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【创新方案】2015高考数学(理)一轮复习配套文档:第10章 第4节 随机事件的概率


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第四节
【考纲下载】

随机事件的概率

1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率意义以及频率与概率的区 别. 2.了解两个互斥事件的概率加法公式.

1.事件的分类

2.频率和概率 (1)在相同的条件 S 下重复 n 次实验

,观察某一事件 A 是否出现,称 n 次试验中事件 A nA 出现的次数 nA 为事件 A 出现的频数,称事件 A 出现的比例 fn(A)= 为事件 A 出现的频率. n (2)对于给定的随机事件 A,如果随着试验次数的增加,事件 A 发生的频率 fn(A)稳定在 某个常数上,把这个常数记作 P(A),称为事件 A 的概率,简称为 A 的概率. 3.事件的关系与运算 定义 包含 关系 相等 关系 并事件 (和事件) 如果事件 A 发生,则事件 B 一定发生,这时称事件 B 包含事 件 A(或称事件 A 包含于事件 B) 符号表示 B?A(或 A? B)

若 B?A 且 A?B,那么称事件 A 与事件 B 相等

A=B

若某事件发生当且仅当事件 A 发生或事件 B 发生, 称此事件 为事件 A 与事件 B 的并事件(或和事件)

A∪B(或 A+ B)

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交事件 (积事件) 互斥事件 对立 事件

若某事件发生当且仅当事件 A 发生且事件 B 发生, 则称此事 件为事件 A 与事件 B 的交事件(或积事件) 若 A∩B 为不可能事件,那么事件 A 与事件 B 互斥 若 A∩B 为不可能事件,A∪B 为必然事件,那么称事件 A 与 事件 B 互为对立事件

A∩B(或 AB) A∩B=? A∩B=?且 A ∪B=U

4.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围:[0,1]. (2)必然事件的概率 P(E)=1. (3)不可能事件的概率 P(F)=0. (4)概率的加法公式 如果事件 A 与事件 B 互斥,则 P(A∪B)=P(A)+P(B). 若事件 A 与 B 互为对立事件,则 A∪B 为必然事件.P(A∪B)=1,P(A)=1-P(B).

1.概率和频率有什么区别和联系? 提示:频率随着试验次数的变化而变化,概率却是一个常数,它是频率的科学抽象.当 试验次数越来越大时,频率也越来越向概率接近,只要次数足够多,所得频率就近似地看作 随机事件的概率. 2.互斥事件和对立事件有什么区别和联系? 提示:互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的.在一次试验中,两个互斥事件有 可能都不发生,也可能有一个发生;而对立事件则是必有一个发生,但不能同时发生.所以 两个事件互斥但未必对立;反之两个事件对立则它们一定互斥.

1.下列事件中,随机事件的个数为(

)

①物体在只受重力的作用下会自由下落; ②方程 x2+2x+8=0 有两个实根; ③某信息台每天的某段时间收到信息咨询的请求次数超过 10 次; ④下周六会下雨. A.1 B.2 C.3 D.4

解析:选 B ①为必然事件,②为不可能事件,③④为随机事件. 2.(教材习题改编)从装有 5 个红球和 3 个白球的口袋内任取 3 个球,那么互斥而不对 立的事件是( )

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A.至少有一个红球与都是红球 B.至少有一个红球与都是白球 C.至少有一个红球与至少有一个白球 D.恰有一个红球与恰有两个红球 解析:选 D 对于 A 中的两个事件不互斥,对于 B 中的两个事件互斥且对立,对于 C 中的两个事件不互斥,对于 D 中的两个事件互斥而不对立. 3.从某班学生中任意找出一人,如果该同学的身高小于 160 cm 的概率为 0.2,该同学 的身高在[160,175]的概率为 0.5,那么该同学的身高超过 175 cm 的概率为( A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8 )

解析:选 B 由对立事件的概率可求该同学的身高超过 175 cm 的概率为 1-0.2-0.5 =0.3. 1 1 4. 甲、 乙两人下棋, 两人和棋的概率是 , 乙获胜的概率是 , 则乙不输的概率是________. 2 3 1 1 5 解析:乙不输的事件为两人和棋或乙获胜,因此乙不输的概率为 + = . 2 3 6 5 答案: 6 5.给出下列三个命题: ①有一大批产品,已知次品率为 10%,从中任取 100 件,必有 10 件是次品; 3 ②做 7 次抛硬币的试验,结果 3 次出现正面,因此正面出现的概率是 ; 7 ③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率. 其中错误的命题有________个. 3 解析:①错,不一定是 10 件次品;②错, 是频率而非概率;③错,频率不等于概率, 7 这是两个不同的概念. 答案:3

考点一

随机事件的关系

[例 1] (1)一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字 1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上 抛掷 1 次,设事件 A 表示“向上的一面出现奇数点”,事件 B 表示“向上的一面出现的数 不超过 3”,事件 C 表示“向上的一面出现的点数不小于 4”,则( A.A 与 B 是互斥而非对立事件 )

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B.A 与 B 是对立事件 C.B 与 C 是互斥而非对立事件 D.B 与 C 是对立事件 (2)判断下列给出的每对事件是互斥事件还是对立事件, 并说明理由. 从 40 张扑克牌(红 桃、黑桃、方块、梅花各 10 张,且点数都为 1~10)中,任取一张. ①“抽出红桃”与“抽出黑桃”; ②“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”; ③“抽出的牌点数为 5 的倍数”与“抽出的牌点数大于 9”. [自主解答] (1)A∩B={出现点数 1 或 3},事件 A,B 不互斥更不对立;B∩C=?,B ∪C=Ω(Ω 为所有基本事件的全集),故事件 B、C 是对立事件. (2)①是互斥事件,不是对立事件. 原因:从 40 张扑克牌中任意抽取 1 张,“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发 生的, 所以是互斥事件, 但是, 不能保证其中必有一个发生, 这是由于还有可能抽出“方块” 或者“梅花”,因此,二者不是对立事件. ②既是互斥事件,又是对立事件. 原因:从 40 张扑克牌中任意抽取 1 张,“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”是不可能同 时发生的,且其中必有一个发生,所以它们既是互斥事件,又是对立事件. ③不是互斥事件,也不是对立事件. 原因:从 40 张扑克牌中任意抽取 1 张,“抽出的牌点数为 5 的倍数”与“抽出的牌点 数大于 9”这两个事件可能同时发生,如抽得牌点数为 10,因此,二者不是互斥事件,当然 不可能是对立事件. [答案] (1)D 【方法规律】 1.互斥事件的理解 (1)互斥事件研究的是两个事件之间的关系. (2)所研究的两个事件是在一次试验中所涉及的. (3)两个事件互斥是从“试验的结果不能同时出现”来确定的. 2.从集合的角度理解互斥事件和对立事件 (1)几个事件彼此互斥,是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集. - (2)事件 A 的对立事件 A 所含的结果组成的集合,是全集中由事件 A 所含的结果组成的 集合的补集.

从装有 5 只红球, 5 只白球的袋中任意取出 3 只球, 判断下列每对事件是否为互斥事件, 是否为对立事件:
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(1)“取出 2 只红球和 1 只白球”与“取出 1 只红球和 2 只白球”; (2)“取出 2 只红球和 1 只白球”与“取出 3 只红球”; (3)“取出 3 只红球”与“取出 3 只球中至少有 1 只白球”; (4)“取出 3 只红球”与“取出 3 只球中至少有 1 只红球”. 解:任取 3 只球,共有以下 4 种可能结果:“3 只红球”,“2 只红球 1 只白球”,“1 只红球 2 只白球”,“3 只白球”. (1)“取出 2 只红球和 1 只白球”与“取出 1 只红球和 2 只白球”不可能同时发生,是 互斥事件,但有可能两个都不发生,故不是对立事件. (2)“取出 2 只红球 1 只白球”,与“取出 3 只红球”不可能同时发生,是互斥事件, 可能同时不发生,故不是对立事件. (3)“取出 3 只红球”与“取出 3 只球中至少有一只白球”不可能同时发生, 故互斥. 其 中必有一个发生,故对立. (4)“取出 3 只红球”与“取出 3 只球中至少有 1 只红球”可能同时发生,故不是互斥 事件,也不可能是对立事件.

高频考点

考点二

随机事件的频率与概率

1.随机事件的频率与概率有着一定的联系,在统计学中,可通过计算事件发生的频率 去估算事件的概率,因此,它们也成为近几年高考的命题热点.多以解答题的形式出现,有 时也会以选择、填空题的形式出现.多为容易题或中档题. 2.高考对该部分内容的考查主要有以下几个命题角度: (1)列出频率分布表; (2)由频率估计概率; (3)由频率计算某部分的数量. [例 2] (2013· 湖南高考)某人在如图所示的直角边长为 4 米的三角形地块的每个格点(指 纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经 验,一株该种作物的年收获量 Y(单位:kg)与它的“相近”作物株数 X 之间的关系如下表所 示:

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X Y

1 51

2 48

3 45

4 42

这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过 1 米. (1)完成下表,并求所种作物的平均年收获量; Y 频数 51 48 4 45 42

(2)在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量至少为 48 kg 的概率. [自主解答] (1)所种作物的总株数为 1+2+3+4+5=15,其中“相近”作物株数为 1 的作物有 2 株,“相近”作物株数为 2 的作物有 4 株,“相近”作物株数为 3 的作物有 6 株,“相近”作物株数为 4 的作物有 3 株.列表如下: Y 频数 所种作物的平均年收获量为 51×2+48×4+45×6+42×3 102+192+270+126 = =46. 15 15 2 4 (2)由(1)知,P(Y=51)= ,P(Y=48)= . 15 15 故在所种作物中随机选取一株,它的年收获量至少为 48 kg 的概率为 P(Y≥48)=P(Y= 2 4 2 51)+P(Y=48)= + = . 15 15 5 【互动探究】 若本例中的条件不变,试估计年收获量介于[42,48]之间的可能性. 解:依题意知: 法一:P(42≤x≤48)=P(x=42)+P(x=45)+P(x=48) = 3 6 4 13 + + = . 15 15 15 15 51 2 48 4 45 6 42 3

2 13 法二:P(42≤x≤48)=1-P(x=51)=1- = . 15 15

随机事件的频率与概率的常见类型及解题策略 (1)补全或写出频率分布表.可直接依据已知条件,逐一计数,写出频率. (2)由频率估计概率.可以根据频率与概率的关系,由频率直接估计概率. (3)由频率估计某部分的数值.可由频率估计概率,再由概率估算某部分的数值.

某射击运动员进行双向飞碟射击训练,各次训练的成绩如下表:
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射击次数 击中飞碟数 击中飞碟的频率

100 81

120 95

150 123

100 82

150 119

160 127

150 121

(1)将各次击中飞碟的频率填入表中; (2)这个运动员击中飞碟的概率约为多少? 解:利用频率公式依次计算出击中飞碟的频率. 81 (1)射击次数 100,击中飞碟数是 81,故击中飞碟的频率是 =0.81,同理可求得下面 100 的频率依次是 0.792,0.82,0.82,0.793,0.794,0.807; (2)击中飞碟的频率稳定在 0.81,故这个运动员击中飞碟的概率约为 0.81.

考点三

互斥事件、对立事件的概率

[例 3] (2013· 洛阳模拟)经统计, 在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如 下: 排队人数 概率 0 0.1 1 0.16 2 0.3 3 0.3 4 0.1 5 人及 5 人以上 0.04

求:(1)至多 2 人排队等候的概率是多少? (2)至少 3 人排队等候的概率是多少? [自主解答] 记“无人排队等候”为事件 A,“1 人排队等候”为事件 B,“2 人排队等 候”为事件 C,“3 人排队等候”为事件 D,“4 人排队等候”为事件 E,“5 人及 5 人以上 排队等候”为事件 F,则事件 A、B、C、D、E、F 互斥. (1)记“至多 2 人排队等候”为事件 G,则 G=A∪B∪C, 所以 P(G)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56. (2)法一:记“至少 3 人排队等候”为事件 H,则 H=D∪E∪F, 所以 P(H)=P(D∪E∪F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44. 法二: 记“至少 3 人排队等候”为事件 H, 则其对立事件为事件 G, 所以 P(H)=1-P(G) =0.44.

【方法规律】 求复杂互斥事件概率的两种方法 (1)直接求法:将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和,运用互斥事件概率的加法 公式计算.

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(2)间接求法:先求此事件的对立事件,再用公式 P(A)=1-P( A )求得,即运用逆向思 维(正难则反),特别是“至多”“至少”型题目,用间接求法就会较简便. 提醒:应用互斥事件概率的加法公式,一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥,然 后求出各事件发生的概率,再求和(或差).

某商场有奖销售活动中,购满 100 元商品得 1 张奖券,多购多得.1 000 张奖券为一个开 奖单位,设特等奖 1 个,一等奖 10 个,二等奖 50 个.设 1 张奖券中特等奖、一等奖、二等 奖的事件分别为 A、B、C,求: (1)P(A),P(B),P(C); (2)1 张奖券的中奖概率; (3)1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率. 1 10 1 50 1 解:(1)P(A)= ,P(B)= = ,P(C)= = . 1 000 1 000 100 1 000 20 故事件 A,B,C 的概率分别为 1 1 1 , , . 1 000 100 20

(2)1 张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖.设“1 张奖券中奖”这个事件为 M, 则 M=A∪B∪C. 1+10+50 61 ∵A、B、C 两两互斥,∴P(M)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)= = . 1 000 1 000 故 1 张奖券的中奖概率为 61 . 1 000

(3)设“1 张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件 N, 则事件 N 与“1 张奖券中特等奖 1 1 ? 989 或中一等奖”为对立事件,∴P(N)=1-P(A∪B)=1-? ?1 000+100?=1 000. 989 故 1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为 . 1 000 ———————————[ 课 堂 归 纳 —— 通 法 领

悟]———————————————— ?1 个难点——对频率和概率的理解 (1)依据定义求一个随机事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验,用事件发生的 频率近似地作为它的概率,但是,某一事件的概率是一个常数,而频率随着试验次数的变化 而变化. (2)概率意义下的“可能性”是大量随机事件现象的客观规律,与我们日常所说的“可 能”“估计”是不同的.也就是说,单独一次结果的不确定性与积累结果的有规律性,才是 概率意义下的“可能性”,事件 A 的概率是事件 A 的本质属性. ?1 个重点——对互斥事件与对立事件的理解

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(1)对于互斥事件要抓住如下特征进行理解: ①互斥事件研究的是两个事件之间的关系; ②所研究的两个事件是在一次试验中涉及的; ③两个事件互斥是从试验的结果中不能同时出现来确定的. (2)对立事件是互斥事件的一种特殊情况,是指在一次试验中有且只有一个发生的两个 事件,集合 A 的对立事件记作 A .从集合的角度来看,事件 A 所含结果的集合正是全集 U 中由事件 A 所含结果组成的集合的补集,即 A∪ A =U,A∩ A =?.对立事件一定是互斥事 件,但互斥事件不一定是对立事件.

易误警示(十三) 忽视概率加法公式的应用条件致误

[典例] 抛掷一枚质地均匀的骰子,向上的一面出现 1 点,2 点,3 点,4 点,5 点,6 1 点的概率都是 ,记事件 A 为“出现奇数点”,事件 B 为“向上的点数不超过 3”,求 P(A 6 ∪B). [解题指导] 由于 A∪B 中会有出现点数为 1 点,2 点,3 点,5 点四个互斥事件.因此, 可用概率加法公式. [解] 记事件“出现 1 点”“出现 2 点”“出现 3 点”“出现 5 点”分别为 A1, A2, A3, A4,由题意知这四个事件彼此互斥. 1 1 1 1 2 故 P(A∪B)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4)= + + + = . 6 6 6 6 3 [名师点评] 1.如果审题不仔细,未对 A∪B 事件作出正确判断,误认为 P(A∪B)=P(A) +P(B),则易出现 P(A∪B)=1 的错误. 2.解决互斥事件的有关问题时,应重点注意以下两点: (1)应用加法公式时,一定要注意其前提条件是涉及的事件是互斥事件. (2)对于事件 P(A∪B)≤P(A)+P(B),只有当 A、B 互斥时,等号成立.

[全盘巩固] 1.给出以下结论: ①互斥事件一定对立;
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②对立事件一定互斥; ③互斥事件不一定对立; ④事件 A 与 B 的和事件的概率一定大于事件 A 的概率; ⑤事件 A 与 B 互斥,则有 P(A)=1-P(B). 其中正确命题的个数为( A.0 B.1 ) C .2 D.3

解析:选 C 对立必互斥,互斥不一定对立,所以②③正确,①错;又当 A∪B=A 时, P(A∪B)=P(A),所以④错;只有 A 与 B 为对立事件时,才有 P(A)=1-P(B),所以⑤错. 2.从存放号码分别为 1,2,3,?,10 的卡片的盒子中,有放回地取 100 次,每次取一张 卡片并记下号码,统计结果如下: 卡片号码 取到次数 1 13 2 8 3 5 4 7 ) D.0.37 5 6 6 13 7 18 8 10 9 11 10 9

则取到号码为奇数的卡片的频率是( A.0.53 B.0.5 C.0.47

解析:选 A 取到号码为奇数的卡片的次数为:13+5+6+18+11=53,则所求的频率 53 为 =0.53. 100 3.某种产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品,在正常生产情况下,出现 乙级品和丙级品的概率分别是 5%和 3%,则抽检一件产品是正品(甲级品)的概率为( A.0.95 B.0.97 C.0.92 D.0.08 )

解析:选 C 记“抽检一件产品是甲级品”为事件 A,“抽检一件产品是乙级品”为事 件 B,“抽检一件产品是丙级品”为事件 C,这三个事件彼此互斥,因而抽检一件产品是正 品(甲级品)的概率为 P(A)=1-P(B)-P(C)=1-5%-3%=92%=0.92. 4.从 16 个同类产品(其中有 14 个正品,2 个次品)中任意抽取 3 个,下列事件中概率为 1 的是( )

A.三个都是正品 B.三个都是次品 C.三个中至少有一个是正品 D.三个中至少有一个是次品 解析:选 C 16 个同类产品中,只有 2 件次品,抽取三件产品,A 是随机事件,B 是 不可能事件,C 是必然事件,D 是随机事件,又必然事件的概率为 1,故 C 正确. 5. 从某校高二年级的所有学生中, 随机抽取 20 人, 测得他们的身高(单位: cm)分别为: 162 151 153 148 154 165 168 172 171 152 160 165 164 179 149 158 173 150 159 175

根据样本频率分布估计总体分布的原理, 在该校高二年级的所有学生中任抽一人, 估计
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该生的身高在 155.5 cm~170.5 cm 之间的概率为( 2 A. 5 1 B. 2 2 C. 3 1 D. 3

)

解析:选 A 从已知数据可以看出,在随机抽取的这 20 位学生中,身高在 155.5 cm~ 2 170.5 cm 之间的学生有 8 人,频率为 ,故可估计在该校高二年级的所有学生中任抽一人, 5 2 其身高在 155.5 cm~170.5 cm 之间的概率为 . 5 6. (2013· 舟山模拟)在一次随机试验中, 彼此互斥的事件 A、 B、 C、 D 的概率分别为 0.2、 0.2、0.3、0.3,则下列说法正确的是( )

A.A+B 与 C 是互斥事件,也是对立事件 B.B+C 与 D 是互斥事件,也是对立事件 C.A+C 与 B+D 是互斥事件,但不是对立事件 D.A 与 B+C+D 是互斥事件,也是对立事件 解析:选 D 因为 P(A)=0.2,P(B)=0.2,P(C)=0.3,P(D)=0.3,且 P(A)+P(B)+P(C) +P(D)=1,所以 A 与 B+C+D 是互斥,也是对立事件. 7.一个袋子中有红球 5 个,黑球 4 个,现从中任取 5 个球,则至少有 1 个红球的概率 为________. 解析:“从中任取 5 个球,至少有 1 个红球”是必然事件,必然事件发生的概率为 1. 答案:1 8.抛掷一粒骰子,观察掷出的点数,设事件 A 为“出现奇数点”,事件 B 为“出现 2 1 1 点”,已知 P(A)= ,P(B)= ,则出现奇数点或 2 点的概率为________. 2 6 解析: 由题意知“出现奇数点”的概率是事件 A 的概率, “出现 2 点”的概率是事件 B 1 1 2 的概率,事件 A,B 互斥,则“出现奇数点或 2 点”的概率为 P(A)+P(B)= + = . 2 6 3 2 答案: 3 9.甲、乙两颗卫星同时监测台风,在同一时刻,甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率 分别为 0.8 和 0.75,则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为________. 解析:P=1-0.2×0.25=0.95. 答案:0.95 10.假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等,为了解他们的使用寿 命,现从这两种品牌的产品中分别随机抽取 100 个进行测试,结果统计如下:

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(1)估计甲品牌产品寿命小于 200 小时的概率; (2)这两种品牌产品中,某个产品已使用了 200 小时,试估计该产品是甲品牌的概率. 5+20 1 解:(1)甲品牌产品寿命小于 200 小时的频率为 = ,用频率估计概率,可得甲品 100 4 1 牌产品寿命小于 200 小时的概率为 . 4 (2)根据频数分布图可得寿命大于 200 小时的两种品牌产品共有 75+70=145(个),其中 75 15 甲品牌产品有 75 个,所以在样本中,寿命大于 200 小时的产品是甲品牌的频率是 = , 145 29 15 用频率估计概率,所以已使用了 200 小时的该产品是甲品牌的概率为 . 29 11. (2014· 通化模拟)有 A、B、C、D、E 五位工人参加技能竞赛培训.现分别从 A、B 二 人在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取 8 次.用如图所示茎叶图表示这两组数据.

(1)A、B 二人预赛成绩的中位数分别是多少? (2)现要从 A、B 中选派一人参加技能竞赛,从平均状况和方差的角度考虑,你认为派哪 位工人参加合适?请说明理由; (3)若从参加培训的 5 位工人中选 2 人参加技能竞赛,求 A、B 二人中至少有一人参加技 能竞赛的概率. 83+85 84+82 解:(1)A 的中位数是 =84,B 的中位数是 =83. 2 2 (2)派 A 参加比较合适.理由如下: 1 x A= (75+80+80+83+85+90+92+95)=85, 8 1 x B= (73+79+81+82+84+88+95+98)=85, 8 1 2 2 2 2 2 2 2 s2 A = [(75 - 85) + (80 - 85) + (80 - 85) + (83 - 85) + (85 - 85) + (90 - 85) + (92 - 85) 8
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+(95-85)2]=41, 1 2 2 2 2 2 2 2 s2 B = [(73 - 85) + (79 - 85) + (81 - 85) + (82 - 85) + (84 - 85) + (88 - 85) + (95 - 85) 8 +(98-85)2]=60.5.
2 ∵ x A= x B,s2 A<sB∴A 的成绩较稳定,派 A 参加比较合适.

(3)任派两个(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C, E),(D,E)共 10 种情况;A、B 两人都不参加有(C,D),(C,E),(D,E)3 种. 3 7 至少有一个参加的对立事件是两个都不参加,所以 P=1- = . 10 10 12.(2012· 北京高考)近年来,某市为了促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余 垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱.为调查居民生活垃圾分类投 放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计 1 000 吨的生活垃圾,数据统计如下(单位: 吨). “厨余垃圾” 箱 厨余垃圾 可回收物 其他垃圾 400 30 20 “可回收物” 箱 100 240 20 “其他垃圾” 箱 100 30 60

(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率; (2)试估计生活垃圾投放错误的概率; (3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别 为 a,b,c,其中 a>0,a+b+c=600.当数据 a,b,c 的方差 s2 最大时,写出 a,b,c 的 值(结论不要求证明),并求此时 s2 的值. 1 - - - - 注:s2= [(x1- x )2+(x2- x )2+?+(xn- x )2],其中 x 为数据 x1,x2,?,xn 的平均数 n 解:(1)厨余垃圾投放正确的概率约为 “厨余垃圾”箱里厨余垃圾量 400 2 = = . 厨余垃圾总量 400+100+100 3 (2)设生活垃圾投放错误为事件 A,则事件 A 表示生活垃圾投放正确. 事件 A 的概率约为 “厨余垃圾 ”箱里厨余垃圾量、 “可回收物” 箱里可回收物量与 “其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量,即 P( A )≈ 所以 P(A)≈1-0.7=0.3. (3)当 a=600,b=c=0 时,s2 取得最大值. 400+240+60 =0.7, 1 000

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1 - 1 因为 x = (a+b+c)=200,所以 s2= [(600-200)2+(0-200)2+(0-200)2] 3 3 =80 000. [冲击名校] 1 袋中有红球、黑球、黄球、绿球若干,从中任取一球,得到红球的概率为 ,得到黑球 3 5 5 或黄球的概率为 ,得到黄球或绿球的概率为 ,求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率 12 12 分别是多少? 解:记“得到红球”为事件 A,“得到黑球”为事件 B,“得到黄球”为事件 C,“得 到绿球”为事件 D,事件 A,B,C,D 显然彼此互斥,则由题意可知, 1 P(A)= ,① 3 5 P(B∪C)=P(B)+P(C)= ,② 12 5 P(C∪D)=P(C)+P(D)= ,③ 12 由事件 A 和事件 B∪C∪D 是对立事件可得 P(A)=1-P(B∪C∪D)=1-[P(B)+P(C)+P(D)], 1 2 即 P(B)+P(C)+P(D)=1-P(A)=1- = ,④ 3 3 1 1 1 ②③④联立可得 P(B)= ,P(C)= ,P(D)= . 4 6 4 1 1 1 即得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是 , , . 4 6 4

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