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2014年华约自主招生能力测试数学试题(纯word版,含详细答案)


2014 年高水平大学自主选拔学业能力测试 数学与逻辑(华约) 一、 (本小题满分 10 分) x1 , x2 , x3 , x4 , x5 为五个正整数, 任取四个其和组成的集合为 ?44, 45, 46, 47? , 求 x( …, 2, i i ? 1, . 5) 【解析】记 S ? ?x i ?1 5 i , 若 x1 , x2 , x3 , x4 , x5两 两 不 等 , 那 么 对 ?i, j ? ?1, 2,3, 4,5? ?i ? j ? 都 有 S ? xi ? S ? x j ,这样 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 任取四个数求和一共有 5 个不同的值,这与条件矛盾。于是 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 中必有两个数相等,据对称性,不妨设 x1 ? x2 ? a , x3 ? b , x4 ? c , x5 ? d ,则 问 题 变 为 对 正 整 数 a, b, , c, 集 d 合 ?a ? b ? c ? d , 2a ? b ? c, 2a ? b ? d , 2a ? c ? d ? ? ?44, 45, 46, 47? ,注意到集合元素的表达形式关 于 a 对称,于是据对称性,只需要讨论 a 在序列 a, b, c, d 中的大小。 ? a ? b ? c ? d ? 47 ? 2a ? b ? c ? 44 ? 情形一:a ? b ? c ? d , 这时候由集合的对应原则得 ? , 于是得到 4a ? 41, 矛盾。 ? 2a ? b ? d ? 45 ? ? 2a ? c ? d ? 46 ? a ? 11 ?b ? 10 ? 情形二: b ? a ? c ? d ,同情形一的证明可得 ? 。 c ? 12 ? ? ? d ? 13 情形三: b ? c ? a ? d ,同情形一亦有 4b ? 39 ,矛盾。 情形四: b ? c ? d ? a ,同情形一亦有 4b ? 38 ,矛盾。 综上所述, x1 , x2 , x3 , x4 , x5 的值为 x1 ? x2 ? 11, x3 ? 10, x4 ? 12, x5 ? 13 及其轮换。 二、 (本小题满分 15 分) 乒乓球比赛, 甲胜的概率是 p( p ? ) , 若采用五局三胜制, 甲获胜的概率是 q , 求 p 为多少时,p ? q 取得最大值. 【解析】设比赛用了 ? 局, 当甲用 3 局取胜,则 q ?? ? 3? ? p ; 3 1 2 当甲用 4 局取胜,则 q ?? ? 4 ? ? C3 p ?1 ? p ? 1 3 2 3 当甲用 5 局取胜,则 q ?? ? 5 ? ? C4 p ?1 ? p ? 。 2 于是 q ? p ? 3 p ?1 ? p ? ? 6 p ?1 ? p ? ? p 10 ? 15 p ? 6 p 3 3 3 2 3 ? 2 q 令 f ?p ? ? ?, p ? , 由 q 的表达式, 我们有 f ? p ? ? 6 p ? 15 p ? 10 p ? p ,则 5 4 3 f '? p? ? ? 30 p ? 30 p 2 ? 1 ?? 30 p ? 30 p 2 ? 1 ,又因为 ? 1 ? p ?1, 2 故 30 p ? 30 p 2 ? 1 ? 1 ? 0 , 因 此 我 们 得 到 f ? p ? 的 极 大 值 点 为 p0 ? 1? 1? 2 4 30 ,所以 f ? p? ? f

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