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巧用均值不等式,妙求函数最值


巧用均值不等式,妙求函数最值
均值不等式除用于比较实数大小及证明不等式外, 还常用于求函数的最值, 运用这个定 理求最值时,要做到“一正、二定、三相等” 。三个条件缺一不可,在解题时,为了达到使 用均值不等式的三个条件,往往通过配凑、拆项、代换等变形手段创设运用均值不等式的情 景,下面举几例供同学们参考。 1.巧用平方求最值 例 1:求函数 y ? 解:

5? ?1 2 x ? 1 ? 5 ? 2 x ? ? x ? ? 的最大值。 2? ?2

y2 ? 2x ?1 ? 5 ? 2x ? 2

? 2 x ? 1?? 5 ? 2 x ? ? 4 ? 2 ? 2 x ? 1??5 ? 2 x ? ? 4 ? 2 x ? 1 ? 5 ? 2 x ? 8

,因为 y ? 0 ,所以 y ? 2 2 。 当且仅当 2 x ? 1 ? 5 ? 2 x ,即 x ?

3 时取等号,则 ymax ? 2 2 。 2

点评:本题是将函数解析式平方后使用算术平均数与几何平均数定值求得最值。 2、巧用整体求最值 例 2:已知 a, b ? ? 0, ??? , a ? b ? ab ? 3 ? 0 ,求 ab 的最小值。 解:因为 a, b ? ? 0, ??? , 所以 2 ab ? ab ? 3 ? a ? b ? ab ? 3 ? 0 , 所以

?

ab

?

2

? 2 ab ? 3 ? 0 ,所以 ab ? 3 ,即 ab ? 9 。

即 ab 最小值为 9。 (当且仅当 a ? b ? 3 时取到最小值) 点评:整体思想是分析这类题目的突破点,即 a ? b 与 ab 分别是统一的整体,把 a ? b 转化 为 ab 。 3、运用配凑法求最值

1 ? x ? x ? 3? 的最小值。 x?3 1 1 ?x? ? ? x ? 3? ? 3 ? 5 。 解: x ? 0 ,? y ? x ?3 x ?3 1 当且仅当 x ? 3 ? ,即 x ? 4 时,取“=”号。 x ?3
例 3:求函数 y ?

? ymin ? 5 。
点评:通过加减项的方法配凑成使用算术平均数与几何平均数定理的形状。 4、挖掘隐含条件求最值 例 4:已知 a, b ? ? 0, ?? ? , a ?
2

b2 ? 1 ,求 a 1 ? b2 的最大值。 2

解:由已知得 b ? 2 ? 2a , a 变形为 a ?
2 2

1 ? 2a , 2

?
? 1 1 ? 2 2 2 a 1 ? b ? a 3 ? 2a ? ? 2a ? 3 ? 2a ? 2 2? ? ?
。当且仅当 2a ? 3 ? 2a2 ,即 a ?

?

2a ? 3 ? 2 a 2 ? 1 3 3 2 ?? ? ? ? 2 4 2 2 ? ?
2

?

3 3 2 时, a 1 ? b2 的最大值是 。 2 4

点评:本题恰当的利用隐含条件将得到简捷的解题方法,如果忽视了隐含条件,将可能使解 题过程不但复杂而且会出现差错。 5、运用拆项求最值 例 5:求函数 y ? 解:

x 2 ? 7 x ? 10 ? x ? ?1? 的最小值。 x ?1

x ? ?1,? x ? 1 ? 0 。

x 2 ? 7 x ? 10 ( x ? 1)2 ? 5( x ? 1) ? 4 4 4 ?y ? ?y? ? ( x ? 1) ? ? 5 ? 2 ( x ? 1) ? ?5? 9 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1
。当且仅当 x ? 1 ?

4 ,即 x ? 1 时,等号成立。 x ?1

所以当 x ? 1 时,函数 y ?

x 2 ? 7 x ? 10 ? x ? ?1? 取得最小值为 9。 x ?1

点评:形如 f ? x ? ?

mx ? n ax 2 ? bx ? c ? m ? 0, a ? 0? 的 ? m ? 0, a ? 0 ? 或者 g ? x? ? 2 ax ? bx ? c mx ? n

函数, 可以把 mx ? n 看成一个整体, 设 mx ? n ? t , 那么 f ? x ? 与 g ? x ? 都可转化为关于 t 的 函数。 6、用“1”代换求最值 例 6:已知 x, y 为正数,且 x ? 2 y ? 1 ,求 z ?

1 1 ? 的最小值。 x y

解: z ? ?

?1 1? ?1 1? 2y x 2y x ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? x ? 2 y ? ? 1 ? ? ?2?2 ? ? 3 ? 2 2 ? 3, x y x y ?x y? ?x y?

? x ? 2 ?1 ?x ? ? 2 ?1 2y x ? ? ? 且 x ? 2 y ? 1 ,即 ? 上式当且仅当 或? 2 ? 2 2 ? 2 (舍去)时,取“=” x y ?y ? ?y ? ? 2 ? 2

号。 故当 x ?

2 ? 1, y ?

2? 2 时, zmin ? 2 2 ? 3 。 2

点评:本题解出两组答案,由均值不等式求函数的最值时必须同时具备“一正、二定、三相 等” ,这三个条件,排除错误答案。


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