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2011年广州市第四中学高三综合测试(三)理科数学试题


2011 年广州市第四中学高三综合测试(三)



学(理科)
2011.5

本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知复数 z ? a ? bi 的共轭复数为 a ? bi ( a、b ? R , i 是虚数单位) ,记作 z ? a ? bi , 若 z ? 1 ? i ,则 z ? z ? ( A.0 B.1 ) C. ?1 D.2

2.已知向量 a ? ? 2, 3?, b ? ? x,? ,若 a // b ,则 a ? b ? ( ? 6 A. 5 B. 13 C. 5 D.13

?

?

? ?

? ?



2 3.集合 A ? x | x ? x ? 1? ? 0 ,B ? x | 2 x ? x ? 1≥ 0 ,则 A ? ?R B ? (

?

?

?

?

?

?



A. ? ? ,? 0

? 1 ? ? 2 ?

B. ? ?1 0? ,

C. ? ?1 ? ,

? ?

1? ? 2?

D. ? ?1 ? ? , 2

? ?

1? ?

4.下列命题说法错误的是(



2 2 2 2 A.命题“若 a ? b ,则 ac ? bc ”的否命题为:“若 a≤ b ,则 ac ≤bc ” 2 2 B.“ a ? b ”是“ ac ? bc ”的必要条件

C.对于命题 p、 q ,若 p ? q 为假命题,则命题 p、 q 至少有一个为假命题 D.对于命题 p :"?x ?R ,使得 x ? x ? 1 ? 0" ,则 ?p :"?x ?R ,均有 x ? x ? 1 ? 0"
2 2

5.等差数列 ?an ? 满足: a4 ? 2a6 ? a8 ? 12 ,则 ?an ? 的前 11 项和为( A.11 B.22 C. 33 D.44



6.将三棱锥 P-ABC 的 6 条棱涂上 3 种不同的颜色,要求共端点的棱不能涂相同的颜色,则 不同的涂色方案有( ) A.1 种 B.3 种 C. 6 种 D.9 种

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7.定义行列式运算:

a1 a3

a2 a4

? a1a4 ? a2 a3 .将函数 f ? x ? ?

1 sinx 的图象向左平移 1 cosx


m ? m ? 0? 个单位,所得图象对应的函数为偶函数,则 m 的最小值为(
A.

3? 4

B.

? 4
2

C.

? 2

D.

3? 2

8.已知实系数一元二次方程 x ? ax ? 2b ? 0 一个根在区间 ? 0, 内,另一个根在区间 ?1 2 ? , 1? 内,则 ? a ? 1? ? ? b ? 1? 的值域为(
2 2

) C. ?1 4 ? , D. ?1 2 ? ,

A. ?

?2 5 ? 2? ? 5 ,? ? ?

B. ? ,? 4

?4 ?5

? ?

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题)
2 9.已知随机变量 ? 服从正态分布 N 0,? ,若 P ?? ? 2? ? 0.023 ,

?

?

则 P ? ?2≤?≤2? ?



10.双曲线 9 x ? 16 y ? 1 的焦距为
2 2



11.△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,若 c ? 3,C ? 则b ? ; sin B ?
n

?
3

,a ? 2b ,



?2 ? 8 12.已知二项式 ? ? x ? 的展开式中,只有第 6 项的二项式系数最大,则展开式的 x 的系 ?x ?
数为 .

13.如图,正方形的边长为 2,以正方形中心为顶点,且分别过正方形的相邻两顶点的四条 抛物线围成了图中的阴影区域, 随机向正方形内投入一点, 则该点恰落在阴影区域内的概率 为 .

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(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (几何证明选讲选做题)如图,在△ABC 的边 AB 的延长线上取一点 D,使得 DC 恰好 与△ABC 的外接圆相切,C 为切点,若 AB=5,BC=3,CD=6,则 AC= .

15.坐标系与参数方程选做题) ( 已知曲线 C 的极坐标方程为: ? ? 4cos? ,以极点为坐标原点,极轴为 x 轴的正半轴,建 立平面直角坐标系.已知直线 l 的参数方程为: ? 的线段长为 2,则 k 的值为 .

?x ? t ? t为参数? ,若直线 l 被曲线 C 所截 ? y ? kt

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? 3 sin 2 x ? 2sin 2 x . (1)求 f ? x ? 的最小正周期; (2)求 f ? x ? 的单调区间,并求 f ? x ? 在区间 ? ?

? ? ?? , 上的最值. ? 6 3? ?

17. (本小题满分 12 分) 一个袋子中有 10 件产品,其中 7 件是合格品,3 件是次品. (1)现从这 10 件产品中任取 3 件,求取出的 3 件产品中恰好有 2 件次品的概率; (2)现从这 10 件产品中一件一件地抽取产品,且每次抽取产品之后都放回袋中.共抽取 3 ... 次,设 3 次共抽取到的次品数为 ? ,求 ? 的数学期望 E? ; (3)现从这 10 件产品中一件一件地抽取产品,且每次抽取产品之后都不放回袋中. .... 若取到合格品,则停止抽取;若取到次品,则继续抽取,且最多抽取 3 次.求抽取次数 X 的 分布列.

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18. (本小题满分 14 分) 四棱锥 F-ABCD 的直观图如图,底面 ABCD 是菱形,其对角线 AC=2,BD= 2 ,CF 与平 面 ABCD 垂直,且 CF=2. (1)求四棱锥 F-ABCD 的体积,并在答卷的指定区域画出四棱锥 F-ABCD 的俯视图; (2)求二面角 B-AF-D 的大小.

19. (本小题满分 14 分) 设函数 f ? x ? ? 方程为 y ? 1 . (1)求 b、c 的值; (2)若过点 ? 0,? 可作曲线 y ? f ? x ? 的三条不同切线,求 a 的取值范围. 2

x3 a 2 ? x ? bx ? c ,其中 a ? 0 ,曲线 y ? f ? x ? 在点 P ? 0,f ? 0? ? 处的切线 3 2

20. (本小题满分 14 分)

设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,对任意的正整数 n ,都有 an ? 5Sn ? 1 成立. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)记 bn ?

4 ? an ? n ? N* ? ,设数列 ?bn? 的前 n 项和为 Tn ,证明 Tn ? 4n . 1 ? an

21. (本小题满分 14 分)

x2 y 2 6 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的离心率为 ,短轴一个端点到右焦点的距离为 3 . 2 a b 3 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;
已知椭圆 C : (Ⅱ)设直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点,坐标原点 O 到直线 l 的距离为 积的最大值.

3 ,求 △ AOB 面 2

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