>0, a+1<0, ? ? ? ? ? ?3-2a>0, 得?3-2a>0, 或?3-2a<0, 或? ? ?a+1<0, ? ? ?a+1>3-2a ?a+1>3-2a

?

1 3

?2 3? 所以 a 的取值范围是 ? , ? ∪(-∞,-1). ?3 2? 点评:比较幂函数形式的两个数的大小,一般的思路是:(1)若 点评:比较幂函数形式的两个数的大小,一般的思路是: 能化为同指数,则用幂函数的单调性; (2)若能化为同底数,则用指 (1) 若能化为同指数,则用幂函数的单调性; (2)若能化为同底 数函数的单调性; (3)若既不能化为同指数,也不能化为同底数,则 数,则用指数函数的单调性; (3)若既不能化为同指数,也不 需寻找一个恰当的数(比如 1)作为桥梁来比较大小.

能化为同底数,则需寻找一个恰当的数(比如1)作为桥梁来比 较大小.

变式探究
3.(1)(2012· 汕头市质量测评)下列各式中错误的是 ( )

A.0.83>0.73
C.0.75-0.1<0.750.1 (2)若a <a A.a≥1 C.1>a>0
1 2 ? 1 2

B.log0.50.4>log0.50.6
D.lg 1.6>lg 1.4 ( )

,则a的取值范围是 B.a>0 D.1≥a≥0

解析:(1)对于A,由幂函数y=x3为增函数知,A正确;对 于B,D,由对数函数y=log0.5x为减函数,y=lg x为增函数

知,B,D都正确;对于C,由指数函数y=0.75x为减函数,
知C错误. 答案:(1)C (2)C

考点四

反比例函数的图象和性质
1 ? 2m (1)如果y= 是(-∞,0)上的增函数,那么 x

【例4】 m的取值范围是( ) 1 1 1 A.m<0 B.m< C.m≥ D.m> 2 2 2 m + 2 (2)反比例函数y=mx 的图象在( ) A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二、四象限 D.第三、四象限
1 解析:(1)依题意1-2m<0,得m> .故选D. 2

(2)m+2=-1,∴y=-3x-1,其图象在第二、四象限.故 选C.
答案:(1)D (2)C

变式探究
k 4.(1)一次函数y=kx和反比例函数y= 在同一坐标系中的图 x

象可能是(

)

ax ? b (2)已知函数f(x)= ,其图象关于点(-3,2)对称,则f(2) x ?b

的值是______.

解析:(1)选项A中,一次函数和反比例函数中的k都为正数,
选项B,C中的两个k符号相反,选项D中的一次函数不是y=kx. 故选A. 答案:(1)A (2)
1 5

考点五

幂函数与其他知识的综合
? 1? f(x)的图象上,点?-2,4?在幂函 ? ?

【例 5】 若点( 2,2)在幂函数 数 g(x)的图象上, 定义 值以及单调区间.

? ?f?x?,f?x?≤g?x?, h(x)=? ? ?g?x?,f?x?>g?x?,

试求函数 h(x)的最大

解析: 设 f(x)=xa,因为点( 2,2)在幂函数 f(x)的图象上,所 ? 1? ? ?a 2 b ? ? ? 以? 2? =2,∴a=2,即 f(x)=x .又设 g(x)=x ,点 -2,4?在幂函数 ? ? 1 ? ?b - ? = ,∴b=-2,即 g(x)=x 2. - 2 g(x)的图象上,所以? ? ? 4

同一坐标系中画出f(x)=x2和g(x)=x-2的图象,如上图所示,则

-2 ? x ,x<-1或x>1, ? h ( x )= ? 2 ? ?x ,-1≤x<0或0<x≤1,

根据函数的图象可知函数 h(x)

的最大值是 1, 单调递增区间是(-∞, -1), (0,1), 单调递减区间是(- 1,0),(1,+∞). 点评 :本题在两个函数 f(x)和 g(x) 的基础上定义了一个新函数 h(x),函数 h(x)的实质是取 f(x)和 g(x)中的较小者,这类问题借助函数 点评:本题在两个函数f(x)和g(x)的基础上定义了一个 图象来解决,直观形象,其最值和单调区间容易求出,所以要重视数 形结合思想的运用. 新函数h(x),函数h(x)的实质是取f(x)和g(x)中的较小者,这

类问题借助函数图象来解决,直观形象,其最值和单调区间

容易求出,所以要重视数形结合思想的运用.

变式探究
5.已知函数f(x)=xα(0<α<1),对于下列命题: ①若x>1,则f(x)>1;

②若0<x1<x2,则f(x2)-f(x1)>x2-x1;
③若f(x1)>f(x2),则x1>x2; ④若0<x1<x2,则x2f(x1)<x1f(x2); ⑤若0<x1<x2,则
f?x1?+ f?x2? ?x1+x 2? 其中正确的命题序号是 __________ . ? <f? 2
?

.
2
?

解析:由幂函数的定义和性质知,当f(x)=xα(0<α<1)时,幂 函数在第一象限单调递增,所以命题①正确;根据单调递增

函数的定义,当0<x1<x2时,有f(x2)-f(x1)>0,所以命题②错
误;对命题③,根据单调递增函数的定义,函数值大,对应
α f ? x ? x 的自变量也大,因此命题③正确;对命题④,函数 x =x

=xα-1,α-1<0,函数单调递减,故命题④错误;对命题⑤, 函数是凸函数,因此中点的函数值,比两端点的函数和的一 半要大,故命题⑤正确. 答案:①③⑤

课时升华
1.写反比例函数的单调区间时,不能把多个单调区间取并 集.如当k>0时,函数的单调递减区间是(-∞,0)和(0,+∞) ;

当k<0时,函数的单调递增区间是(-∞,0)和(0,+∞) ,值得注
意的是不能写成(-∞,0) ∪(0,+∞) ,但可用逗号分隔开. 2.注意幂函数y=xα(α∈R,α是常数)与指数函数y=ax(a>0 且a≠1)的区别:幂函数是以幂的底为自变量,指数为常数,而指 数函数的底数是常数,自变量则处在幂指数位置.

3.现阶段只研究幂函数y=xα(α∈R,α是常数)中的α是有 理数的情形,且考纲明确要求掌握如下几种特殊的幂函数y=xα: α=1,2,3,-1,-2, ,-
1 2 1 2

的图象及特征.
?x? ? y= ? ? ?

幂函数f(x)=xα具有的性质:f(x· y)=f(x)· f(y),f
f(x) f′(1)=α. f(y)



4.形如y=(x+m)n的函数图象可由y=xn的图象向左(m>0)
1 1 或右(m<0)平移|m|个单位长度得到.如y= 可由函数y= 的 x?2 x

图象向左平移2个单位长度得到.

5.在研究幂函数的性质时,通常将分式指数幂化为根式形 式,负整数指数幂化为分式形式再去进行讨论. 6.对于幂函数y=xα,我们首先应该分析函数的定义域、 值域和奇偶性,由此确定图象的位置,即所在象限.其次确定 曲线的类型,即α<0,0<α<1和α>1三种情况下曲线的基本形 状.还要注意α=0,±1三种曲线的形状.对于幂函数在第一象 限内的图象的大致情况可以用口诀来记忆:“正抛负双,大竖 小横”,即α>0(α≠1)时,图象是抛物线型,α<0时,图象是双 曲线型,α>1时,图象是竖直抛物线型,0<α<1时,图象是横 卧抛物线型. 7.幂函数中既有奇函数,又有偶函数,也存在非奇非偶函 数.

8.利用幂函数和指数函数的单调性可以比较幂值的大小, 具体方法如下: (1)当幂的底数相同,指数不同时,可以利用指数函数的单 调性比较. (2)当幂的底数不同,指数相同时,可以利用幂函数的单调 性比较. (3)当幂的底数和指数都不同时,一种方法是作商,通过商 与1的大小关系确定两个幂值的大小,可以利用幂函数的单调性 比较;另一种方法是运用媒介法,即找到一个中间值(如1),通 过比较两个幂值与中间值的大小,确定两个幂值的大小. (4)比较多个幂值的大小,一般也是运用媒介法,即先判断 这组数中每个幂值与0,1等数的大小关系,据此将它们分成若干 组,然后将同一组内的各数用相关的方法进行比较,最后确定各 数之间的大小关系.

感 悟 高 考
品味高考
1.函数y=x 的图象是
1 3

(

)

1 1 1 1 解析:取 x= ,- ,则 y= ,- ,选项 B,D 符合;取 x=1, 8 8 2 2 则 y=1,选项 B 符合题意.故选 B. 答案:B

2.在平面直角坐标系xOy中,过坐标原点的一条直线与函数f(x)
2 = 的图象交于P,Q两点,则线段PQ长的最小值是 x

______.
? 2? ? 2? 解析:设经过原点的直线与函数的交点为 ?x,x?,?-x,-x?,则 ? ? ? ? ?4?2 4 2 ? ? |PQ|= ?2x? + x ≥4,当且仅当 2x=x,即 x=± 2时取等号. ? ?

答案:4

高考预测
1. (2012· 河南四校联考)已知函数f(x)=x+ m ,x∈(0,+∞)

(m>0),若不等式f(x)<4的解集非空,则
A.m≥4 B.m≥2
x

x

(
D.m<2

)

C.m<4

解析:因为f(x)=x+m ,x∈(0,+∞)(m>0),所以f(x)=x
m + ≥2 x

,即函数f(x)min=2 m
<4m ,解得m<4.故选C.

,若不等式f(x)<4有解, m

则有2 答案:C

2. (2012· 青岛市期末)在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均
为整数的点称为整点,如果函数f(x)的图象恰好通过n(n∈N*) 个整点,则称函数f(x)为n阶整点函数.有下列函数:①f(x)=
1 x+ x
?1? 3 (x>0);②g(x)=x ;③h(x)= ? ? ?3?
x;④φ(x)=ln

x.其 )

中是一阶整点函数的是

(

A.①②③④
C.②④

B.①③④
D.①④

解析:g(x)=x3通过点(1,1),(2,8)等,故不是一阶整点函数;
1?x h(x)= ? ? ? 通过点(-1,3),(-2,9)等,故不是一阶整点函 ?3?

数.故选D.
答案:D


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