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集合函数部分高考题汇总


(2010 年高考广东卷第 1 小题)若集合 A={0,1,2,3} ,B={1,2,4} ,则集合 A A. {0,1,2,3,4} B. {1,2,3,4} C. {1,2} D. {0}

B=( A.)

(2010 年高考广东卷第 8 小题) “ x >0”是“ 3 x2 >0”成立的( A.) A.充分非必要条件 B

.必要非充分条件 C.非充分非必要条件 (2011 年高考广东卷第 2 小题) D.充要条件

2 2 已知集 A ? ( x, y ) x, y为实数,且x ? y ? 1 , B ? ( x, y ) x, y为实数,且x ? y ? 1 , 则

?

?

?

?

A B 的元素个数为(C)

A.4

B.3

C.2 D. 1

(2012 年高考广东卷第 2 小题)2.设集合 U ? ?1, 2,3, 4,5,6? , M ? ?1,3,5? ,则 CU M ? (A) A. ?2,4,6? B. ?1,3,5? C. ?1,2,4? D. U

(2013 年 高 考 广 东 卷 第 1 题 )1 . 已 知 集 合

S ? x x 2 ? 2 x ? 0, x ? R

?

?,

T ? x x 2 ? 2 x ? 0, x ? R
A.{0}

?

? ,则 S

T ?( A )
C.{-2,0} D. {-2,0,2}

B.{0,2}

(2014 年高考广东卷第 1 题)1.已知集合 M ? ?2,3,4?, N ? ?0,2,3,5?,则 M ? N ? ( C ) A. ?3,5? B. ?3,4?

C.

?2,3?

D. ?0,2?

(2014 年高考广东卷)7.在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a, b, c, 则“ a ? b ”是 “ sinA ? sin B ”的( A ) A.充分必要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件 (2010 年高考广东卷第 2 小题)函数 f ( x) ? lg( x ?1) 的定义域是( B) A.(2, ?? ) B.(1, ?? ) C.[1, ?? )
x ?x

D.[2, ?? )
x ?x

(2010 年广东卷第 3 小题)若函数 f ( x) ? 3 ? 3 与 g ( x) ? 3 ? 3 的定义域均为 R , 则 (D ) A. f ( x ) 与 g ( x) 均为偶函数 C. f ( x ) 与 g ( x) 均为奇函数 B. f ( x ) 为奇函数, g ( x) 为偶函数 D. f ( x ) 为偶函数, g ( x) 为奇函数

(2010 年高考广东卷第 20 小题)已知函数 f ( x ) 对任意实数 x 均有 f ( x) ? kf ( x ? 2) ,其中常 数 k 为负数,且 f ( x ) 在区间 ?0, 2? 上有表达式 f ( x) ? x( x ? 2) . (1)求 f (?1) , f (2.5) 的值; (2)写出 f ( x ) 在 ? ?3,3? 上的表达式,并讨论函数 f ( x ) 在 ? ?3,3? 上的单调性;

(3)求出 f ( x ) 在 ? ?3,3? 上的最小值与最大值,并求出相应的自变量的取值. (2011 年高考广东卷第 4 小题)函数 f ( x) ? A. (??, ?1) B. (1, ??)

1 ? lg(1 ? x) 的定义域是 C 1? x
C. (?1,1)

(1, ??)

D. (??, ??)

(2011 年高考广东卷第 10 小题)设 f ( x), g ( x), h( x) 是 R 上的任意实值函数, 如下定义两个函 数( f

g )( x)和( f ? g )( x) : 对任意 x ? R,( f g )( x) ? f ( g ( x));( f ? g )( x) ? f ( x) g ( x),

则下列等式恒成立的是 B

(( f A. (( f C.

g ) ? h)( x) ? (( f ? h) ( g ? h))( x) g ) h)( x) ? (( f h) ( g h))( x)

(( f ? g ) h)( x) ? (( f B.

h) ? ( g h))( x)

(( f ? g ) ? h)( x) ? (( f ? h) ? ( g ? h))( x) D.
-9 .

(2011 年高考广东卷第 12 小题)设函数 f ( x) ? x3 cos x ? 1.若f (a) ? 11, 则f (?a) ? (2012 年高考广东卷第 4 小题)下列函数为偶函数的是(D) A. y ? sin x (2012)函数 y ? B. y ? x3 C. y ? e x D. y ? ln

x2 ? 1

x ?1 的定义域为________________________. [?1,0) ? (0,??) x
y? lg ? x ? 1? x ? 1 的定义域是( C ) ? ?1,1? ?1, ??? ??1,1?
D.

(2013 年高考广东卷)2.函数

A. B. C. (2013 年高考广东卷)21.(本题满分 14 分) 设函数f(x)= x ? kx ? x (k∈R).
3 2

? ?1, ???

??1, ???

?1, ???

(1) 当k=1时,求函数f(x)的单调区间;
(2) 当k<0时,求函数f(x)在[k,-k]上的最小值m和最大值M.

(2014 年高考广东卷)5.下列函数为奇函数的是( D )
2 x A. x ? 2

B. 2cos x ? 1

3 C. x sin x

x D. 2 ?

1 2x

(2014 年高考广东卷)21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? x 2 ? ax ? 1(a ? R) 3

(1) 求函数 f ( x) 的单调区间; (2) 当 a ? 0 时,试讨论是否存在 x0 ? (0, )

1 2

1 1 ( ,1) ,使得 f ( x0 ) ? f ( ) 2 2

(2014)7、解析:本题考查正弦定理的应用。由于

a b ? ? 2 R, 所以 sin A sin B

a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, 所以 a ? b ? 2 R sin A ? 2 R sin B ? sin A ? sin B ,故
“ a ? b ”是 “ sinA ? sin B ”的充要条件,故选答案为 A. (2010)20.解: (1)∵ f ( x) ? kf ( x ? 2) ,且 f ( x) 在区间[0,2]时 f ( x) ? x( x ? 2) ∴ f (?1) ? kf (?1 ? 2) ? kf (1) ? k ? 1 ? (1 ? 2) ? ?k

1 f ( x) k 1 1 3 ∴ f (2.5) ? f (0.5 ? 2) ? f (0.5) ? ? 0.5 ? (0.5 ? 2) ? ? k k 4k
由 f ( x) ? kf ( x ? 2) 得 f ( x ? 2) ? (2)若 x ? [0,2] ,则 x ? 2 ? [2,4]

f ( x ? 2) ?

1 1 1 f ( x) ? x( x ? 2) ? [( x ? 2) ? 2][( x ? 2) ? 4] k k k 1 ∴ 当 x ? [2,4] 时, f ( x ) ? ( x ? 2)( x ? 4) k
∴ f ( x ? 2) ? ( x ? 2)[(x ? 2) ? 2] ? x( x ? 2)

若 x ? [?2,0) ,则 x ? 2 ? [0,2)

∴ f ( x) ? kf ( x ? 2) ? kx( x ? 2) ,若 x ? [?4,?2) ,则 x ? 2 ? [?2,0) ∴ f ( x ? 2) ? k ( x ? 2)[(x ? 2) ? 2] ? k ( x ? 2)(x ? 4) ∴ f ( x) ? kf ( x ? 2) ? k ( x ? 2)(x ? 4)
2

∵(2,3] ? [2,4],[?3,?2) ? [?4,?2)

?k 2 ( x ? 2)(x ? 4), x ? [?3,?2) ? kx( x ? 2), x ? [?2,0) ? ∴ 当 x ? [?3,3] 时, f ( x) ? ? x( x ? 2), x ? [0,2] ? 1 ? ( x ? 2)(x ? 4), x ? (2,3] ? k
2 ∵k ? 0 ,∴ 当 x ? [?3,?2) 时, f ( x) ? k ( x ? 2)(x ? 4) ,由二次函数的图象可知, f ( x) 为

增函数; 当 x ? [?2,0) 时, f ( x) ? kx( x ? 2) ,由二次函数的图象可知, 当 x ? [?2,?1) 时, f ( x) 为增函数,当 x ? [?1,0) 时, f ( x) 为减函数; 当 x ? [0,2] 时, f ( x) ? x( x ? 2) ,由二次函数的图象可知,当 x ? [0,1) 时, f ( x) 为减函

数;当 x ? [1,2] 时, f ( x) 为增函数; 当 x ? (2,3] 时, f ( x ) ?

1 ( x ? 2)( x ? 4) ,由二次函数的图象可知, f ( x) 为增函数。 k

(3)由(2)可知,当 x ? [?3,3] 时,最大值和最小值必在 x ? ?3 或 ? 1,1,3 处取得。 ∵ f (?3) ? ?k 2 , f (?1) ? ?k , f (1) ? ?1 , f (3) ? ? ∴ 当 ? 1 ? k ? 0 时, y max ? f (3) ? ?

1 k

1 , y min ? f (1) ? ?1; k

当 k ? ?1 时, ymax ? f (?1) ? f (3) ? 1, ymin ? f (?3) ? f (1) ? ?1; 当 k ? ?1 时, ymax ? f (?1) ? ?k , ymin ? f (?3) ? ?k 2 .

f x ? x3 ? x2 ? x ( 2013) 21.解: (Ⅰ)当 k ? 1 时, ? ? ,
∵ ∴

2 f ? ? x? ? 3 x ? 2 x? 1 .

? ?? ? 2?
f ? x?

2

? 4 ? 3 ? 1 ? 0

,∴

f ?? x? ? 0

在 R 上恒成立,

在 R 上单调递增.
2 , ? ? 4k ? 12 .

(Ⅱ)

f ? ? x ? ? 3x2 ? 2kx ? 1

f? x ?0 R ① 当 ? ? 0 ,即 ? 3 ? k ? 0 时, ? ? 在 上恒成立,


f ? x?

在?

k , ?k ?

上单调递增,

m ? f ?k ? ? k



M ? f ? ?k ? ? ?2k 3 ? k
x1 ?

.

f? x ?0 ②当 ? ? 0 ,即 k ? ? 3 时,令 ? ? ,可得

k ? k2 ? 3 k ? k2 ? 3 x2 ? 3 3 , ,且

k ? x1 ? x2 ? ?k (可通过作差比较或利用图象).于是 f ? x ? 在 ? k , x1 ? 上单调递增,在 ? x1 , x2 ?
上单调递减, 在? 因为

x2 , ?k ?

上单调递增, 所以

m ? min ? f ? k ? , f ? x2 ?? M ? max? f ? ?k ? , f ? x1 ??
, ,所以
1

.

3 2 2 f ? x2 ? ? f ? k ? ? x2 ? kx2 ? x2 ? k ? ? x2 ? k ? ? x2 ? 1? ? 0

m ? f ?k ? ? k
2

.

因为

f

?? ?x ?f? ? k 1? ?
.

3 1

?x

2 1

? k x? ? x2 1 ??

3 ?

?? ?k

? k

x? k ?? ? 1 ??

?k? 0 k ? x ?2 1 ? ,所以

M ? f ? ?k ? ? ?2k 3 ? k

k , ?k ? m ? f? k f x ? ? k, 最 大 值 综上所述,当 k ?0 时,函数 ? ? 在 ? 上的最小值 M ? f? ? k ?3 k ?k ? ?2 .
2 (2014)21 解析: (1) f ' ( x) ? x ? 2 x ? a . 令 x ? 2 x ? a ? 0
2

当 ? ? 4 ? 4a ? 0 即 a ? 1 时, f ' ( x) ? 0 ,所以 f ( x) 的单增区间为 ?? ?,??? .

2 当 ? ? 0 即 a ? 1 时,x ? 2 x ? a ? 0 有两个不等的根,x1 ?

? 2 ? 4 ? 4a ? ?1 ? 1 ? a , 2

x2 ? ?1 ? 1 ? a
当 x ? ?1 ? 1 ? a , f ' ( x) ? 0, 当 ? 1 ? 1 ? a ? x ? ?1 ? 1 ? a , f ' ( x) ? 0, 当

x ? ?1 ? 1 ? a , f ' ( x) ? 0, 所以 f ( x) 的单增区间为 ? ?,?1 ? 1 ? a 和

?

?

??1 ?

1 ? a ,?? ,单减区间为 ? 1 ? 1 ? a ,?1 ? 1 ? a .

?

?

?

综上所述,当 a ? 1 , f ( x) 的单增区间为 ?? ?,??? .当 a ? 1 , f ( x) 的单增区间为

?? ?,?1 ?

1 ? a 和 ? 1 ? 1 ? a ,?? ,单减区间为 ? 1 ? 1 ? a ,?1 ? 1 ? a ..
? 2 ? 4 ? 4a ? ?1 ? 1 ? a , x2 ? ?1 ? 1 ? a .因为 2

? ?

?

?

?

(2)当 a ? 0 时, ? ? 0 , x1 ?

a ? 0 ,所以 1 ? a ? 1, 所以 x1 ? ?1 ? 1 ? a ? ?2 , x2 ? ?1 ? 1 ? a ? 0 .
由(1)知 f ( x) 在 0,?1 ? 1 ? a 单减,在 ? 1 ? 1 ? a ,?? 单增. 当 ? 1 ? 1 ? a ? 1 即 a ? ?3 时, f ( x) 在 ?0,1? 单减,故不存在 x0 ? (0, )

?

?

?

?

1 2

1 ( ,1) ,使得 2

1 f ( x0 ) ? f ( ) 2
当 ? 1 ? 1 ? a ? 1 即 ? 3 ? a ? 0 , f ( x) 在 0,?1 ? 1 ? a 上单减,在 ? 1 ? 1 ? a ,1 上单 增. 当a ? ?

?

?

?

?

5 1 ? 1? ?1 ? 即 ?1? 1? a ? , 此时 f ( x) 在 ? 0, ? 上单减,在 ? ,1? 上单增.故不存在 4 2 ? 2? ?2 ?

1 1 1 x0 ? (0, ) ( ,1) ,使得 f ( x0 ) ? f ( ) 2 2 2
当?

5 1 1 31 a 2 31 a 31 ? a ? 0 时,此时 ? 1 ? 1 ? a ? ,f ( ) ? ? ,所以 ? ? ? ,而 4 2 2 24 2 3 24 2 24

f ( 0) ? 1 ?

2 1 ? 1? ,所以存在 x0 ? 0,?1 ? 1 ? a ? ? 0, ? 使得 f ( x0 ) ? f ( ) 3 2 . ? 2? 5 1 ? 1? 时,存在 x0 ? 0,?1 ? 1 ? a ? ? 0, ? ,使得 f ( x0 ) ? f ( ) 4 2 . ? 2?

?

?

?3? a ? ?

?

?

当?3 ? a ? ?

5 1 时,此时 ? 1 ? 1 ? a ? , 4 2

1 31 a 5 31 a 2 8 2 8 17 f( )? ? ,所以 ? ? ? ? ,而 f (1) ? ? a , ? ? a ? 即 2 24 2 24 24 2 3 3 3 3 12
2 17 1 ?1 ? ? f (1) ? ,所以存在 x0 ? ? 1 ? 1 ? a ,1 ? ? ,1? 使得 f ( x0 ) ? f ( ) 3 12 2 . ?2 ?
当 a ? ?3 或 a ? ? 综上所述:

?

?

5 1 1 1 时,不存在 x0 ? (0, ) ( ,1) ,使得 f ( x0 ) ? f ( ) 4 2 2 2 ,当

?3? a ? ?

5 5 1 1 1 或 ? ? a ? 0 时,存在 x0 ? (0, ) ( ,1) ,使得 f ( x0 ) ? f ( ) 4 4 2 2 2 .


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